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2014年卓越联盟自主招生数学试题及答案


2014 年“卓越联盟”自主招生数学试题选编
一、解答题 ( 本大题 共 7 题, 共计 0 分)
1、(0 分)

设 f(x)在 x∈R 上可导,且对任意 x0∈R 有 0<f'(x+x0)-f'(x0)<4x(x>0).; &&

(1).证明:f'(x0)

< (2).若|f(x)|≤1,则|f'(x)|≤4.

(x>0)

2、(0 分)

|x3|-2x2+1<0,求 x 的取值范围.

3、(0 分)

f(x)= 又 g(x)=x2-4x-4,?a 使得 f(a)+g(b)=0,求 b 的取值范围.

4、(0 分)

n1,n2 是两个夹角为 θ 的单位矢量.以 n1,n2 为基的坐标系中 A(x1,y1),B(x2,y2),求|AB|.

5、(0 分)

已知 x∈(0,a),y∈(0,4-a),a∈(0,1),且 x+y<1 的概率为 ,求 a.

6、(0 分)

已知双曲 - =1(a,b>0)的两条渐近线斜率之积为-3,A,B 分别为左支和右支上的动点

&&

(1).若 A,B 之间的直线斜率为 1,且直线 AB 与 y 轴交于点 D(0,
2



,求

(2).若点 M 为点 A 关于 x 轴的对称点直线 AB 交 x 轴于点 P,直线 BM 交 x 于点 Q.点 O 为坐标原点,求 证:|OP|·|OQ|=a

7、(0 分)

已知 f(x)=

sin2xcosα+

cos2xsinα-

cos(2x+α)+cosα(x∈R).

&&

(1).已知 α∈[ , ],x∈[0, ],求 f(x)的最大值; (2).若 f(x)=3,求 α,x 的值.

2014 年“卓越联盟”自主招生数学试题选编
一、解答题 ( 本大题 共 7 题, 共计 0 分)
1、(0 分) 答案:(1)由题意知 f'(x)单调递增,利用拉格朗日中值定理可知: 存在 e∈(x0,x0+x)使得

=f'(e)

于是

f'(x0)<f'(e)= (2)若存在 f'(u)>4(u∈R),则在[u,+∞)上 f'(x)>4,于是有 |f(x)-f(u)|=|f'(e)(x-u)|>4(x-u)(e∈(u,x),x∈(u,+∞) ) 取 x=u+1,则|f(u+1)-f(u)|>4.但是由于|f(x)|<1,所以|f(u+1)-f(u)|<2,矛盾. 同理在 f'(u)<-4 时也可得矛盾. 结论成立. 2、(0 分) 答案:|x3|-2x2+1<0 ?|x|3-2|x|2+1<0

?(|x|-1)(|x|-

)(|x|-

)<0

?|x|∈(-∞,

)∪(1,

)

∵|x|>0,∴x∈(-

,-1)∪(1,

).

3、(0 分) 答案:当 x∈(-∞,- ),f(x)=( +1)2-1∈(-1,0),

当 x∈[- ,+∞),f(x)=ln(x+1)∈[-ln2,+∞),

∵f(x)∈(-1,+∞), ∴只要 g(b)∈(-∞,1)就存在 a, ∴(b-2)2-8∈(-∞,1)?b∈(-1,5).

4、(0 分) 答案:以 n1 方向为 x 轴建立直角坐标系,于是 A,B 的直角坐标为(x1+y1cosθ,y1sinθ)和 (x2+y2cosθ,y2sinθ),则 |AB|2=(x1-x2+y1cosθ-y2cosθ)2+(y1sinθ-y2sinθ)2 =(x1-x2)2+(y1-y2)2+2(x1-x2)(y1-y2)cosθ

|AB|=

5、(0 分) 答案:利用几何概率来解题,以 x 取值作为 x 轴,y 取值作为 y 轴,总的概率空间为以 a 和 4-a 为边

的矩形.而满足要求的概率为在 x+y=1 直线下方的区域,此区域梯形面积为 (1+1-a)a,所以

=

?a(5a-4)=0?a= .

6、(0 分) 答案:(1)∵( )2=3

∴ =

双曲线方程变为

-

=1.

又可求直线 AB:y=x+5a,解方程组

得 x=7a 或 x=-2a,所以

λ=

=- = 或 .

(2)若 B(-2a,3a),A(7a,12a),则 M(7a,-12a).

解得 lAB:y=x+5a,P(-5a,0)以及 lMB:y=- (x+2a)+3a,Q(- a,0), 所以|OP||OQ|=a2. 若 A(-2a,3a),B(7a,12a),则 M(-2a,-3a).

解得 lAB:y=x+5a,P(-5a,0)以及 lMB:y= (x+2a)-3a,Q(- a,0), 所以|OP||OQ|=a2.

7、(0 分) 答案:(1)f(x)=

sin(2x+α)-

cos(2x+α)+cosα

=2sin(2x+α- )+cosα

由于 α- ∈[0, ],2x+α- ∈[α- ,α+

].

故当 x=

- 时,f(x)取得最大值,

f(x)max=2+cosα. (2)由于 f(x)≤2+1=3,所以

解得

.


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