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高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程课件 新人教版选修2-1


2.2.1椭圆及其标准方程

教学目标:
1.掌握椭圆的标准方程,能根据已知条件求

椭圆的标准方程。
2.能用标准方程判定曲线是否是椭圆。

压扁

平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数

(大于F1F2)的点的轨迹叫椭圆
P

/>
定点F1、F2叫做椭圆的焦点。

说明

F1

F2

椭圆上的点到两个焦点的距离之和记为2a ; 两焦点之间的距离:焦距,记为2c,即:F1F2=2c.

注意

a> c>0

椭圆标准方程的推导:
求椭圆的方程可分为哪几步?

建立直角坐标系

设点坐标

列等式

代入坐标

化简方程

如何建立适当的直角坐标系?

建立直角坐标系

原则:尽可能使方程的形式简单、运算简单; (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线 作为坐标轴。)
y
P

F1 o

·

F2

·

x

建立直角坐标系 设点坐标 列等式 代入坐标 化简方程

以直线F1F2为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴, 建立如图坐标系。

y
P

PF1 ? PF2 ? 2a
F2

F1 o

·

·

x

F1F2 = 2c

建立直角坐标系 设点坐标 列等式 代入坐标 化简方程

以直线F1F2为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴, 建立如图坐标系。 设P(x,y)为椭圆上的任意一点,
y
P

∵F1F2=2c(c>0),
F2

F1 o

·

·

x

则:F1(-c,0)、F2(c,0)

PF1 ? PF2 ? 2a
( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a

建立直角坐标系 设点坐标 列等式 代入坐标 化简方程

∴ ∴

( x ? c ) ? y ? 2a ? ( x ? c ) ? y
2 2 2

2

4a ( x ? c) ? y ? 4a ? 4cx
2 2 2

a (x ? 2cx ? c ? y ) ? a ? 2a cx ? c x 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ (a ? c )x ? a y ? a (a ? c ) 2 2 ? a ?c ?0 ? a ?c ? 0

2 2 2 2 4 2

2 2

设 a2 ? c 2 ? b2 , b ? 0 ∴ b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 则,椭圆的方程为:

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

方程的推导
以直线F1F2为y轴,线段 F1F2的垂直平分线为x轴, 建立坐标系。

y F2

o

x

F1

方程的推导 建立如图坐标系。 设P(x,y)为椭圆上的任意一点,
∵F1F2=2c(c>0), 则:F1(0,-c)、F2(0,c)



y F2

o

x

PF1 ? PF2 ? 2a
2 2 2 2

F1

(y ? c) ? x ? (y ? c) ? x ? 2a (x ? c) ? y ? (x ? c) ? y ? 2a
2 2 2 2

椭圆的标准方程
y P F1 O F2 x P

y F2 O F1 x

F1(-c,0)、F2(c,0)
x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 2 a b

F1(0 ,-c)、F2(0, c)
x2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 2 a b y2

b ? a ?c
2 2
2

2

a、b、c中a最大
y 下的分母大
2

x 下的分母大

y2 x2 ?1 1、已知椭圆的方程为: ? 36 100

10 6 则a=____,b=____,c=___, 焦点 8 (0,-8)、(0,8) ,焦距等 坐标为:___ 16 于____。该椭圆上一点P到焦点F1的距 离为8,则点P到另一个焦点F2的距离
12 等于______。

2、若椭圆满足: a=5 , c=3 , 焦点在x轴上 求它的标准方程。

焦点在x轴上时: 焦点在y轴上时:

y x ? ?1 25 16
y x ? ?1 16 25
2 2

2

2

3、若动点P到两定点F1(-4,0),

F2(4,0)的距离之和为8,则动点
P的轨迹为( A. 椭圆

B )
B. 线段F1F2

C. 直线F1F2

D. 不存在

例1、已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线 是一个椭圆,它的焦距为2.4 m,外轮廓线上的点到两 个焦点的距离和为3 m,求这个椭圆的标准方程
y P
F1 O F2

解:以两个焦点F1,F2所在的直线为x轴,以 线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标 系,则这个椭圆的标准方程为 x 根据题意知,2a=3,2c=2.4,即a=1.5, c=1.2。所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81,因此 椭圆的标准方程为

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

y2 x2 ? ?1 2.25 0.81

例2、将圆x2+y2=4上的点的横坐标 保持不变,纵坐标变为原来的一 半,求所得曲线的方程,并说明 它是什么曲线

y

P P′

o

x

解:设所得曲线上任一点P坐标为(x,y),圆x2+y2=4上

的对应点P′的坐标为(x′,y′),由题意可得
?x? ? x ? ? y? ? 2 y

因为x′2+y′2=4,所以x2+4y2=4,即
x2 ? y2 ? 1 4

这就是变换后所得曲线的方程,它表示一个椭圆

小 结

F1

y
P

y
F 2 P

o

F2

x

o
F1

x



定 义

{P|PF1+PF2=2a,2a>F1F2}
y 2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b

x2 y 2 方 程 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? a b

焦 点
a,b,c

F(±c,0)

F(0,±c)
2

的关系

b ? a ?c
2 2

a、b、c中a最大

思考题
x2 y 2 对于方程 ? ? 1 满足什么条件时, m n 它表示椭圆? m>0,n>0, 且m≠n

怎样判断焦点在哪个轴上? 当m > n > 0时,焦点在x轴上 当n > m > 0时,焦点在y轴上

作业
1、教材P26页习题2.2(1)第2,3,4 题 2、推导:(用分子有理化) 焦点在y轴上的椭圆的标准方程


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