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高考专题辅导与测试第2部分 专题一 第二讲 数学思想专练(二)


[数学思想专练(二)] 一、选择题 1 1.不等式 x2-logax<0,在 x∈?0,2?时恒成立,则 a 的取值范围是( ? ? A.0<a<1 C.a>1 1 B. ≤a<1 16 D.0<a≤ 1 16 )

1 解析:选 B 不等式 x2-logax<0 转化为 x2<logax,由图形知 0<a<

;1 且?2? ? ?
2

1 1 1 ≤loga ,所以 a≥ ,所以 ≤a<1. 2 16 16
? ?x+3,x≤1, 2.(2013· 西城模拟)已知 f(x)=? 2 则函数 g(x)=f(x)-ex 的零点个数 ?-x +2x+3,x>1, ?

为(

) A.1 C.3 B.2 D.4

解析: B 函数 g(x)=f(x)-ex 的零点即为函数 f(x)与 y=ex 的图 选 像交点的个数,如图所示,作出函数 f(x)与 y=ex 的图像,由图像可知 两个函数图像有两个交点,∴函数 g(x)=f(x)-ex 有两个零点.
? ?x+1,x≤0, 3.已知函数 f(x)=? 则函数 y=f(f(x))+1 的零点个 ? ?log2x,x>0,

数是( A.4 C.2

) B.3 D.1

解析:选 A 令 x+1=0,得 x=-1,令 log2x=0,得 x=1;令 F(x)=f(f(x))+1,

?x+3,x≤-1, ?log ?x+1?+1,-1<x≤0, 则 F(x)=? log x+2,0<x≤1, ?log ?log x?+1,x>1. ?
2 2 2 2

作出函数 y=F(x)的图像如图所示,有 4 个零点.

4.已知平面向量 a、b,|a|=1,|b|= 3,且|2a+b|= 7,则向量 a 与向量 a+b 的夹角 为( )
1

π A. 2 π C. 6

π B. 3 D.π

解析:选 B ∵|2a+b|2=4|a|2+4a· b+|b|2=7,|a|=1,|b|= 3, ∴4+4a· b+3=7,即 a· b=0,∴a⊥b. 如图所示,a 与 a+b 的夹角为∠COA, |CA| 3 π π ∵tan∠COA= = ,∴∠COA= ,即 a 与 a+b 的夹角为 . |OA| 1 3 3 5.以椭圆的右焦点 F2 为圆心作一个圆,使此圆过椭圆的中心,交椭圆于 M,N 两点, 若直线 MF1(F1 为椭圆的左焦点)是圆 F2 的切线,则椭圆的离心率为( A.2- 3 C. 2 2 B. 3-1 D. 3 2 )

解:选 B

如图,易知|MF2|=c,∵|MF1|+|MF2|=2a,∴|MF1|=2a-c.

在△F1MF2 中,∵MF1⊥MF2,又|F1F2|=2c,∴(2a-c)2+c2=(2c)2,即 2a2- 2ac-c2=0.方程两边同除以-a2 得 e2+2e-2=0,解得 e= 3-1.

?|lg x|,0<x≤10, ? 6.已知函数 f(x)=? 1 若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),则 abc ? ?-2x+6,x>10,
的取值范围是( A.(1,10) C.(10,12) 解析:选 C ) B.(5,6) D.(20,24) 画出函数 f(x)的图像,再画出直线 y=d(0<d<1),如图所示,直观上知

0<a<1,1<b<10,10<c<12,再由|lg a|=|lg b|,得-lg a=lg b,从而得 ab=1,则 10<abc<12.

二、填空题 7.如果函数 y=1+ 4-x2(|x|≤2)的图像与函数 y=k(x-2)+4 的图像有两个交点,那 么实数 k 的取值范围是________. 解析: 函数 y=1+ 4-x2的值域为[1,3], y-1= 4-x2两边平方, x2+(y-1)2=4, 将 得 考虑到函数的值域,函数 y=1+ 4-x2的图像是以(0,1)为圆心,2 为半径的上半圆,半圆

的端点为点 A(-2,1)和点 B(2,1);函数 y=k(x-2)+4 是过定点 P(2,4)的直线.画出两函数的

2

5 3 图像如图所示,易得实数 k 的范围是?12,4?. ? ?

5 3 答案:?12,4? ? ? 1 2 8.已知 + =1(a>0,b>0),当 ab 取最小值时,方程 2- 2x= a b 的个数是________. 1 2 1 1 12 1? + ? 1 1 2 解析: = ?a·?≤ ·a b?2= ,当 = ,即 a=2,b=4 时等号成立, ? b? 2 ab 2? 8 a b ? 2 ? 则方程 1-x= 2-x|x|,在同一坐标系作出 y1=-(x-1)和 y2= 2-x|x|的 草图,交点个数为 1,即方程的解的个数为 1. 答案:1
?e x-2,x≤0, ? 9.已知函数 f(x)=? (a 是常数且 a>0).对于下列命题: ? ?2ax-1,x>0


b b- x|x|的实数解 a

1 ①函数 f(x)的最小值是-1;②函数 f(x)在 R 上是单调函数;③若 f(x)>0 在?2,+∞?上 ? ? 恒成立, a 的取值范围是 a>1; 则 ④对任意的 x1<0, 2<0 且 x1≠x2, x 恒有 f? 其中正确命题的序号是________. 解析:如图所示,作出函数 f(x)的图像,显然 f(x)在(-∞,0)上单调递减, 而 a>0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数 f(x)的最小值为 f(0)=-1,故 命题①正确;显然,函数 f(x)在 R 上不是单调函数,②错误;因为 f(x)在(0,+ 1 1 1 ∞)上单调递增,故函数 f(x)在?2,+∞?上的最小值为 f?2?=2a× -1=a-1, ? ? ? ? 2 1 所以若 f(x)>0 在?2,+∞?上恒成立,则 a-1>0,即 a>1,故③正确;由图像可 ? ? 知在(-∞,0)上对任意 x1<0,x2<0 且 x1≠x2,恒有 f? 综上,正确的命题有①③④. 答案:①③④ 三、解答题 10.已知 a>0,函数 f(x)=x|x-a|+1(x∈R). (1)当 a=1 时,求所有使 f(x)=x 成立的 x 的值; x1+x2? f?x1?+f?x2? 成立,故④正确. 2 ? 2 ?< x1+x2? f?x1?+f?x2? . 2 ? 2 ?<

3

(2)当 a∈(0,3)时,求函数 y=f(x)在闭区间[1,2]上的最小值. 解:(1)因为 x|x-1|+1=x, 所以 x=-1 或 x=1.
? 2 ?x -ax+1, x≥a, (2)f(x)=? 2 ?-x +ax+1, x<a, ?

(其示意图如图所示) a 1 ①当 0<a≤1 时, x≥1≥a, 这时, f(x)=x2-ax+1, 对称轴是 x= ≤ <1, 2 2 所以函数 y=f(x)在区间[1,2]上递增, f(x)min=f(1)=2-a; ②当 1<a≤2 时,当 x=a 时函数 f(x)min=f(a)=1; 3 a ③当 2<a<3 时,x≤2<a,这时,f(x)=-x2+ax+1,对称轴是 x= ∈?1,2?,f(1)=a, ? ? 2 f(2)=2a-3. 因为(2a-3)-a=a-3<0, 所以函数 f(x)min=f(2)=2a-3.
?f?x?,x≤0, ? 1 11.设函数 F(x)=? 其中 f(x)=ax3-3ax,g(x)= x2-ln x,方程 F(x)=a2 2 ? ?g?x?,x>0,

有且仅有四个解,求实数 a 的取值范围. 1 1 解:x∈(0,1)时,g′(x)=x- <0,x∈(1,+∞)时,g′(x)=x- >0,所以当 x=1 时, x x 1 g(x)取极小值 g(1)= . 2 (1)当 a=0 时,方程 F(x)=a2 不可能有 4 个解; (2)当 a<0 时,因为 f′(x)=3a(x2-1),

若 x∈(-∞,0]时,f′(x)=3a(x2-1),当 x∈(-1,0]时,f′(x)>0,当 x∈(-∞,-1) 时,f′(x)<0,所以当 x=-1 时,f(x)取得极小值 f(-1)=2a,又 f(0)=0,所以 F(x)的图像 如图(1)所示,从图像可以看出 F(x)=a2 不可能有 4 个解.

图(1)

图(2)

(3)当 a>0 时,当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0,当 x∈(-1,0]时,f′(x)<0,所以当 x= -1 时,f(x)取得极大值 f(-1)=2a,又 f(0)=0,所以 F(x)的图像如图(2)所示,从图像看出
4

1 2 方程 F(x)=a2 若有 4 个解,则 <a2<2a,所以实数 a 的取值范围是? ,2?. 2 2 ? ?

5


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