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高二数学练习5


高二数学天天练(三)
1.已知复数 z1=3-4i,z2=4+bi(b∈R,i 为虚数单位),若复数 z1· z2 是纯虚数,则 b 的值为 ________ 1 4 27 m 2.已知 m>0,不等式 x+ ≥2,x+ 2≥3,x+ 3 ≥4,可推广为 x+ n≥n+1,则 m 的值为 x x x x ________ 3.在平面上,若两个正三角形的边长比为 1∶2,

则它们的面积比为 1∶4,类似地,在空间 中,若两个正四面体的棱长比为 1∶2,则它们的体积比为________. 4.若函数 f(x)=excos x,则此函数图象在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为________(填锐角、 直角或钝角). 5.点 P 是曲线 y=x2-ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值是________ 6.已知函数 f(x)=x3-3ax2+3x+1.设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,则 a 的取值范围 是________. 7.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20 cm,要使体积最大,则其高为________cm. 1 8.若函数在 f(x)=- x3+x 在(a,10-a2)上有最大值,则实数 a 的取值范围为________. 3 m+i 9.(1)已知复数 z= ,(m∈R,i 是虚数单位)是纯虚数,求 m 的值; 1+i (2)若复数 z 满足 zi=2+i(i 是虚数单位),求 z; (3)若(1+ai)2=-1+bi(a,b∈R,i 是虚数单位),求|a+bi|.

10.已知 a 、 b ? R ,求证:

?

a b

?

b a

? a? b

1 a- ?x2+ln x(a∈R). 11.已知函数 f(x)=? ? 2? (1)当 a=1 时,求 f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值; (2)若在区间(1,+∞)上,函数 f(x)的图象恒在直线 y=2ax 下方,求 a 的取值范围.

高二数学天天练(四)
1+5i 1..若 =a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位),则 ab=________. 3-i 2.观察下列各式 9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,…, 这些等式反映了自然数间的某种规律,设 n 表示自然数,用关于 n 的等式表示为________ 3.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直线坐标系中,利用求 动点轨迹方程的方法,可以求出过点 A(-3,4),且法向量为 n=(1,-2)的直线(点法式)方程 为 1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0, 化简得 x-2y+11=0.类比以上方法, 在空间直角坐标系中, 经过点 A(1,2,3)且法向量为 n=(-1,-2,1)的平面(点法式)方程为________(请写出化简后的 结果); 4.曲线 y=x3-2x 在点(1,-1)处的切线方程是________. 5.有一长为 16m 的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m2. π π? 6.已知函数 f(x)=x-sin x, 若 x1, x2∈? 则 f(x1), f(x2)的大小关系是________. ?-2,2?且 x1<x2, x2 7.设函数 f(x)=x3- -2x+5,若对任意 x∈[-1,2],都有 f(x)>m,则实数 m 的取值范围 2 是________. x3 8.已知函数 f(x)= -(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2 在实数集 R 上是增函数,则实数 m 的 3 取值范围是________ 9.已知关于 x 的方程 x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根 b. (1)求实数 a,b 的值; (2)若复数 z 满足| z -a-bi|=2|z|,求 z 为何值时,|z|有最小值,并求出最小值.

10.试证:当 0<a<1,0<b<1,0<c<1 时, (1-a)b、 (1-b)c、 (1-c)a 不能都大于

1 。 4

π 11.已知:在函数的图象上,f(x)=mx3-x 以 N(1,n)为切点的切线的倾斜角为 . 4 (1)求 m,n 的值; (2)是否存在最小的正整数 k,使得不等式 f(x)≤k-2 013 对于 x∈[-1,3]恒成立?如果存在, 请求出最小的正整数 k,如果不存在,请说明理由.

a+i 1.若 (i 是虚数单位)是实数,则实数 a 的值是________. 1-i

2. 函数 f ( x) ? sin x ?

1 x, ( x ?[0, 2 ? ]) 的最大值是 2

,最小值是 .

.

3. 使函数 y ? sin x ? ax 为 R 上增函数的实数 a 的范围是

4. 已知函数 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8 ,则曲线 y ? f ( x) 在点 处的切线方程是_______________. (1, f (1))

1 5.设函数 f(x)=- x3+2ax2-3a2x+b,0<a<1. 3 (1)求函数 f(x)的单调区间、极值; (2)若 x∈[0,3a],试求函数 f(x)的最值.

6.已知函数 f(x)=x3-3ax-1,a≠0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在 x=-1 处取得极值,直线 y=m 与 y=f(x)的图象有三个不同的交点,求 m 的取 值范围

11.(2011· 洛阳模拟)已知 f(x)=ax3+bx2+cx 在区间[0,1]上是增函数,在区间(-∞,0]与[1, 1? 3 +∞)上是减函数,且 f′? ?2?=2.

(1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[0,m](m>0)上恒有 f(x)≤x 成立,求 m 的取值范围

A 级 基础达标演练 (时间:45 分钟 满分:80 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 35 分) 1.(2011· 南京模拟)已知复数 z1=3-4i,z2=4+bi(b∈R,i 为虚数单位),若复数 z1· z2 是纯 虚数,则 b 的值为________. 解析 由 z1· z2=(3-4i)(4+bi)=(12+4b)+(3b-16)i 为纯虚数, 得 12+4b=0 且 3b-16≠0, 所以 b=-3. 答案 -3 2.(2011· 南通调研)已知(a+i)2=2i,其中 i 是虚数单位,那么实数 a=________. 解析
2 ? ?a -1=0, ? 由(a+i) =a +2ai+i =a -1+2ai=2i,得 所以 a=1. ?2a=2. ? 2 2 2 2

答案 1 3.(2011· 扬州调研)已知(1+i)· z=-2i,那么复数 z=________. -2i 解析 z= =-i(1-i)=-1-i. 1+i 答案 -1-i 1+5i 4.(2011· 南通调研)若 =a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位),则 ab=________. 3-i 1+5i ?1+5i??3+i? -2+16i 1 8 1 8 8 解析 a+bi= = = =- + i, 所以 a=- , b= .从而 ab=- . 10 10 5 5 5 5 25 3-i

8 答案 - 25 a+i 5.(2011· 苏北四市调研)若 (i 是虚数单位)是实数,则实数 a 的值是________. 1-i a+i ?a+i??1+i? ?a-1?+?a+1?i 解析 由 = = 是实数,得 a+1=0,所以 a=-1. 2 2 1-i 答案 -1 ?2+i?2 6.(2011· 苏锡常镇扬五市调研)已知 i 是虚数单位,计算 的结果是________. 3-4i 解析 ?2+i?2 ?3+4i??3+4i? -7+24i 7 24 = = =- + i. 25 25 25 3-4i 32+42

7 24 答案 - + i 25 25 7 . (2011· 扬州中学冲刺 ) 若复数 ________. a+3i ?a+3i??1-2i? a+6 3-2a 解析 由 = = + i 为纯虚数,得 a+6=0 且 3-2a≠0,所以 a 5 5 5 1+2i =-6. 答案 -6 二、解答题(每小题 15 分,共 45 分) z 8.已知 z 是复数,z+2i、 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai)2 在复平面上对应的点 2-i 在第一象限,求实数 a 的取值范围. 解 设 z=x+yi(x、y∈R), 所以 z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2. x-2i 1 z 因为 = = (x-2i)(2+i) 2-i 2-i 5 1 1 = (2x+2)+ (x-4)i. 5 5 由题意得 x=4,所以 z=4-2i. 所以(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i, 由于(z+ai)2 在复平面上对应的点在第一象限,
2 ? ?12+4a-a >0, 所以? 解得 2<a<6, ?8?a-2?>0, ?

a+3i (a ∈ R , i 为虚数单位 ) 是纯虚数,则实数 a 的值为 1+2i

故实数 a 的取值范围是(2,6). 9.已知关于 x 的方程 x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根 b. (1)求实数 a,b 的值;

(2)若复数 z 满足| z -a-bi|=2|z|,求 z 为何值时,|z|有最小值,并求出最小值. 解 (1)将 b 代入题设方程,整理(b2-6b+9)+(a-b)i=0,则 b2-6b+9=0 且 a-b=0,得 a=b=3. (2)设 z=x+yi(x,y∈R),则(x-3)2+(y+3)2=4(x2+y2),即(x+1)2+(y-1)2=8,所以点 Z 在以(-1,1)为圆心,2 2为半径的圆上,画图可知,z=1-i 时|z|min= 2.

10. 已知复数 z=a+bi(a、 b∈R+)(i 是虚数单位)是方程 x2-4x+5=0 的根. 复数 ω=u+3i(u ∈R+)满足|ω-z|<2 5,求 u 的取值范围. 解 原方程的根为 x1,2=2± i. ∵a、b∈R+,∴z=2+i, ∵|ω-z|=|(u+3i)-(2+i)| = ?u-2?2+4<2 5, ∴-2<u<6. B 级 综合创新备选 (时间:30 分钟 满分:60 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1.(2011· 南京学情分析)复数 解析 1-2i 在复平面上对应的点位于第________象限. 3+4i

1-2i ?1-2i??3-4i? 1 2 1 2 - ,- ?在第三象限. = =- - i,点? 5 5? ? 25 5 5 3+4i

答案 三 2.(2011· 南京模拟)若复数(1-i)(a+i)是实数(i 是虚数单位),则实数 a 的值为________. 解析 由(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i∈R,得 a=1. 答案 1 3.(2011· 苏北四市调研)若复数 z1=1-i,z2=2+4i,其中 i 是虚数单位,则复数 z1z2 的虚部 是________. 解析 z1z2=(1-i)(2+4i)=6+2i 的虚部为 2. 答案 2 4.(2011· 南京模拟)在复平面内,复数-3+i 和 1-i 对应的点间的距离为________. 解析 |-3+i-1+i|=|-4+2i|= ?-4?2+22= 20=2 5. 答案 2 5

5.已知 x,y 为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,则 x 为________. 解析 设 x=a+bi(a,b∈R),则 y=a-bi, x+y=2a,xy=a2+b2, 代入原式,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,
?4a2=4, ? 根据复数相等得? 2 2 ? ?-3?a +b ?=-6, ? ? ? ? ?a=1, ?a=1, ?a=-1, ?a=-1, 解得? 或? 或? 或? ?b=1, ? ?b=1, ? ? ?b=-1, ? ?b=-1. ? ? ?x=1+i, ?x=1-i, 故所求复数为? 或? ?y=1-i, ? ? ?y=1+i, ?x=-1+i, ?x=-1-i, ? ? 或? 或? ?y=-1-i, ?y=-1+i. ? ?

答案 1+i 或 1-i 或-1-i 或-1+i 6.(2010· 江苏苏中六校联考)给出下列四个命题: ①若 z∈C,|z|2=z2,则 z∈R; ②若 z∈C, z =-z,则 z 是纯虚数; ③若 z∈C,|z|2=zi,则 z=0 或 z=i; ④若 z1,z2∈C,|z1+z2|=|z1-z2|,则 z1z2=0. 其中真命题的个数为________个. 解析
2 2 2 2 ? ?a +b =a -b , 设 z=a+bi(a,b∈R),若|z| =a +b =z =a -b +2abi,则? 所以 ?2ab=0. ? 2 2 2 2 2 2

b=0,所以 z∈R,①正确; 若 z=0,则 z 不是纯虚数,②错; 若 a2+b2=-b+ai,则 a=0,b=0 或 b=-1, 所以 z=0 或 z=-i,③错; 若|z1+z2|=|z1-z2|,设 z1=a+bi(a,b∈R), z2=c+di(c,d∈R). 则(a+c)2+(b+d)2=(a-c)2+(b-d)2, 整理得:ac+bd=0, 所以 z1z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i≠0,④错. 答案 ① 二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) m?m+2? 7.已知 m∈R,复数 z= +(m2+2m-3)i,当 m 为何值时. m-1

(1)z∈R; (2)z 是虚数; (3)z 是纯虚数; 1 (4) z = +4i. 2
?m2+2m-3=0, ? 解 (1)由 z∈R,得? 解得 m=-3. ?m-1≠0, ?

(2)由 z 是虚数,得 m2+2m-3≠0,且 m-1≠0, 解得 m≠1 且 m≠-3. m?m+2?=0, ? ? (3)由 z 是纯虚数,得?m-1≠0, ? ?m2+2m-3≠0, 解得 m=0 或 m=-2. m?m+2? 1 1 (4)由 z = +4i,得 -(m2+2m-3)i= +4i, 2 2 m-1 2m +3m+1=0, m?m+2? 1 ? ? ? ? = , 2 所以? m-1 即?m≠1, 2 ? ? ?-?m +2m-3?=4, ?m2+2m+1=0, 解得 m=-1. 1 8.设 z 是虚数,已知 ω=z+ 是实数,且-1<ω<2. z (1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围; 1-z (2)设 u= ,求证:u 为纯虚数; 1+z (3)求 ω-u2 的最小值. (1)解 因为 ω∈R,所以 ω =ω,所以 z + 1 1 =z+ , z z
2

1 ? ? 即(z- z )?1-z z ?=0,因为 z 为虚数,所以 z≠ z . ? ? 所以 z z =1,从而|z|2=1,即|z|=1. 设 z=a+bi(a、b∈R),∵|z|=1,∴a2+b2=1 a-bi 1 1 ∴ω=z+ =a+bi+ =a+bi+ 2 =2a z a+bi a +b2 1 ∵-1<ω<2,∴-1<2a<2,∴- <a<1. 2

1 ? 即 z 的实部取值范围是? ?-2,1? (2)证明 1 (1)因为 z z =1,所以 z = . z

1 1- z 1-z z-1 1-z 1- z 1-z 所以 u+ u = + = + = + =0,且 u≠0,所以 u =-u,所以 u 1 1+z z+1 1+z 1+ z 1+z 1+ z 为纯虚数. 1-z 1-ti 1 1-ti 1+ti (3)解 由(2)可设 u=ti(t∈R 且 t≠0), 则由 =ti, 得 z= , 所以 ω=z+ = + z 1+ti 1-ti 1+z 1+ti 2?1-t2? 2 = ,u =-t2, 1+t2 2?1-t2? 2 4 2 所以 ω-u2= -3≥2 2 +t =1+t + 1+t 1+t2 =± 1 时等号成立,故 ω-u2 的最小值为 1. 4 ?1+t2?· 2-3=1,当且仅当 t2+1=2,t 1+t


高二数学练习5

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