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数学文卷·2014届河北省衡水中学高三下学期二调考试(2014.03)

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2013—2014 学年度下学期二调考试 高三年级数学试卷(文)
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分,共150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确

答案的序号填涂在答题卡上) 1.已知 R 是实数集, M = { x | A. (1,2) B. [0,2]

2 < 1}, N = { y | y = x
C. ?

x - 1 + 1} ,则 N I C R M = (
D. [1,2] )

)

2. 在复平面内,复数 A.第一象限

- 2 + 3i ( i 是虚数单位)所对应的点位于( 3 - 4i
B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

3.给定命题 p:函数 y = ln[(1 - x)(1 + x)] 为偶函数;命题 q:函数 y = 下列说法正确的是( A. C. 是假命题 是真命题 ) B. D. 是假命题 是真命题

ex -1 为偶函数, ex +1

4.等差数列中, 3( a3 + a5 ) + 2( a7 + a10 + a13 ) = 24 ,则该数列前 13 项的和是( A.13 B.26 C.52 ) D.156

)

5.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数( A.y=x+1 的图像上 C.y=2 的图像上
x

B.y=2x 的图像上 D.y=2 的图像上
x-1

6.把边长为 2的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,连结 AC,得到三棱锥 C-ABD,其正 视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示) ,则其侧视图的面积为( A. 3 2 B. 1 2 C.1
2

)
正视图

D.

2 2

7.已知等边 DABF 的顶点 F 是抛物线 C1 : y = 2 px 的焦点,顶点 B 在抛物线的准线 l 上且 AB ⊥l,则点 A 的位置( A. 在 C1 开口内 ) B.
第 1 页 共 12 页

俯视图

在 C1 上

C.

在 C1 开口外

D.

与 p 值有关 )

8.若函数 y = f ( x ) + cos x 在 [ A.1 B. cos x

p 3p , ] 上单调递减,则 f ( x ) 可以是( 4 4
C. - sin x D. sin x

9. 已知 | a |= 2 | b |? 0 ,且关于 x 的函数 f ( x) = 向量 a, b 的夹角范围是( A. [0,

r

r

r r

1 3 1 r 2 r r x + | a | x + a × bx 在 R 上有极值,则 3 2

) C. (

p ) 6

B. (

p ,p ] 6

p ,p ] 3

D. (

p 2p , ) 3 3

10. 设 F1 , F2 是 双 曲 线 C :

x2 y2 = 1(a > 0, b > 0) 的 两 个 焦 点 , P 是 C 上 一 点 , 若 a2 b2
)

PF1 + PF2 = 6a, 且 DPF1 F2 的最小内角为 30o ,则 C 的离心率为(
A. 2 B. 2 2 C. 3 D.

4 3 3

11.已知 f ( x ), g ( x ) 都是定义在 R 上的函数, g ( x ) ? 0 , f ?( x) g ( x ) > f ( x ) g ?( x ) ,且

f ( x) = a x g ( x) ( a > 0 ,且 a ? 1) ,
于 62,则 n 的最小值为( A.6 12. 已知函数 B.7 )

f (1) f (-1) 5 f ( n) + = .若数列 { } 的前 n 项和大 g ( n) g (1) g (-1) 2

C.8

D.9

则方程 f(x)=ax 恰有两个不同的实根时,实数 a 的取 )

值范围是(注:e 为自然对数的底数) (

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、 填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)

13.在面积为 S 的矩形 ABCD 内随机取一点 P, 则△PBC 的面积小于

S 的概率是 4



ìx + y ? 4 ? 14. 已知点 P 的坐标 ( x, y )满足 í y ? x ,过点 P 的直线 l 与圆 C : x 2 + y 2 = 14 相交于 ?x ? 1 ?
A、B 两点,则 AB 的最小值为 。

15. 已知三角形 PAD 所在平面 与矩 形 ABCD 所在平面 互相垂 直, PA = PD = AB = 2 ,
第 2 页 共 12 页

?APD = 90° , 若 点 P 、A、B 、C 、D 都 在 同 一 球 面 上 , 则 此 球 的 表 面 积 等
于 16.已知数列 都成立,则 S10= 。 的前 n 项和,对于任意的 。

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在答题纸的相应位置) 17. 已知函数 f ( x) = m sin x + 2 cos x , (m > 0) 的最大值为 2. (Ⅰ)求函数 f ( x) 在 [ 0, p ] 上的值域; (Ⅱ)已知 DABC 外接圆半径 R = 对的边分别是 a, b ,求

3 , f ( A - ) + f ( B - ) = 4 6 sin A sin B ,角 A, B 所

p 4

p 4

1 1 + 的值. a b

18.某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关, 随机抽取了 55 名市民, 得 到数据如下表: 喜欢 大于 40 岁 20 岁至 40 岁 合计 20 10 30 不喜欢 5 20 25 合计 25 30 55

(Ⅰ)判断是否有 99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关? (Ⅱ)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取 6 人作进一步调查, 将这 6 位市民作为一个样本,从中任选 2 人,求恰有 1 位“大于 40 岁”的市民和 1 位“20 岁至 40 岁”的市民的概率.

第 3 页 共 12 页

下面的临界值表供参考:

P( K 2 ? k )
k
(参考公式: K =
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n(ad - bc) 2 ,其中 n = a + b + c + d ) (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )

19. 如图,在四棱锥 P - ABCD 中, ?ABC = ?ACD = 90° , ?BAC = ?CAD = 60° ,

PA ^ 平面 ABCD , E 为 PD 的中点, PA = 2 AB = 2 .
(I ) 求证: CE ∥平面 PAB ; ( II ) 求四面体 PACE 的体积.

20. 已知 椭 圆 C 的对 称 中 心 为 原 点 O , 焦 点在 x 轴 上, 左右 焦 点 分别 为 F1 和 F2 , 且 | F1 F2 |=2,点(1,

3 )在该椭圆上. 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 D A F2 B 的面积为 心且与直线 l 相切圆的方程.

12 2 ,求以 F2 为圆 7

第 4 页 共 12 页

21.已知函数 f ( x) = x ln x , g ( x) = ( - x 2 + ax - 3)e x (a 为实数) . (Ⅰ) 当 a=5 时,求函数 y = g ( x) 在 x = 1 处的切线方程; (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间[t,t+2](t >0)上的最小值; (Ⅲ) 若存在两不等实根 x1,x2 ? [ ,e] ,使方程 g ( x) = 2e x f ( x) 成立,求实数 a 的取值 范围.

1 e

第 5 页 共 12 页

请考生在 22,23,24 题中任选一题作答,并用 2B 铅笔将答题纸上所选题目对应的题号右 侧方框涂黑,按所涂题目进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选 考题的首题进行评分。 22.如图,已知 A, B , C , D, E 均在⊙O 上,且 AC 为⊙O 的直径. (1)求 ?A + ?B + ?C + ?D + ?E 的值; (2)若⊙O 的半径为 的长.

3 , AD 与 EC 交于点 M ,且 E 、 D 为弧 AC 的三等分点,求 MD 2

23. 已知曲线 C 的极坐标方程是 r = 4cos q .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴
ì 2 t ?x=m+ ? 2 的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是: í ( t 是参数). 2 ? y= t ? ? 2

(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,将直线 l 的参数方程化为普通方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且 | AB |= 14 ,试求实数 m 值.

24. 已知函数 f ( x) = 2 x - a + a . (1)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 x - 2 ? x ? 3 ,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若存在实数 n 使 f ( n) ? m - f ( -n) 成立,求实数 m 的取值范围.

{

}

第 6 页 共 12 页

2013—2014 学年度下学期二调考试 高三年级数学试卷(文) (参考答案)
1——12 13. DBBBD 14. 4 BBCCC AB 16.91

1 2

15. 12p

17.解: (1)由题意, f ( x) 的最大值为 m2 + 2 ,所以 m2 + 2=2 .………………………2 分
π 而 m > 0 ,于是 m = 2 , f ( x) = 2sin( x + ) .…………………………………4 分 4

在 [0,

p éπ ù ] 上递增.在 ê ,π ú 递减, ?4 ? 4

所以函数 f ( x) 在 [ 0,π ] 上的值域为 [ - 2 ,2] ;…………………………………5 分
π π (2) 化简 f ( A - ) + f ( B - ) = 4 6 sin A sin B 得 4 4

……7 sin A + sin B = 2 6 sin A sin B .

分 由正弦定理,得 2 R ( a + b ) = 2 6ab ,……………………………………………9 分 因为△ABC 的外接圆半径为 R = 所以

3 . a + b = 2ab .…………………………11 分

1 1 + = 2 …………………………………………………………………12 分 a b 55(20 ? 20 - 10 ? 5) 2 ? 11.978 > 7.879 30 ? 25 ? 25 ? 30
……

18.解: (1)由公式 K 2 =

所以有 99.5% 的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关 5分 (2)设所抽样本中有 m 个“大于 40 岁”市民,则

m 6 = ,得 m = 4 人 20 30

所以样本中有 4 个“大于 40 岁”的市民,2 个“20 岁至 40 岁”的市民,分别记作

B1 , B2 , B3 , B4 , C1 , C 2 ,从中任选 2 人的基本事件有 ( B1 , B2 ), ( B1 , B3 ), ( B1 , B4 ), ( B1 , C1 ), ( B1 , C 2 ), ( B2 , B3 ), ( B2 , B4 ), ( B2 , C1 ), ( B2 , C 2 ), ( B3 , B4 ), ( B3 , C1 ), ( B3 , C 2 ), ( B4 , C1 ), ( B4 , C 2 ), (C1 , C 2 ), 共 15
个 ……………9 分
第 7 页 共 12 页

其中恰有 1 名“大于 40 岁”和 1 名“20 岁至 40 岁”之间的市民的事件有

( B1 , C1 ), ( B1 , C 2 ), ( B2 , C1 ), ( B2 , C 2 ), ( B3 , C1 ), ( B3 , C 2 ), ( B4 , C 2 ), 共 8 个
所以恰有 1 名“大于 40 岁”和 1 名“20 岁至 40 岁”之间的市民的概率为 P = 12 分 19、答案:1)法一: 取 AD 得中点 M,连接 EM,CM.则 EM//PA

8 ………… 15

因为 EM ? 平面PAB, PA ? 平面PAB,
P

所以, EM / / 平面PAB

(2 分)
E

在 Rt V ACD 中, ?CAD = 60°, CM = AM 所以, ?ACM = 60° 而 ?BAC = 60° ,所以,MC//AB.
B A M

D

(3 分)
C

因为 MC ? 平面PAB, AB ? 平面PAB, 所以, MC / / 平面PAB 又因为 EM I MC = M 所以, 平面EMC / / 平面PAB (4 分)
P

E

因为 EC ? 平面EMC, 所以,EC / / 平面PAB 法二: 延长 DC,AB,交于 N 点,连接 PN.

(6 分)
B

A D

因为 ?NAC = ?DAC = 60°, AC ^ CD 所以,C 为 ND 的中点. (3 分)
N

C

因为 E 为 PD 的中点,所以,EC//PN 因为 EC ? 平面PAB, PN ? 平面PAB,

所以,EC / / 平面PAB

(6 分) (7 分)

2)法一:由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= 2 3 因为, PA ^ 平面ABCD ,所以, PA ^ CD

(8 分) (10 分)

又因为 CD ^ AC , AC I PA = A ,所以, CD ^ 平面PAC

第 8 页 共 12 页

因为 E 是 PD 的中点, 所以点 E 平面 PAC 的距离 h = 所以,四面体 PACE 的体积 V =

1 CD = 3 , 2

SV PAC =
(12 分)

1 ? 2?2 = 2 2

1 1 2 3 SV PAC ? h = ? 2 ? 3 = 3 3 3

法二:由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= 2 3 因为, PA ^ 平面ABCD ,所以,VP - ACD = 分) 因为 E 是 PD 的中点,所以,四面体 PACE 的体积 V =

1 1 4 3 SV ACD ? PA = ? 2 ? 2 3 = 3 3 3

(10

1 2 3 VP - ACD = 2 3

(12 分)

20.(1)椭圆 C 的方程为

x2 y2 + =1 4 3

……………. . (4 分)

(2)①当直线 l ⊥x 轴时,可得 A(-1,题意.

3 3 ) ,B(-1, ) , D A F2 B 的面积为 3,不符合 2 2
…………(6 分)

②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1) .代入椭圆方程得:

(3 + 4k 2 ) x 2 + 8k 2 x + 4k 2 - 12 = 0 ,显然 D >0 成立,设 A ( x1 , y 1 ) ,B ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 + x 2 = 8k 2 8k 2 - 12 12(k 2 + 1) , , 可 得 |AB|= ……………. . (9 分) x × x = 1 2 3 + 4k 2 3 + 4k 2 3 + 4k 2 2|k | 1+ k 2
,∴ D A F2 B 的面积=

又圆 F2 的半径 r=

1 12 | k | k 2 + 1 = 12 2 ,化简 |AB| r= 2 7 3 + 4k 2

得:17 k 4 + k 2 -18=0,得 k=±1,∴r = 2 ,圆的方程为 ( x - 1) 2 + y 2 = 2 ……………. . (12 分) 21.解:(Ⅰ)当 a = 5 时 g ( x ) = ( - x 2 + 5 x - 3) × e x , g (1) = e . 分 ………1

g ?( x ) = ( - x 2 + 3 x + 2) × e x ,故切线的斜率为 g ?(1) = 4e .
所以切线方程为: y - e = 4e ( x - 1) ,即 y = 4ex - 3e . (Ⅱ) f ?( x ) = ln x + 1 ,

………2 分 ………4 分

第 9 页 共 12 页

x f ?( x) f ( x)

1 (0, ) e 单调递减

1 e
0
极小值(最小值)

1 ( , +?) e +
单调递增

………6 分

①当 t ?

1 时,在区间 ( t , t + 2) 上 f ( x ) 为增函数, e
………7 分

所以 f ( x )min = f ( t ) = t ln t ②当 0 < t <

1 1 1 时,在区间 ( t , ) 上 f ( x ) 为减函数,在区间 ( , e ) 上 f ( x ) 为增函数, e e e
………8 分 ………9 分

1 1 所以 f ( x )min = f ( ) = e e

(Ⅲ) 由 g ( x ) = 2 e x f ( x ) ,可得: 2 x ln x = - x 2 + ax - 3 ,

a = x + 2 ln x +

3 , x
2 3 ( x + 3)( x - 1) 3 . , h ?( x ) = 1 + - 2 = x x x x2

令 h( x) = x + 2 ln x +

x h?( x) h( x)

1 ( ,1) e 单调递减

1
0
极小值(最小值)

(1,e) +
单调递增 ………10 分

1 1 3 h( ) = + 3e - 2 , h(1) = 4 , h(e) = + e + 2 . e e e 1 2 h(e) - h( ) = 4 - 2e + < 0. e e
………11 分

第 10 页 共 12 页

\ 实数 a 的取值范围为 4 < a ? e + 2 +

3 . e

………12 分

22.解: (Ⅰ)连接 OA, OB , OC , OD, OE ,则

?A + ?B + ?C + ?D + ?E
1 (?COD + ?DOE + ?EOA + ?AOB + ?BOC ) 2 1 = ? 360° = 180° . 5分 2 =
(Ⅱ)连接 OM 和CD ,因为 AC 为⊙O 的直径, 所以 ?ADC = 90° ,又 E 、 D 为 ? AC 的三等分点,所以

?A = ?C =

1 1 1 ?EOA = ? ? 180° = 30° . 2 2 3

7分

所以 OM ^ AC .因为⊙O 的半径为

OA OA 3 3 = =1. ,即 OA = ,所以 AM = cos A cos 30° 2 2 3 3 3 ? = . 2 2 2
10 分

在 Rt DADC 中, AD = AC gcos A = 2 ? 则 MD = AD - AM =

1 . 2
直线 l 的直角坐标方程为: y = x - m

23.解: (I)曲线 C 的极坐标方程是 r = 4cos q 化为直角坐标方程为:

x 2 + y 2 - 4x = 0

……… 4 分

ì 2 x= t+m ? ? 2 ( t 是参数)代入方程 x 2 + y 2 - 4 x = 0 , 得 (Ⅱ):把 í ?y = 2 t ? 2 ? t 2 + 2 ( m - 2)t + m 2 - 4m = 0 ,………6 分 \ t 1 + t 2 = - 2 ( m - 2), t 1 t 2 = m 2 - 4m . \ | AB |=| t 1 - t 2 |= ( t 1 + t 2 ) 2 - 4t 1 t 2 = [- 2 ( m - 2)]2 - 4( m 2 - 4m ) = 14 . \ m = 1或m = 3
………10 分

24.【解析】解: (Ⅰ)由 2 x - a + a ? 6 得 2 x - a ? 6 - a ,∴ a - 6 ? 2 x - a ? 6 - a ,即

a -3? x ? 3,
∴ a - 3 = -2 ,∴ a = 1 。┈┈┈┈5 分

第 11 页 共 12 页

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) = 2 x - 1 + 1 ,令 j ( n ) = f ( n ) + f ( - n ) ,

1 ì ?2 - 4n, n ? - 2 ? 1 1 ? - <n? 则, j ( n ) = 2n - 1 + 2n + 1 + 2 = í4, 2 2 ? 1 ? n> ?2 + 4n, 2 ?
∴ j ( n ) 的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是 [ 4, +? ) 。┈┈┈┈┈10 分

第 12 页 共 12 页


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