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北师大选修2-2课本习题

时间:2015-06-30


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选修 2-2 基础练习

教师:张凡

第一章 推理与证明
第一节 归纳与类比 1.1 归纳推理 例 1、在一个凸多面体中,试通过归纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系。

例 2、如果面积是一定的,什么样子的平面图形周长最小,试猜测结论。

1.2 类比推理 例 3、已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值” ,将空间与平面进行类比,空间中什么样的图形 可以对应正三角形?在对应图形中有与上述定理相应的结论吗?

例 4、根据平面几何的勾股定理,试类比地猜测出空间中相应的结论。

1

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选修 2-2 基础练习

教师:张凡

练习 1、杨辉三角的前 5 行是

1 1 1 1 1 4 3 6 2 3 4 1 1 1 1

请试写出第 8 行,并归纳、猜想出一般规律。从上面的等式中,你能才想出什么结论? 2、用面积法证明例 3 中已知的结论,并类比地用体积法证明猜想。

习题 1—1 1、从下面的等式中,你能猜想出什么?

37 ? 3 ? 111 , 37 ? 6 ? 222 , 39 ? 9 ? 333 , 37 ? 12 ? 444 。
2、已知 13 ? 23 ? 32 ? (1 ? 2) 2 ,13 ? 23 ? 33 ? 6 2 ? (1 ? 2 ? 3) 2 ,13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 102 ? (1 ? 2 ? 3 ? 4) 2 , 试写出 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 的表达式。
3 3 3 3

3、右图中给出了 3 层的六边形,图中所有点的个数为 S 3 为 28.按其规律再画下去,可以得到 n 层六边形, 试写出 S n 的表达式。 4、阅读以下求 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n 的值的过程, 因为 ?n ? 1? ? n 2 ? 2n ? 1 ,
2

n 2 ? ?n ? 1? ? 2?n ? 1? ? 1 ,
2

??

2 2 ? 12 ? 2 ? 1 ? 1 ,
以上各式相加得 (n ? 1) 2 ? 1 ? 2?1 ? 2 ? ? ? n? ? n , 所以 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2

n 2 ? 2n ? n n?n ? 1? ? 2 2
2 2 2

类比以上过程,求 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 的值。 5、利用类比推理,根据学过的平面向量的坐标表示,建立空间向量的坐标表示。

2

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教师:张凡

第二节 综合法与分析法 2.1 综合法 例 1、求证: ? 是函数 f ? x ? ? sin( 2 x ?

?
4

) 的一个周期。

2 2 例 2、 (韦达定理)已知 x1 和 x2 是一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 , b ? 4ac ? 0 )的两根。求

证: x1 ? x 2 ? ?

b c , x1 x 2 ? 。 a a

例 3、已知: x, y , z 为互不相等的实数,且 x ?

1 1 1 ? y ? ? z ? 。求证: x 2 y 2 z 2 ? 1 。 y z x

练习 设 a , b 是实数,求证: a ? b ?
2 2

2 ( a ? b) 。 2

2.2 分析法 例 4、已知: a , b 是不相等的正数。求证: a ? b ? a b ? ab 。
3 3 2 2

例 5、求证: 8 ? 7 ? 5 ? 10 。

例 6、求证:函数 f ?x? ? 2x 2 ? 12x ? 16 在区间 ?3,??? 上是增加的。

练习 1 1、求证: a ? a ? 1 ? 。 a ? 2 ? a ? 3 (其中 a ? 3 )

2、证明:表面积相等的球和正方体,球的体积大于正方体的体积。

3

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教师:张凡

例 7、如图,已知 BE , CF 分别为△ ABC 的边 AC , AB 上的高, G 为 EF 的中点, H 为 BC 的中点。 求证: HG ? EF 。 F A G

E

B

H

C

例 8、已知: a, b, c 都是正实数,且 ab ? bc ? ca ? 1 。求证: a ? b ? c ?

3。

练习 2 如图所示,已知四边形 ABCD 为正方形,E , F 是 CD 边上的点,CE ?

1 1 CD ,CF ? CD 。求证: 2 4
D E F C

?DAE ?

1 ?BAF 。 2

A

B

4

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教师:张凡

习题 1—2

2ab a?b a2 ? b2 1、已知 a ? 0, b ? 0 ,求证: 。 ? ab ? ? a?b 2 2

2、设 a, b, c ? R ,求证: a 2 ? b 2 ? b 2 ? c 2 ? c 2 ? a 2 ?

2 ( a ? b ? c) 。

3、证明: f ?x? ? 2 x

2

?4 x?3

在 ?2,??? 上是增加的。

4、已知 a, b, c, d 都是实数,且 a ? b ? 1 , c ? d ? 1 ,求证: ac ? bd ? 1。
2 2 2 2

5、已知 x ? 1 , y ? 1 ,求证:

x? y ? 1。 1 ? xy

6、证明:当 x ? 0 时, sin x ? x 。

7、已知 a ? b ? c , b ? c ? a , c ? a ? b , a ? b ? c 组成公比为 q 的等比数列,求证: q 3 ? q 2 ? q ? 1 。

8、已知△ ABC 三内角 A, B, C 成等差数列,求证:对应三边 a, b, c 满足:

1 1 3 ? ? 。 a?b b?c a?b?c

9、已知四边形 ABCD 中,?ADC ? ?ABC ? 90? , M , N 分别为 AC, BD 的中点。求证: MN ? BD 。

5

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教师:张凡

第三节 反证法 例 1、已知 a 是整数,2 能整除 a 。求证:2 能整除 a 。
2

例 2、在同一平面内,两条直线 a , b 都和直线 c 垂直。求证: a 与 b 平行。

例 3、求证: 2 是无理数。

练习 1 求证: 3 是无理数。

例 4、已知 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 100,求证: a1 , a2 , a3 , a4 中,至少有一个数大于 25.

例 5、求证: 1 , 2 , 5 不可能是一个等差数列中的三项。

例 6、如图,直线 a 平行于平面 ? , ? 是过直线 a 的平面,平面 a 与 ? 相交于直线 b ,求证:直线 a 平 行于直线 b 。

a
b
练习 2 用反证法证明:13 个人中至少有两个人的生日在同一个月。

?

?

6

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教师:张凡

习题 1—3 利用反证法证明下列各题 ⑴证明:400 个人中至少有两个人生日相同;

⑵证明:100 个球放在 90 个盒子里,至少有一个盒子里不少于两个球;

⑶求证: 5 是无理数;

⑷证明:如果在一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行;

⑸求证:垂直于同一条直线的两个平面互相平行。

7

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教师:张凡

第四节 数学归纳法 例 1、证明:首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和公式为

S n ? na1 ?

n?n ? 1?d 2

例 2、已知数列 ?an ? 满足 a n ?1 ?

1 , a1 ? 0 ,试猜想 ?an ? 的通项公式并用数学归纳法证明。 2 ? an

例 3、用数学归纳法证明: ?1 ? ? ? ? 1 ? n? (其中 ? ? ?1 , n 是正整数) 。
n

练习 用数学归纳法证明: x 2n ? y 2n 能被 x ? y 整除( n 是正整数)

习题 1—4 1、求证:

1 1 1 1 ? ? ? ? n ? 1 ? n ( n 是正整数) 2 4 2 2

2、平面内有 n ( n ? 2 )条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数 f ?n ? 等 于

n( n ? 1) 。 2
2 2 2

3、用数学归纳法证明: 1 ? 2 ? ? ? n ?

n(n ? 1)( 2n ? 1) ( n 是正整数) 。 6

8

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教师:张凡

复习题一 A组 1、运用类比的思想,讨论椭圆、双曲线、抛物线的性质。 2、运用类比的思想,讨论指数函数和等比数列,线性函数和等差数列。 3、将下面平面几何中的概念类比到立体几何中的相应结果是什么?请将下表填充完整。 平面几何 ①等腰三角形 ②等腰三角形的底 ③等腰三角形的腰 ④点到直线的距离 立体几何

4、用综合法证明:若 a ? 0 , b ? 0 ,则

a 3 ? b3 ? a ? b ? ?? ? 。 2 ? 2 ?

3

5、 用分析法证明: 在△ ABC 中, 如果 ? A 的外角平分线与三角形的外接圆相交于点 D , 那么 BD ? CD 。 6、用分析法证明: ( 2 ? 1) ?
2

17 3。 5

7、用分析法证明:若 a, b, c 表示△ ABC 的三条边长, m ? 0 ,则

a b c ? ? a?m b?m c?m
8、分别用扥洗发和综合法证明:在△ ABC 中,如果 AB ? AC , BE ,CF 分别是三角形的高线, BE 和

CF 相交于点 M ,那么, MB ? MC 。
9、求证:在三角形中,大边对大角。 10、用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角大于或等于 60°。 11、根据生物科学的研究成果,人的头发不超过 20 万根。 ⑴试证明:在人口为 50 万的城市中,至少有两个人头发根数相同; ⑵是否有三个人头发根数相同?说明理由。 12、在空间中,有三条不共面的直线,它们交于一点,试用反证法证明:这三条直线没有公共垂线。 13、用反证法证明: a, b, c, d 都是实数,且满足 a ? b ? 1 , c ? d ? 1 , ac ? bd ? 1 ,则 a, b, c, d 四个数 中至少有一个是负数。

n 2 (n ? 1) 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) 2 ( n 是正整数) 14、用数学归纳法证明: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 。 4
3 3 3 3

15、用数学归纳法证明: ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (?1) n (2n ? 1) ? ?? 1? n ( n 是正整数) 。
n

9

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教师:张凡

16、证明:凸 n 边形的对角线的条数 f ?n ? ?

n( n ? 3) ( n ? 4) 。 2

17、证明:凸 n 边形( n ? 3 )的内角和等于 ?n ? 2?? 。

B组
a b 已知 a , b 为正实数,且 a ? b ? 1 ,求证: 3 ? 3 ? 4 。

10

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教师:张凡

第二章 变化率与导数
第一节 变化的快慢与变化率 练习 1 某人服药后,人吸收药物的情况可以用血液中药物的质量浓度 c (单位:mg/mL)来表示,它是时间 t(单 位:min)的函数,表示为 c ? c?t ? 。下表给出了 c ?t ? 的一些函数值:
t/min (mg/mL) c ?t ? / 0 0.84 10 0.89 20 0.94 30 0.98 40 1.00 50 1.00 60 0.97 70 0.90 80 0.79 90 0.63 100 0.41

⑴求服药后 30min 内,30~40min,80~90min 这 3 段时间内,药物质量浓度的平均变化率,并回答:哪 段时间血液中药物的质量浓度变化最快? ⑵如何刻画药物质量浓度变化的快慢?

例 1、一个小球从高空自由下落,其走过的路程 s (单位:m)与时间 t(单位:s)的函数关系为

s?

1 2 gt , 2

其中, g 为重力加速度( g ? 9.8m / s 2 ) 。试估计小球在 t ? 5s 这个时刻的瞬时速度。

例 2、如图,一根质量分布不均匀的合金棒,长为 10m。 x (单位:m)表示 OX 这段棒的长, y (单位:kg) 表示 OX 这段棒的质量,它们满足以下函数关系:

y ? f ?x ? ? 2 x 。
估计该合金棒在 x ? 2 m 处的线密度。

O x

M

练习 2 1、在自由落体运动中,根据 s ? 2、已知函数 y ?

1 2 gt ,仿照例 1,估计 t ? 2 s 时的瞬时速度。 2

1 ,求自变量 x 在以下的变化过程中,函数值的平均变化率: x
⑶自变量 x 从 1 变到 1.001;

⑴自变量 x 从 1 变到 1.1; ⑵自变量 x 从 1 变到 1.01; 估计当 x ? 1 时,函数的瞬时变化率是多少?

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教师:张凡

习题 2—1 A组 1、下表为 3 名运动员 1500m 跑的分段成绩: 运动员 1 2 3 0~800m 1′57.92″ 1′58.24″ 1′58.76″ 0~1000m 2′28.32″ 2′28.56″ 2′29.08″ 0~1200m 2′57.96″ 2′58.12″ 2′58.12″ 最后 300m 39.83″ 39.69″ 39.74″

⑴这 3 名运动员谁全称跑的最快? ⑵这 3 名运动员谁在最后 300m 的冲刺阶段跑的最快?

2、已知函数 y ? f ?x ? ? ?2 x ? 1 。 ⑴当 x 从 1 变为 2 时,函数值 y 改变了多少?此时函数值 y 关于 x 的平均变化率是多少? ⑵当 x 从 ? 1 变为 1 时,函数值改变了多少?此时函数值 y 关于 x 的平均变化率是多少? ⑶这个函数变化的快慢有何特点?求这个函数在 x ? 1 和 x ? 3 处的瞬时变化率。

3、某个物体走过的路程 s (单位:m)是时间 t(单位:s)的函数: s ? t ? 1 ,通过平均速度估计物体
2

在下列各时刻的瞬时速度: ⑴t ? 0; ⑵t ? 2 ; ⑶t ? 4。

4、通过平均变化率估计函数 y ? 2 x 2 在下列各点的瞬时变化率: ⑴ x ? 1; ⑵ x ? ?1 ; ⑶x ? 0

5、通过平均变化率估计函数 y ? ⑴ x ? ?1 ;

1 ? 2 在下列各点的瞬时变化率: x
⑶x ? 2。

⑵ x ? 1;

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教师:张凡

B组 1、有一个长方体的容器,如图所示,它的宽为 10cm,高为 100cm,右侧面为一活塞,容器中装有 1000mL 的水。活塞的初始位置(距左侧面)为 x0 ? 1 cm,水面高度为 100cm。当活塞位于距左侧面 x cm 的 位置时,水面高度为 y cm。 ⑴写出 y 关于 x 的函数解析式; ⑵活塞位置 x 从 1cm 变为 2cm, 水面高度改变了多少?活塞位置 x 从 8cm 变为 10cm, 水面高度改变了 多少?以上哪个过程水面高度的变化较快? ⑶试估计当 x ? 10 cm 时,水面高度 y 关于活塞位置 x 的瞬时变化率。

10

y

x

2、圆的面积 S 随半径 r 的变化而变化。试分析圆的面积随半径 r 增大而增大的快慢情况。

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第二节 导数的概念及其几何意义 2.1 导数的概念 例 1、 一条水管中流过的水量 y (单位: m?) 是时间 x(单位: s) 的函数 y ? f ?x ? ? 3x 。 求函数 y ? f ?x ? 在 x ? 2 处的导数 f ??2 ? ,并解释它的实际意义。

例 2、一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作,生产的食品量 y (单位:kg)是其工作时间 x (单位: h)的函数 y ? f ?x ? 。假设函数 y ? f ?x ? 在 x ? 1 和 x ? 3 处的导数分别为 f ?(1) ? 4 和 f ?(3) ? 3.5 , 试解释它们的实际意义。

例 3、服药后,人体血液中药物的质量浓度 y (单位: ?g / m L)是时间 t(单位:min)的函数 y ? f ?t ? , 假设函数 y ? f ?t ? 在 t ? 10 和 t ? 100 处的导数分别为 f ??10? ? 1.5 和 f ??100? ? ?0.6 ,试解释它们 的实际意义。

练习 1、根据例 1 中的函数 y ? f ?x ? ? 3x ,求 f ??4 ? ,并解释它的实际意义。 2、设 x (单位:km)表示一条河流的某一处到其源头的距离, y (单位:km)表示这一点的海拔高度,

y 是 x 的函数 y ? f ?x ? 。若函数 y ? f ?x ? 在 x ? 100 处的导数 f ??100? ? ?0.1 ,试解释它的实际意
义。

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2.2 导数的几何意义 例 4、已知函数 y ? f ?x ? ? x 2 , x0 ? ?2 。 ⑴分别对 ?x ? 2 ,1 ,0.5 求 y ? x 2 在区间 ?x0 , x0 ? ?x?上的平均变化率,并画出过点 ?x0 , f ?x0 ?? 的 相应割线; ⑵求函数 y ? x 2 在 x0 ? ?2 处的导数,并画出曲线 y ? x 2 在点 ?? 2,4? 处的切线。

例 5、求函数 y ? f ?x? ? 2 x 3 在 x ? 1 处的切线方程。

练习
2 1、求 f ?x ? ? x 在 x ? 2 处的切线斜率,并求出过该点的切线方程。

2、求 f ? x ? ?

1 在 x ? 2 处的切线方程。 x

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习题 2—2 A组 1、物体走过的路程 s (单位:m)是时间 t (单位:s)的函数,可以表示为 s ? 2t ? 1 。求函数在下列各 点的导数,并解释它们的实际意义: ⑴t ? 1; ⑵t ? 2; ⑶t ? 5

2 2、已知圆的面积 S 是半径 r 的函数 S ? ?r ,用定义求 S 在 r ? 5 处的导数,并对 S ??5? 的意义进行解释。

3、求函数 f ?x ? ? ?2 x 2 在下列各点的导数,并说明它们的几何意义: ⑴ x ? ?1 ; ⑵ x ? 0 ; ⑶x ? 2。

4、求函数 y ?

5 在下列各点的导数: x
⑵ x ? 1; ⑶ x ? 5。

⑴ x ? ?1 ;

5、求曲线 y ?

1 ? 2 x 在 x ? 1 处切线的斜率,并求该切线的切线方程。 x

B组 1、根据导数的几何意义,求函数 y ?

4 ? x 2 在 x ? 1 处的导数。

2、求函数 y ?

1 在 x ? ?1 处的导数,并求曲线在该处的切线方程。 2? x

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第三节 计算导数 例 1、一个运动物体走过的路程 s (单位:m)是时间 t (单位:s)的函数 s ? f ?t ? ? 2t 2 ,求 f ??5? ,并 解释它的实际意义。

例 2、求函数 y ? f ? x ? ? ⑴ x ? 1;

2 ? x 在下列各点的导数: x
⑶ x ? x0 。

⑵ x ? ?2 ;

例 3、求 y ? f ?x? ? 3x 2 ? x 的导函数 f ?? x ? ,并利用导函数 f ?? x ? 求 f ??1? , f ?(?2) , f ?(0) 。

练习 1 、已知自由下落的物体下落的距离 s(单位: m)是时间 t (单位: s )的函数 s ? f ?t ? ?

1 2 gt ,取 2

g ? 10 m / s 2 。求函数在 t ? 2 处的导数 f ??2 ?,并解释它的实际意义。

2、求函数 y ?

100 的导函数 f ?? x ? ,并利用 f ?? x ? 求 f ??1? , f ??2 ? , f ??3? 。 x

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习题 2—3 A组 1、求 f ?x? ? 3x 2 ? x 的导函数 f ?? x ? ,并利用 f ?? x ? 求 f ??2 ? , f ??? 2?, f ??3? 。

2、求 f ? x ? ?

1 ? 3 的导函数 f ?? x ? ,并利用 f ?? x ? 求 f ??1? , f ??? 1? , f ??5? 。 x

3、求 f ?x ? ? 2 x ? 3 的导函数 f ?? x ? ,并利用 f ?? x ? 求 f ??0 ? , f ??? 1? , f ??3? 。

4、求曲线 f ?x ? ? x 2 的一条与直线 y ? 2 x ? 1 平行的切线方程。

5、分别求出函数 f ?x ? ? ?2 x 与 g ?x? ? ?2 x ? 1 的导函数,并画出导函数的图像。

B组 求函数 y ? x 3 的导函数。

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第四节 导数的四则运算法则 4.1 导数的加法和减法法则 例 1、求下列函数的导数: ⑴ y ? x2 ? 2x ; ⑵y?

x ? ln x 。

例 2、求曲线 y ? x ?
3

1 上点 ?1,0? 处的切线方程。 x

练习 1、查导数公示表求下列函数的导数: ⑴y?

1 x



⑵ y ? 3x ;

⑶ y ? tan x 。

2、求下列函数的导数: ⑴ y ? x 2 ? 2x ; ⑵ y ? 3x ? x 3 ;

1

⑶ y ? x 2 ? ln x ;

⑷y?e ?
x

1 ? x3 。 x

1

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4.2 导数的乘法与除法法则 例 3、求下列函数的导数: ⑴ y ? x 2e x ; ⑵y?

x sin x ;

⑶ y ? x ln x 。

例 4、求下列函数的导数: ⑴y?

sin x ; x

⑵y?

x2 。 ln x

练习 1 求下列函数的导数: ⑴ y ? x sin x ;
3

⑵y? ⑷y?

x ln x ;
x2 。 cos x

⑶y?

x ?1 ; x ?1

例 5、求下列函数的导数: ⑴ y ? x (ln x ? sin x) ;
2

⑵y?

cos x ? x 。 x2

例 6、求曲线 f ?x ? ?

1? x 1? x

? 2 x ln x 在点 ?1,0? 处的切线方程。

练习 2 1、求下列函数的导数: ⑴ y ? x cos x ? ?ln x ?sin x ; 2、求曲线 y ? ⑵y?

x cos x ? x ? 。 ln x x ?1
2

2 ln x ? 1 在点 ?1,1? 处的切线方程。 x2

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教师:张凡

习题 2—4 A组 1、已知 f ?1? ? 1 , f ??1? ? 2 , g ?1? ? ?2 , g ??1? ? 1 ,求下列函数在 x ? 1 处的导数值: ⑴ f ?x ? ? g ?x ? ; ⑷ 3g ?x ? ; 2、求下列函数的导函数: ⑴y?x ?
2

⑵ f ?x ? ? g ?x ? ; ⑸ f ?x ?g ?x ? ;

⑶ ? 2 f ?x ? ; ⑹

f ?x ? 。 g ?x ?

1 ; x2

⑵ y ? tan x ? ln x ;

1 ? x; ⑷ y ? 2 x ? cos x ? 4 。 x 1 3、求曲线 y ? x ? 在点 ?1,0? 处的切线方程, x
⑶y? 4、求下列函数的导数: ⑴ y ? x cos x ;
3

⑵y? ⑹y?

x sin x ; ⑶ y ? x tan x ? 2 ln x ;
x2 ; x ?1
⑺y?

⑷ y ? ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3) ; ⑻y?

⑸y?

x ?1 x



x sin x ; ln x

e x cos x 。 x

5、求下列各函数在给定点的导数值: ⑴ y ? sin x cos x , x ? 0 , x ? ⑵y?

?
4



1? x 1? x

, x ? 0, x ? 4 ;

⑶ f ?x? ? x ln x ? 3x 2 ? 1 , x ? 1 , x ? 2 。

B组 1、 以初速度 10m/s 向上抛出一个物体, 其上升的高度 s (单位: m) 与时间 t (单位: s) 的关系为 s ? 10t ? 5t (取重力加速度 g ? 10m / s ) ,求:
2
2

⑴物体被抛出 t s 后的速度;

⑵物体在 t ? 2 s 时的速度。

3 2、求曲线 y ? x ? x ? 2 的一条与直线 y ? 4 x ? 1 平行的切线方程。

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第五节 简单复合函数的求导法则 例 1、求函数 y ? 3x ? 1 的导数。

例 2、求函数 y ? ?2 x ? 1? 的导数。
3

例 3、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中,水面高度 y (单位:cm)关于时间 t(单位:s) 的函数为 y ? h?t ? ?

100 ,求函数在 t ? 3 时的导数,并解释它的实际意义。 2t ? 1

练习 写出下列各函数的中间变量,并利用复合函数的求导法则求出函数的导数: ⑴y?

1 ; (2 x ? 1)

⑵ y ? sin(? x ? 1) ; ⑷ y ? cos?x ? 3?。

⑶ y ? e ?2 x?1 ;

22

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教师:张凡

习题 2—5

1、写出下列各函数的中间变量,并利用复合函数的求导法则求出函数的导数: ⑴ y ? ?x ? 1? ;
10

⑵ y ? e 2 x ?1 ; ⑸ y ? 3 2x ? 1 ;

⑶ y ? sin?? 2 x ? 5? ; ⑹ y ? tan?? x ? 1? 。

⑷ y ? ln(3x ? 1) ;

2、求下列函数的导函数: ⑴ y ? e ? x?2 ?2x ? 1? ;
5

⑵ y ? cos?3x ? 1? ? ln?? 2 x ? 1? ;

⑶y?

2x ? 1 。 x

3、求函数 y ? ln?3x ? 2? 上过点 ?1,0? 的切线方程。

4、一做简谐振动的小球的运动方程为 x ? 20sin? 3t ?

? ?

??

? ,其中 x (单位:cm)是小球相对于平衡点的 2?

距离,t(单位:s)为时间,求小球在 t ? 0 s, t ?

?
6

s, t ?

?
12

s 时刻的速度。

5、一听汽水放入冰箱后,其摄氏温度 x (单位:℃)由时间 t(单位:h)以公式决定: x ? 4 ? 16e ⑴求汽水温度 x 在 t ? 1 处的导数; ⑵已知摄氏温度 x 与华氏温度 y 之间具有如下函数关系:x ? 并求 y 关于 t 的函数的导数。 复习题二
23

?2t



5 y ? 32 。 写出 y 关于 t 的函数解析式, 9

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教师:张凡

A组 1、下表为某水库存水量 y (单位:万㎡)与水深 x (单位:m)的对照表: 水深 x / m 存水量 y / 万m 2 0 0 5 20 10 40 15 90 20 160 25 275 30 437.5 35 650

⑴当 x 从 5 变到 10 时,存水量 y 关于 x 的平均变化率是多少?解释它的实际意义。 ⑵当 x 从 25 变到 30 时,存水量 y 关于 x 的平均变化率是多少?解释它的实际意义。 ⑶比较⑴与⑵的数值大小,并联系实际情况解释意义。 2、长方形的周长为 10,一边长为 x ,其面积为 S 。 ⑴写出 S 与 x 之间的函数关系; ⑵当 x 从 1 增加到 1 ? ?x 时,面积 S 改变了多少?此时面积 S 关于 x 的平均变化率是多少?解释它的 实际意义。 ⑶当长从 x 增加到 x ? ?x 时,面积 S 改变了多少?此时面积 S 关于 x 的平均变化率是多少? ⑷在 x ? 1 处,面积 S 关于 x 的瞬时变化率是多少?解释它的实际意义。 ⑸在 x 处,面积 S 关于 x 的瞬时变化率是多少?解释它的实际意义。 3、利用导数定义求下列各函数的导数: ⑴ y ? x ? 5; ⑸ y ? x ? x ? 1;
2

⑵ y ? 2x ? 3; ⑹ y ? x ? 2x ? 1;
2

⑶ y ? x2 ?1; ⑺ y ? 2x ? 1 ;
2

⑷ y ? x 2 ? 3x ; ⑻y?

2 ?2。 x sin x ln x ; x

4、求下列函数的导数: ⑴y?x ?
2

1 ? x; x

⑵ y ? x sin x ? x ln x ⑸ y ? e tan x ;
x

⑶y? ⑹y?

⑷y?

?1 ? x ( x ? 1)? ? 1? ; ?x ?

x2 ?1 ; x ? ln x

⑺ y ? x sin x ? e x ln x ? 2 ; ⑽ y ? sin 2 x ;

⑻y? ⑾y?

x ? x2 ; x ln x

⑼ y ? (3x ? 2) 3 ; ⑿ y ? ln?4x ? 5? 。
3

4x ? 6 ;

5、求下列函数在给定位置的切线的斜率:
24

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⑴ y ? x 3 ? 2 x , x ? 0 ;⑵ y ? ⑶ y ? x 2 ln x , x ? 1 ;⑷ y ?

x ? ln x , x ? 1 ;
, x ? 1。

x ?1 x

B组 1、一个小球被以 10m/s 的初速度向上抛出。 ( g ? 10m / s 2 ) ⑴写出抛出 t s 后,小球距抛出点的高度 s 关于 t 的函数解析式; ⑵求当 t 从 0 变到 1 时,s 关于 t 的平均变化率,解释它的实际意义; ⑶求当 t 从 1 变到 1.5 时,s 关于 t 的平均变化率,解释它的实际意义; ⑷求 s ??1.5? ,并解释它的实际意义。

2、求曲线 y ? 2 x ?

1 ? 1 在 x ? 1 处的切线方程。 x

25

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第三章 导数应用
第一节 函数的单调性与极值 1.1 导数与函数的单调性 例 1、求函数 f ?x? ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 36x ? 16 的递增区间与递减区间。

练习 1、求下列函数的单调区间: ⑴ y ? 2 x 2 ? 5x ? 4 ; ⑵ y ? 3x ? x 3 。

2、讨论函数 y ? 2 x ? sin x 在 ?0,2? ? 上的单调性。

1.2 函数的极值 例 2、求函数 f ?x ? ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 36x ? 5 的极值点。

例 3、求函数 f ?x ? ? 3x 3 ? 3x ? 1 的极值。

练习 求下列函数的极值: ⑴ y ? 3x ? x ;
3

⑵ y ? x ? 8x ? 18x ? 1 。
4 3 2

26

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教师:张凡

习题 3—1 A组 1、求下列函数的单调区间: ⑴ y ? ? x 3 ? 2x 2 ? 4x ? 5 ; ⑶ y ? 4x ?
2

⑵ y ? ?x ? 1? x 2 ? 1 ; ⑷ y ? x ln x 。

?

?

1 ; x 1 的单调性。 x

2、讨论函数 f ? x ? ? x ?

3、讨论下列函数的单调性与极值: ⑴ y ? 6x 2 ? x ? 2 ; ⑶ y ? x 3 ? 3x 2 ; ⑵ y ? 2 ? x ? x2 ; ⑷ y ? 2 x 3 ? 12x ? 5 。

4、下列函数中,随着自变量的变化,函数值是怎样变化的? ⑴ s?t ? ? 2t ? 5t ;
3 2

⑵ y ? x? 2? x 。

B组 已知 ?1 ,? 2 ,? 3 ,? 4 ,求 x 的值,使得函数 f ?x? ? ?x ? ?1 ? ? ?x ? ? 2 ? ? ?x ? ? 3 ? ? ?x ? ? 4 ? 的
2 2 2 2

值最小。

27

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第二节 导数在实际问题中的应用 2.1 实际问题中导数的意义 例 1、 功与功率 如图所示,某人拉动一个物体前进,他所做的功 W (单位:J)是时间 t(单位:s)的 函数,设这个函数可以表示为

W ? W ?t ? ? t 3 ? 6t 2 ? 16t 。
⑴求 t 从 1s 变到 3s 时,功 W 关于时间 t 的平均变化率,并解释它的实际意义。 ⑵求 W ??1?, W ??2? ,并解释它们的实际意义。 例 2、 降雨强度 表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据: 时间 t/min 降雨量/mm 0 0 10 10 20 14 30 17 40 20 50 22 60 24

显然,降雨量 y 是时间 t 的函数,用 y ? f ?t ? 表示。 ⑴分别计算当 t 从 0 变到 10 ,从 50 变到 60 时,降雨量 y 关于时间 t 的平均变化率,比较它们的大小, 并解释它们的实际意义; ⑵假设得到降雨量 y 关于时间 t 的函数近似表达式为 f ?t ? ? 10t ,求 f ??40? 并解释它的实际意义。 例 3、建造一幢面积为 x m 的房屋需要成本 y 万元, y 是 x 的函数: y ? f ?x ? ?
2

x x ? ? 0.3 。 10 10

⑴当 x 从 100 变到 200 时,建筑成本 y 关于建筑面积 x 的平均变化率是多少?它代表什么实际意义。 ⑵求 f ??100? 并解释它的实际意义。 练习 一辆正在加速的汽车在 5 s 内速度从 0 km/h 提高到了 90 km/h,下表给出了它在不同时刻的速度,为了 方便起见,已将速度单位转化成了 m/s,时间单位为 s。 时间 t/s 速度 v/(m/s) 0 0 1 9 2 15 3 21 4 23 5 25

⑴分别计算当 t 从 0 s 变到 1 s、从 3 s 变到 5 s 时,速度 v 关于时间 t 的平均变化率,并解释它们的实 际意义; ⑵根据上面的数据,可以得到速度 v 关于时间 t 的函数近似表示式为 v ? f ?t ? ? ?t ? 10t ,求 f ??1? ,
2

并解释它的实际意义。
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2.2 最大值、最小值问题 例 4、求函数 y ? f ?x? ? x 3 ? 2x 2 ? 5 在区间 ?? 2,2?上的最大值与最小值。

例 5、如图,一边长为 48 cm 的正方形铁皮,四角各截去一个大小相同的小正方形,然后折起,可以做成 一个无盖长方体容器。所得容器的容积 V (单位: cm )是关于截去的小正方形边长 x (单位: cm ) 的函数。 ⑴随着 x 的变化,容积 V 是如何变化的? ⑵截去的小正方形的边长为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
3

x

x

练习 1 求函数 y ? x 3 ? 12x 2 ? 45x ? 10在区间 ?0,10?上的最大值和最小值。

例 6、 产量与利润 对于企业来说,生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题。对一家药品 生产企业的研究表明,该企业的生产成本 y (单位:万元)和生产收入 z (单位:万元)都是产量 x (单位:t)的函数,分别为

y ? x 3 ? 24x 2 ? 63x ? 10
z ? 18 x
⑴试写出该企业获得的生产利润 w (单位:万元)与产量 x 之间的函数关系式; ⑵当产量为多少时,该企业可获得最大利润?最大利润为多少?

练习 2 要设计一种圆形柱、容积为 500 mL 的一体化易拉罐金属包装,如何设计才能使得总成本最低?

29

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教师:张凡

习题 3—2 A组 1、实验表明,将 1 kg 铁从 0 ℃加热到 t ℃需要的热量 Q (单位:J) :

Q?t ? ? 0.000297 t 2 ? 0.4409 t。
⑴当 t 从 10 变到 20 时,函数值 Q 关于 t 的平均变化率是多少?它的实际意义是什么? ⑵求 Q??10? , Q??100? ,并解释它们的实际意义。 2、求下列函数在给定范围内的最大值、最小值: ⑴ f ?x? ? x 2 ? ?1 ? x? , 0 ? x ? 2 ;
2

⑵ f ?x? ? x 3 ? 9x 2 ? 48x ? 52 , ? 2 ? x ? 2 。 3、如图 1 为一个圆锥形酒杯,圆锥的顶角(即过圆锥的平面截圆所得等腰三角形的顶角)为 60°,向酒 杯中注水。 ⑴写出注入水杯中的水量 V (单位:mL)关于水面高度 h (单位:cm)的函数关系式 V ? f ?h ?; ⑵图 2 是否能反映这一函数关系?说明理由。

V

/mL

O
图1

H
图2

h /cm

4、工厂需要围建一个面积为 512 ㎡的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁。 我们知道,砌起的新墙的总长度 y (单位:m)是利用原有墙壁长度 x (单位:m)的函数。 ⑴写出 y 关于 x 的函数解析式,确定 x 的取值范围; ⑵随着 x 的变化, y 的变化有何规律? ⑶堆料场的长、宽比为多少时,需要砌起的新墙用料最省? B组 对一名工人的研究表明,工作 t h 后生产出的产品量 Q (单位:t)可以近似表示为

Q ? f ?t ? ? ?t 3 ? 15t 2 ? 12t ,该工人每天工作 8h
⑴求当 t 从 2 h 变到 4 h,该工人生产的产品量 Q 关于时间 t 的平均变化率,并解释它的实际意义; ⑵求 f ??2?, f ??4? ,并解释它的实际意义。
30

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复习题 三 A组 1、求下列函数的单调区间和极值点: ⑴ y ? 2 x 3 ? 3x 2 ; ⑸ y ? tan x ? sin x ; ⑵ y ? x?

x;

⑶ y ? x ? ln x ; ⑺ y ? x3 ? x ? 6 ;

⑷y?

1 ? 4x 2 ; x

⑹ y ? x ? sin x ;

⑻ y ? sin x ? cos x 。

2、求下列函数在给定范围内的最大值、最小值: ⑴ y ? x 3 ? 3x , 0 ? x ? 10 ; ⑵ y ? x 2 ? (2 ? x) 2 , 0 ? x ? 2 。

3、某体育馆要建造一个长方形游泳池,其容积为 4800m?,深为 3m。如果建造池底的单价是建造池壁单价 的 1.5 倍,怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?

4、一辆家庭轿车在 x 年的使用过程中需要如下支出:购买时的费用 12 万元;保险费、养路费、燃油费等 各种费用每年 1 万元;维修费用( 0.1x ? 0.1x )万元;使用 x 年后。汽车的价值为( 10 ? 0.8 x )万
2

元。显然,在这辆汽车上的平均年支出 y (单位:万元)是使用时间 x (单位:年)的函数。 ⑴写出 y 关于 x 的函数解析式; ⑵随着 x 的增加,函数值 y 的变化有何规律?

5、某地区原来的电价为 0.8 元/(kW·h) ,年用电量为 1 亿 kW·h。今年,电力部门计划下调电价以提高 用电量、增加收益。根据调查,下调电价后新增的用电量与实际电价和原电价的差的平方成正比,比 例系数为 50.该地区电力的成本价位 0.5 元/(kW·h) 。 ⑴写出电力部门的收益 y 与实际电价 x 间的函数关系式; ⑵随着 x 的变化, y 的变化有何规律? ⑶电力部门将电价定位多少,能获得最大的收益?

6、一种质量为 1kg 的物质,在化学分析中,经过时间 t(单位:min)后,所剩的质量 m (单位:kg)与 时间 t 的关系可表示为 m ? e
?2t



⑴求当 t 从 1 变到 2 时,质量 m 关于 t 的平均变化率,并解释它的实际意义; ⑵求 m ??2 ? 并解释它的实际意义。

B组
31

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选修 2-2 基础练习

教师:张凡

1、一个电路中,流过的电荷量 Q (单位: C )关于时间 t (单位:s)的函数为:

Q?t ? ? 3t 2 ? ln t 。
⑴求当 t 从 1 变到 2 时,电路中流过的电荷量 Q 关于 t 的平均变化率,并解释它的实际意义; ⑵求 Q ??2 ? , Q ??3? ,并解释它的实际意义; ⑶求 Q ??t ? ,并讨论 Q ??t ? 的变化规律; ⑷当 t 为何值时 Q ??t ? 取得最大值?何时取得最小值?

2、 为了安全起见, 高速公路同一车道上行驶的前后两辆汽车之间的距离不得小于 kx (单位: m) 其中 x(单 位:km/h)是车速, k 为比例系数。经测定,当车速为 60km/h 时,安全车距为 40m。假设每辆车的平 均车长为 5m。 ⑴写出在安全许可的情况下,某路口同一车道的车流量 y (单位:辆/min)关于车速 x 的函数; ⑵如果只考虑车流量,规定怎样的车速可以使得高速公路上的车流量最大?这种规定可行吗?

2

32

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第四章 定积分
第一节 定积分的概念 1.1 定积分的背景—面积和路程问题

练习 1 设 S 表示由曲线 y ? ⑴画出该平面图形; ⑵试估计该平面图形的面积,并写出估计值的误差。

x ,直线 x ? 1 以及 x 轴所围成平面图形的面积。

练习 2 如果汽车在某一段时间内的速度函数为 v?t ? ? 20t ,0 ? t ? 5 , 试估计汽车在这段时间内走过的距离, 并写出估计值的误差。

1.2 定积分 例 说明下列定积分所表示的意义,并根据其意义求出定积分的值: ⑴

? 2dx ;
0

1



?

2

1

xdx ;



?

1

?1

1 ? x 2 dx 。

练习 用图形表示下列定积分: ⑴

?x
0

1

2

dx ;



?

2

1

ln xdx ;



?e
?1

0

x



33

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习题 4—1 A组 1、已知函数 y ? f ?x ? 的图形如图所示,给出 y ? f ?x ? 与 x ? 10 和 x 轴所围成的面积估计值;要想得到误 差不超过 1 的面积估计值可以怎么做?

2、小明跑马拉松,小明的朋友小强骑自行车在他的后面每隔 15min 测量一下他的速度。小明开始时跑的 很快,但 1.5h 后,他因体力消耗过大不得不停下来。小强测量到的数据如下: 起跑后的速度 t/min 速度 v /(km/h) 0 19 15 17 30 16 45 16 60 13 75 10 90 0

⑴估计小明在开始的 0.5h 内所跑的路程,并写出估计值的误差; ⑵估计小明在全程所跑过的路程并写出估计值的误差。 3、设力 F (单位: N )的方向与物体运动的方向一致,力的大小随着物体走过的路程 x (单位:m)而 变化,可以表示为: F ? F ? x ? ? 1N ?m. 4、用图像表示下列定积分: ⑴

1 ,估计力 F 在 0~10m 这段路程内所做的功,要求误差不超过 1? x

?e
1

3

x

dx ;



? (x
0 2

1

2

? 2 x)dx 。

5、利用定积分的几何意义求下列定积分: ⑴

? 2xdx ;
1

2


1

?

0

4 ? x 2 dx 。

6、已知 ⑴

?
1 0

1

0

e x dx ? e ? 1 , ? x 2 dx ?
0

1 ,求下列定积分: 3


?

(e x ? x 2 )dx ;

? (2e
0

1

x

? x 2 )dx 。
B组

1、用图像表示定积分

?

1

?1

x dx ,并通过几何意义求定积分的值。

2、 设抛物线 y ? 1 ? x 和 x 轴所围成平面图形的面积为 S1 , 它与定积分
2

?

1

?1

( x 2 ? 1)dx 之间有何关系?设抛

物线 y ? x ? 1 和 x 轴所围成平面图形的面积为 S 2 ,它与定积分
2

?

1

?1

( x 2 ? 1)dx 之间有何关系?

34

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第二节 微积分基本定理 例 1、计算下列定积分: ⑴

? 2 xdx ;
0

1



?x
0

1

2

dx ;



?

?

2 0

cos xdx ;



?

2

1

e x dx 。

例 2、求定积分

?

?

0

cos dx ,并解释其意义。

练习 1、求下列定积分 ⑴

?e
0

1

x

dx ;



?? cos xdx ;
2

?



? x dx 。
3 0

1

2、求下列函数的导函数,并利用所求结果求 ⑴x ; ⑶ x ?? ;
2 2

? 2 xdx :
0

1

⑵ x ?5;
2

⑷ x ? a (其中 a 是一个常数) 。
2

3、计算下列定积分: ⑴

? (x
0

1

3

? 1)dx ;



?

4

2

1 dx ; x



?

?

4 0

1 dx 。 cos2 x

35

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习题 4—2 A组 1、已知 2e 2 的导函数是 e 2 ,求定积分 2、已知 F ? x ? ?
1

x

1

x

?e
0

1

1 x 2

dx 。

1 1 , f ?x ? ? F ??x ? ,求 ? f ? x ?dx 。 0 x ?1

3、已知 F ?x ? ? sin x cos x , f ?x ? ? F ??x ? ,求

? f ?x?dx 。
0

?

4、⑴求 sin x , sin x ? 2 , sin x ? c (其中 c 为任意常数)的导函数; ⑵求定积分

?

?

2 0

cos xdx 。

5、求出下列函数的原函数,并求出各个函数在区间 ?0,1? 上的定积分: ⑴1 ? 2x ; 6、计算下面的定积分: ⑴ ⑵ 3 sin x ? cos x 。

?

1

0

(2 x ? 7)dx ;⑵ ? (
1

2

3 ? e 3 2 x ? ) dx ;⑶ ;⑷ ;⑸ 3 dx sin xdx ?1 ??? ?1 ln xdx ; x2 x



?

1

1 1? x2

0

dx ;⑺ ? ( x 2 ? 2 x ? 3)dx ;⑻ ? ( x ? 1) 2 dx ;⑼ ? (2 x ? x 2 )dx ;⑽ ? (
0

1

3

1

2

1

?1

1

1 ? x x )dx 。 2x

7、 一辆汽车在一段时间内, 行驶过程中的速度 v(单位: m/s) 是时间 t (单位: s) 的函数 v?t ? ? 2 t ? t ? 2 ,

t ? 0 。求汽车在 5~10s 这段时间内走过的路程。
8、将一根弹性系数为 0.5 N/m 的弹簧自 80cm 压缩至 60cm,求这一过程中弹簧弹力所做的功。

B组 1、求定积分

?? sin x ? ? f ?x?dx ,其中 f ?x? ? ? ? x
2 ? 2

?

x?0 。 x?0

2、求出下列定积分: ⑴

?x
0

1

2

dx ;



? ( x ? 1) dx ;
2 1

2



?

0

?1

( x ? 1) 2 dx 。

你能得到什么结果?把以上定积分用图像表示出来,解释你的结果。

36

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第三节 定积分的应用 3.1 平面图形的面积 例 1、求如图所示阴影部分的面积。

y

y ? sin x

??

O

? x

例 2、求抛物线 y ? x 2 与直线 y ? 2 x 所围成平面图形的面积。

y

y ? x2

4

O

2

x

y ? 2x

例 3、求图所示阴影部分的面积。

y y?x

y? x

O

2

4

x

练习 1、求由曲线 y ?

1 ,直线 x ? 1 , x ? 2 以及 x 轴所围成平面图形的面积。 x

x 2、求由曲线 y ? e ,直线 x ? 1 以及坐标轴所围成的平面图形的面积。

37

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3.2 简单几何体的体积 例 4、给定直角边为 1 的等腰直角三角形,绕一条直角边旋转一周,得到一个圆锥体。求它的体积。

例 5、一个半径为 1 的求可以看成是由曲线 y ? 1 ? x 2 与 x 轴所围成的区域(半圆)绕 x 轴旋转一周得到 的,求球的体积。

练习 1、将由直线 y ? x , x ? 1 , x ? 2 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周,得到一个圆台,利用定积分求该 圆台的体积。

2、 求由曲线 y ?

x ? 1 ,x 轴, y 轴以及直线 x ? 1 所围成的区域绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积。

38

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习题 4—3 1、由抛物线 y ? x 2 ,直线 y ? x ? 2 所围成的平面图形的面积。

2、求由函数 y ? cos x ( x ? ??

? ? 3? ? )与 x 轴所围成的平面图形的面积。 , ? 2 2? ?

3、求由曲线 y ? sin x ,直线 x ? 0 , x ?

?
2

以及 x 轴所围成的平面图形的面积。

4、求由曲线 y ? x ?

1 ,直线 x ? 1 , x ? 2 和 x 轴所围成的平面图形的面积。 x

5、求由双曲线 y ?

1 ,直线 x ? 1 , x ? 2 和 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。 x

6、求由曲线 y ?

x ,直线 x ? 1 以及坐标轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

7、求由曲线 y ? x 与 y ?
2

x 所围成的图形的面积,并求该图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

39

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复习题四 A组 1、用图形表示下列定积分: ⑴

?

2

1

ln xdx ;



?

?

4 0

tan xdx 。

2、一个水管中水的流速 v (单位:m?/min)是时间 t (单位:min)的函数: v ? f ?t ? 。 ⑴试用定积分表示在前 10min 内水管中流过的水量; ⑵假设 f ?t ? ? t ?

1 2 t ,试估计前 10min 水管中流过的水量,并写出估计值的误差。 2

3、一只虫子在 0 ? t ? 50 min 内以速度 v ? f ?t ? 爬行,速度以 m/min 为单位。 假设 v ? f ?t ? 的图像如图所示,试估算这只虫子在这 50min 内爬行的距离,并写出估计值的误差。

4、求下列定积分 ⑴

?

1

?1

( x 5 ? x 3 ? 2 x)dx ;



?

ln 2

0
2

e x (1 ? e ? x )dx ;



? ? (sin x ? cos x)dx ; ⑷ ?
?

?

e

1

2 dx ; x



?

2

?1

(2e x ? sin x)dx ;



?

1

x2 ? x ?1 dx ; 3x



?

2

1

1 dx ; x3



?

0

?2

( x ? 1) 2 dx 。

5、求由曲线 y ? sin x ( x ? ?

? ? 3? ? ? ? 3? ? , ? )和 y ? cos x ( x ? ? , ? )所围成的平面图形的面积。 ?4 4 ? ?4 4 ?

6、求半椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( y ? 0 )绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。 9 4

7、求由抛物线 y ? x 2 ? 1 与直线 y ? x ? 1 所围成的平面图形的面积。
x 8、求由曲线 y ? e 及直线 y ? ? x ? 1 所围成的平面图形的面积。
2 9、物体以速度 v ? 3t ? 2t (单位:m/s)做直线运动,求它在 t ? 0 s 到 t ? 3 s 内所走过的路程。

2 10、将由曲线 y ? x 和 y ? x 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周,求所得旋转体的体积。

11、一条水管中水流的速度 v (单位:m?/s)是时间 t (单位:s)的函数: v ? 2t ? sin t ,求前 10s 水管 中流过的水量。
40

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选修 2-2 基础练习

教师:张凡

B组 1、一杯 90°的热水被放进 4℃的冰箱冷藏室中冷却,如果在冰箱内,热水的温度随热水放入冰箱的时间 t (单位:min)的变化率为 ? 7e
?0.1t

。请问:20 min 后,水温能否降到 30℃?

2、一条长 10 m,质量为 20kg 的均匀链条被悬挂于一建筑物顶部,问:需要做多少功才能把这一链条全部 拉上建筑物顶部。

3、当 a 为何值时,由曲线 y ? x 2 ? 1 与直线 x ? a , x ? a ? 1 , y ? 0 所围成的图形面积最小?

4、从一个鱼塘中捕捞鱼的成本与鱼塘中鱼的数量有关。若鱼塘里有 x kg 鱼,则每千克的捕捞成本是 元。现在鱼塘中大约有 10 000kg 鱼,要从中捕捞 6000kg,需要花费多少元?

200 x

41

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选修 2-2 基础练习

教师:张凡

第五章 数系的扩充与复数的引入
第一节 数系的扩充与复数的引入 1.1 数的概念的扩展 例 1、说出下列三个复数的实部、虚部,并指出它们是实数还是虚数,如果是虚数请指出是否为纯虚数。 ⑴ 3 ? 4i ; ⑵?

3 i; 2

⑶? 7 。

1.2 复数的有关概念 例 2、设 x, y ? R ,并且 ?x ? 2? ? 2 xi ? ?3 y ? ( y ? 1)i ,求 x, y 的值。

例 3、在复平面内表示下列复数,并分别求出它们的模: ⑴ ? 2 ? 3i ; ⑵

1 3 ? i; 2 2

⑶ 3 ? 4i ;

⑷ ? 1 ? 3i 。

练习 1、说出下列复数的实部与虚部,并指出它们是实数还是虚数,如果是虚数指出是否为纯虚数: ⑴1 ?

2i ;

⑵?

1 3 ? i; 2 2

⑶ ( 3 ? 1)i ;

⑷0 。

2、求适合下列方程的实数 x, y 的值。 ⑴ (?2 x ? 3) ? ( y ? 4)i ? 0 ; ⑵ (3x ? 2 y) ? ( x ? 2 y)i ? 3 ? 6i 。
B

y
A

3、 说出图中复平面内点 A, B, C , D, E 所表示的复数 (每个小方格的边长是 1) 。

O
E

x

4、 设复数 z ? a ? bi 和复平面内的点 Z (a, b) 对应, 若点 Z 分别位于下列位置, 求 a , b 满足的条件: ⑴实轴上; ⑶实轴上方(不包括实轴) ; 5、求下列复数的模: ⑴ z1 ? ?5 ? 12i ; ⑵ z 2 ? 4i ? 5 ;
42

C

D

⑵虚轴上; ⑷虚轴左侧(不包括虚轴) 。

⑶ z3 ? 3 ? i 。

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选修 2-2 基础练习

教师:张凡

习题 5—1 A组 1、求实数 m 的值,使复数 (m 2 ? 2m ? 3) ? (m 2 ? 3m ? 4)i 分别是: ⑴实数; ⑵纯虚数; ⑶零。

2、求适合下列各方程的实数 x, y : ⑴ ( x ? y) ? xyi ? 6 ? 7i ; ⑵ ( x 2 ? 4x ? 5) ? ( y 2 ? 3 y ? 4)i ? 0 。

3、在复平面上作出表示下列复数的点: ⑴ ? 1 ? 2i ; ⑵

3 1 ? i; 2 2

⑶ 3i ;

⑷5 。

4、求下列复数的模: ⑴ 3 ? 4i ;⑵

1 3 ? i ;⑶ ? 6 ;⑷ ? 5i 。 2 2

B组 设复数 z ? (m ? 1) ? (m 2 ? 4m ? 5)i 和复平面内的点 Z 对应,若点 Z 的位置分别满足下列要求,求实 数 m 满足的条件: ⑴不在实轴上; ⑶载实轴下方(不包括实轴) ; ⑵在虚轴上; ⑷在虚轴右侧(不包括虚轴) 。

43

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选修 2-2 基础练习

教师:张凡

第二节 复数的四则运算 2.1 复数的加法与减法 例 1、计算: ⑴ (?5 ? 3i) ? (2 ? 4i) ;⑵ ( 3 ? i) ? (2 3 ? 4i) 。

例 2、计算: ⑴ (2 ? i) ? (3 ? i) ;⑵ (4 ? 9i) ? (4 ? 9i) 。

练习 计算: ⑴ ? 7 ? (?3 ? i) ; ⑶ (? 6 ? 2i) ? ( 6 ? 2i) ; ⑸ (3 5 ? 4i) ? (? 5 ? 2i) ; ⑵ (3 ? 2i) ? (?1 ? 2i) ; ⑷ (3 2 ? 2i) ? (? 2 ? 3i) ? (4 2 ? 3i) ; ⑹ (8 ? 2i) ? (?7 ? 5i) ? (3 3 ? 7i) 。

44

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选修 2-2 基础练习

教师:张凡

2.2 复数的乘法与除法 例 3、计算: (?2 ? i)(3 ? i) 。

例 4、计算: ⑴ (?2 ? 3i)(?1 ? 3i) ; ⑵ (? 2 ? 2i)( 6 ? i) 。

例 5、计算: ⑴ (1 ? i) 4 ; ⑵ (2 ? i ) 2 (2 ? i ) 2 。

例 6、计算: ⑴

?1 ; 2i



1 ? 2i 。 2 ? 3i

练习 1、计算: ⑴ (1 ? 3i)(3 ? 2i) ; ⑵ (?1 ? 2i)(2i ? 4) ;

⑶ (?

1 3 2 ? i) ; 2 2

⑷ (3 ? 2i)(?3 ? 2i ) 。

2、计算: ⑴i ?i ?i ?i ;
2 3 4

⑵i ? i ? i ? i ? i ? i ? i ? i 。
2 3 4 5 6 7 8

3、计算: ⑴ (?2 ? 3i) ;
3

⑵ (1 ? 2i) 。
4

4、计算: ⑴

i ; 2 ? 3i



2 ? i 1? i ? 。 1? i 3 ? i

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选修 2-2 基础练习

教师:张凡

习题 5—2 A组 1、计算: ⑴ i ? (3 ? 4i ) ; ⑶ (2 ? i) ? (3 ? i) ; 2、计算: ⑴ (1 ? i)(3 ? 4i) ; ⑶ (3 ? i)(3 ? 2i)(1 ? i) ; 3、计算: (其中 n ? N ) ⑴i
4n

⑵ (1 ? i) ? (1 ? i) ; ⑷ (1 ? 4i) ? (2 ? i) 。

⑵ (1 ? 2i )(1 ? 2i) ; ⑷ [(5 ? 4i) ? (1 ? 3i)](5 ? 2i) 。

? i 4n?1 ? i 4n?2 ? i 4n?3 ;

⑵i

4n

? i 4n?1 ? i 4n?2 ? i 4n?3 。

4、计算: ⑴

2 ? 3i ; i



1? i ; 1? i



i?2 ; 2?i



3 ? 5i 。 1 ? 2i

5、计算: ⑴ (1 ? 2i) 2 ; 6、计算: ? ⑵ (3 ? 4i) 2 。

?1? i ? ? 。 ?1? i ?
1 ? mi 1 ? 的实部与虚部相等,求 m 的值。 2?i 2

2

7、已知 m 为实数,并且

B组 1、在复平面内,与复数 z ? 3 ? 4i 的共轭复数对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

2、写出下列复数的共轭复数,并在复平面上作出表示各对复数的点: ⑴?3?i ; ⑵ 3i ? 2 ; ⑶ 1 ? 3i ; ⑷ 3 ? 4i 。

3、已知 z1 ? 1 ? 3i , z 2 ? 2a ? 4i ,且 z 2 ? 4、已知 a 为实数,并且

1 ,求复数 a 。 z1

2?i 1 ? 的实部与虚部相等,求 a 。 3 ? ai 4

46

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选修 2-2 基础练习

教师:张凡

复习题 五 A组 1、求适合下列方程的实数 x, y 的值。 ⑴ (?4 x ? 1) ? ( y ? 2)i ? 0 ; 2、化简: i , i , i , i , i , i 3、计算: ⑴ (3 ? 4i) ? (?5 ? 3i) ; ⑶ (?2 ? 3i) ? (6 ? 5i) ; 4、计算: ⑴ (?8 ? 7i)(?3i) ; ⑵ (4 ? 3i)(?5 ? 4i) ; ⑵ (1 ? 5i) ? (2 ? 3i) ; ⑷ (7 ? i ) ? (2i ? 3) 。
11 25 26 36 70 101

⑵ ( x ? 2 y) ? (3x ? y)i ? 3 ? 6i 。 ,i
355

,i

400



⑶ (?

1 3 ? i )(1 ? i ) ; 2 2

⑷ (1 ? 2i)(2 ? i)(3 ? 4i)

5、计算: ⑴ (1 ? 2i) 2 ; ⑷ ; ⑵ (2 ? 3i) 3 ; ⑸ ⑶ (? ⑹

1 3 1 3 ? i)(? ? i) ; 2 2 2 2

1 i

2i ; 1? i

1? i 1 ? 3i

6、已知 w ?

1? 3 2 ,求 w ? w ? 1的值。 2

B组 1、计算: ⑴

i ; 2 ? 3i 1 ? 2i 2i ? 3 ? ; 2i 1? i



4?i 3?i ? ; 2?i 2?i





5 ? 3i 5 ? 3i

?

3 ? 5i 3 ? 5i



z 2 ? 4z ? 8 2、当 z ? 2 ? i 时,计算 。 z ?1

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