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江苏省13大市2013届高三数学上学期期末试题分类汇编 圆锥曲线 苏教版


江苏省 13 大市 2013 届高三上学期期末数学试题分类汇编 圆锥曲线
一、填空题 1、 (常州市 2013 届高三期末) 已知双曲线 则该双曲线的离心率的值为 答案:
5

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ?

0, b ? 0)

的一条渐近线经过点 (1, 2) ,



2、 (连云港市 2013 届高三期末)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线

y2 = 4x 的准线交于 A、B 两点,AB = 3,则 C 的实轴长为
答案:1 3、 (南京市、盐城市 2013 届高三期末)已知 F1 、 F2 分别是椭圆
| PF1 ? PF2 | PF1



.

x

2

?

y

2

? 1 的左、右焦点,

8

4

点 P 是椭圆上的任意一点, 则 答案: [0, 2 2 ? 2]

的取值范围是





4、 (南通市 2013 届高三期末)已知双曲线 x 2
a

2

?

y b

2 2

? 1 的一个焦点与圆

x2+y2-10x=0 的圆心


重合,且双曲线的离心率等于 答案: x
2

5

,则该双曲线的标准方程为



5

?

y

2

20

? 1.

5、 (徐州、淮安、宿迁市 2013 届高三期末)已知双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

的右焦点

为 F , 若以 F 为圆心的圆 x 2 率为 ▲ 答案:
3 5

? y

2

? 6x ? 5 ? 0

与此双曲线的渐近线相切,则该双曲线的离心

.
5

6 、( 苏 州 市 2013 届 高 三 期 末 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 双 曲 线
E: x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0) 的左顶点为 A ,过双曲线 E 的右焦点 F 作与实轴垂直的直线

交双曲线 E 于 B , C 两点,若 ?ABC 为直角三角形,则双曲线 E 的离心率为 答案:2



1

7、 (泰州市 2013 届高三期末)设双曲线

x

2

?

y

2

4

5

? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 为双

曲线上位于第一象限内一点,且 ? PF1 F2 的面积为 6,则点 P 的坐标为 答案: ?
?6 5 ? ,2 ? ? 5 ? ? ?
2

8、 (无锡市 2013 届高三期末)如图,过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线 L 交抛物线于点 A、B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且 |AF|=3,则此抛物线的方程为 。 答案: 9、 (扬州市 2013 届高三期末) 已知圆 C 的圆心为抛物线 y ? ?4 x 的焦
2

点,又直线 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C 的标准方程为 ▲ . 答案: ( x ? 1) ? y ? 4
2 2

10、 (镇江市 2013 届高三期末)圆心在抛物线 x 2 切的圆的标准方程为 ▲ .

? 2y

上,并且和抛物线的准线及 y 轴都相

?x ? 1?2 ? ? y ?
?

?

1? ? ?1 2?

2

二、解答题 1、 (常州市 2013 届高三期末)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知 F1 , F2 分别是椭
x a
2 2

圆 E:

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的左、右焦点, A,B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,且

???? ? ???? ? ? AF2 ? 5 BF2 ? 0 .

(1)求椭圆 E 的离心率; (2)已知点 D ?1, 0 ? 为线段 OF2 的中点,M 为椭圆 E 上的动点(异于点 A 、 B ) ,连接 MF1 并延长交椭圆 E 于点 N ,连接 MD 、 ND 并分别延长交椭圆 E 于点 P 、 Q ,连接 PQ , 设直线 MN 、 PQ 的斜率存在且分别为 k1 、k2 ,试问是否存在常数 ? ,使得 k1 ? ? k2 ? 0 恒 成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

2

解: (1)? AF2 ? 5 BF2 ? 0 ,? AF2 故椭圆 E 的离心率为
2 3

???? ?

???? ?

?

???? ?

???? ? ? 5 F2 B .? a ? c ? 5 ? a ? c ? ,化简得 2a ? 3c ,

.
?? 4 7

(2)存在满足条件的常数 ? , l 而 a ? 3 ,b ?
5

.点 D ?1, 0 ? 为线段 OF2 的中点,? c ? 2 ,从
x
2

,左焦点 F1 ? ?2, 0 ? ,椭圆 E 的方程为 ,则直线 MD 的方程为 x ?
x1 ? 1 y1

?

y

2

9

5

? 1 .设 M ? x1 , y1 ?
2

, N ? x2 , y2 ? ,
? y
2

P ? x3 , y3 ? , Q ? x4 , y4 ?

y ? 1 ,代入椭圆方程

x

? 1 ,整

9

5

理得,

5 ? x1 y1
2

y ?
2

x1 ? 1 y1

y ? 4 ? 0 .? y1 ? y3 ?

y1 ? x1 ? 1? x1 ? 5

,? y3

?

4 y1 x1 ? 5

.从而 x3

?

5 x1 ? 9 x1 ? 5

,故点

? 5 x1 ? 9 4 y1 ? ? 5 x2 ? 9 4 y2 ? P? , , ? .同理,点 Q ? ? .? 三点 M ? x1 ? 5 x1 ? 5 ? ? x2 ? 5 x2 ? 5 ?

、 F1 、 N 共线,? .

y1 x1 ? 2

?

y2 x2 ? 2






4 y1 ? ? 4 y2 x2 ? 5

x1 y2 ? x2 y1 2 ? ?

y1 ?

?y2





k2 ?

y3 ? y4 x3 ? x4

?

x1 ? 5 5 x1 ? 9 x1 ? 5

5 x2 ? 9 x2 ? 5

?

x1 y2 ? x2 y1 ? 5 ? y1 ? y2 ? 4 ? x1 ? x2 ?

?

7 ? y1 ? y2 ? 4 ? x1 ? x2 ?

?

7 k1 4

.故 k1 ?

4k 2 7

从 ?0,

而存在满足条件的常数 ? , l

??

4 7

.
x
2

2、 (连云港市 2013 届高三期末)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的上顶点为 A,左, a b 4 b 右焦点分别为 F1, 2,且椭圆 C 过点 P( , ),以 AP 为直径的圆恰好过右焦点 F2. F 3 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,试问:在 x 轴上是否存在两定点,使其 到直线 l 的距离之积为 1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请说明理由.

y

2

y A P F1 O
1

3

F2

x

4 b 16 1 2 解:(1)因为椭圆过点 P( , ),所以 2+ =1,解得 a =2, 3 3 9a 9

………………2 分

b b 3 2 又以 AP 为直径的圆恰好过右焦点 F2.所以 AF2?F2P,即? ? =?1, b =c(4?3c).……6 分 c4 ?c 3
而 b =a ?c =2?c ,所以 c ?2c+1=0,解得 c =1,
2 2 2 2 2 2

故椭圆 C 的方程是 +y =1. 2

x2

2

………………………8 分

(2)①当直线 l 斜率存在时,设直线 l 方程为 y=kx+p,代入椭圆方程得 (1+2k )x +4kpx+2p -2=0. 因为直线 l 与椭圆 C 有只有一个公共点,所以 △=16k p -4(1+2k )(2p -2)=8(1+2k ―p )=0, 即 1+2k =p .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

…………………………………10 分

设在 x 轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线 l 的距离之积为 1,则 |ks+p| |kt+p| |k st+kp(s+t)+p | ? = =1, k2+1 k2+1 k2+1 即(st+1)k+p(s+t)=0(*),或(st+3)k +(s+t)kp+2=0 (**). 由(*)恒成立,得? 14 分 而(**)不恒成立. ②当直线 l 斜率不存在时,直线方程为 x=? 2时, 定点(-1,0)、F2(1,0)到直线 l 的距离之积 d1? d2=( 2-1)( 2+1)=1. 综上,存在两个定点(1,0),(?1,0),使其到直线 l 的距离之积为定值 1. ………16 分
?st+1=0, ?s+t=0.
2 2 2

解得?

?s=1

?t=?1

,或?

?s=?1 ?t=1

,

…………………………

3、 (南京市、盐城市 2013 届高三期末)如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆
x a
2 2

C:

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 经过点 M (3 2,

2 ) ,椭圆的离心率 e ?

2 2 3

, F1 、 F2 分别是

椭圆的左、右焦点.

4

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 M 作两直线与椭圆 C 分别交于相异两点 A 、 B . ①若直线 MA 过坐标原点 O , 试求 ?MAF2 外接圆的方程; ②若 ?AMB 的平分线与 y 轴平行, 试探究直线 AB 的斜率是否为定值?若是, 请给予 证明;若不是, 请说明理由.

解: (1)由 e ? 3分

2 2 3



c a

2 2

?

a ?b
2

2

a

2

?

8 9

,得 a 2 ? 9b 2 ,故椭圆方程为

x

2 2

?

y b

2 2

? 1 ………

9b

又 椭 圆 过 点 M (3 2, 2 ) , 则
x
2

18 9b
2

?

2 b
2

? 1 , 解 得 b2 ? 4 , 所 以 椭 圆 的 方 程 为

?

y

2

? 1 ………5 分

36

4
1 3

(2)①记 ?MF1 F2 的外接圆的圆心为 T .因为 kOM ?

,所以 MA 的中垂线方程为 y ? ?3 x ,
2? ? ,而 k MF2 ? ?1 , 2 ? ? ?3 2 ? 4 9 2? ? …8 分 4 ? ?

又由 M (3 2, 2 ) , F2 ? 4 2, 0 ? ,得 MF1 的中点为 ? ?
?

?7 2 2

,

所以 MF2 的中垂线方程为 y ? x ? 3 2 ,由 ?
? 3 2 ?4 2 ? ? 4 ?
2

? y ? ?3 x ? ?y ? x ?3 2 ?
2

,得 T ? ?

,?

所以圆 T 的半径为

? ? 9 2 ? ??0? ? ? 4 ? ?
2

? 5 5 , ? ? ? 2 ?

? 3 2 故 ?MAF2 的外接圆的方程为 ? x ? ? 4 ?

? ? 9 2 ? ?? y ? ? ? 4 ? ?
9 2 2

? 125 ………………10 分 ? ? ? 4 ?

2

(说明:该圆的一般式方程为 x 2 ?

3 2 2

x? y ?
2

y ? 20 ? 0 )

(3)设直线 MA 的斜率为 k , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题直线 MA 与 MB 的斜率互为相反

5

? y ? kx ? 2 ? 3 2k ? 数,直线 MB 的斜率为 ? k .联立直线 MA 与椭圆方程: ? x 2 y 2 , ? ?1 ? 4 ? 36

整理得 ? 9k ? 1? x ? 18 2k ?1 ? 3k ? x ? 162k ? 108k ? 18 ? 0 ,得 x ? 1
2 2 2

18 2 ? 3k ? k ?
2

9k ? 1
2

?3 2 ,

所以 x ? 2 分

18 2 ? 3k ? k ?
2

9k ? 1
2

整理得 x2 ? x1 ? ?3 2 ,

36 2k 9k ? 1
2

,x2 ? x1 ?

108 2k
2

2

9k ? 1

? 6 2 …13

又 y2 ? y1 ? ? kx2 ? 2 ? 3 2k ? ? kx2 ? 2 ? 3 2k ? ? ? k ? x2 ? x1 ? ? 6 2k
12 2k

=

?108k
2

3

9k ? 1

? 12 2k ?

12 2k 9k ? 1
2

,所以 k AB ?

y2 ? y1 x2 ? x1

?

9k ? 1
2

?

1 3

为定值………………16 分

36 2k 9k ? 1
2

4、 (南通市 2013 届高三期末)已知左焦点为 F(-1,0)的椭圆过点 E(1, 2

3 3

).过点 P(1,

1)分别作斜率为 k1,k2 的椭圆的动弦 AB,CD,设 M,N 分别为线段 AB,CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 为线段 AB 的中点,求 k1; (3)若 k1+k2=1,求证直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标. 解:依题设 c=1,且右焦点 F ? (1,0). 所以,2a= EF ? EF ? =
?2 3? 2 2 2 2 3 (1 ? 1) ? ? ? 2 3 ,b =a -c =2, ? ? 3 ? 3 ?
2 2

故所求的椭圆的标准方程为 x

2

3

?

y

2

2

?1.
2 2

………………………………4 分
? 1 ①, x2 3
2

(2)设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),则 ②-①,得 所以,k1=
( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) 3
y2 ? y1 x2 ? x1 ?? 2( x2 ? x1 ) 3( y2 ? y1 )

x1

3

?

y1 2

?

y2 2

2

? 1 ②.

?

( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) 2
4 xP 6 yP ?? 2 3

? 0.

??

. ……………………………9 分

(3)依题设,k1≠k2. 设 M( xM , yM ),直线 AB 的方程为 y-1=k1(x-1),即 y=k1x+(1-k1),亦即 y=k1x+k2, 代入椭圆方程并化简得
(2 ? 3k1 ) x ? 6k1k2 x ? 3k2 ? 6 ? 0 .
2 2 2

6

于是, xM 同理, xN

?

?3k1k2 2 ? 3k1 ?3k1k2 2 ? 3k2
2 2

, yM , yN

?

2k 2 2 ? 3k1 2k1 2 ? 3k2
2 2

. .

………………………………11 分

?

?

当 k1k2≠0 时, 直线 MN 的斜率 k=
yM ? y N xM ? xN ?

4 ? 6( k2 ? k2 k1 ? k1 )
2 2

?9k2 k1 ( k2 ? k1 )

=

10 ? 6k2 k1 ?9k2 k1

.………………13 分

直线 MN 的方程为 y ? 即 亦即
10 ? 6k2 k1 ?9k2 k1

2k 2 2 ? 3k1
2

?

10 ? 6k2 k1 ?9k2 k1

(x ?

?3k1k2 2 ? 3k1
2

),

y?

10 ? 6k2 k1 3k1k2 2k 2 x?( ? ? ), 2 2 ?9k2 k1 2 ? 3k1 2 ? 3k1
x? 2 3

y?

10 ? 6k2 k1 ?9k2 k1



此时直线过定点 (0, ? 2 ) . ………………………………………………………15 分
3

当 k1k2=0 时,直线 MN 即为 y 轴,此时亦过点 (0, ? 2 ) .
3

综上,直线 MN 恒过定点,且坐标为 (0, ? 2 ) .
3

……………………………16 分
xOy

5、 (徐州、淮安、宿迁市 2013 届高三期末)如图,在平面直角坐标系
E : x a
2 2

中,椭圆

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的焦距为 2,且过点 (

2,

6 2

)

.

(1) 求椭圆 E 的方程; (2) 若点 A , B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是椭 圆上异于 A , B 的任意一点,直线 AP 交 l 于点 M . (ⅰ)设直线 OM 的斜率为 k 1 , 直线 BP 的斜率为 k 2 ,求证: k 1 k 2 为定值; (ⅱ)设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m . 求证:直线 m 过定点,并求出定点的坐标.

y M P

A
O
m

B
x

l

答案: .⑴由题意得 2 c
? 2

,所以 c
2

? 1 ,又

2 a
2

+

3 2b
2

? 1 ,…………………………………2



消去 a 可得, 2 b 4

? 5b ? 3 ? 0

,解得 b 2

? 3

或b2

? ?

1 2

(舍去) ,则 a 2

? 4


7

所以椭圆 E 的方程为

x

2

?

y

2

? 1 .……………………………………………………4



4

3
? 0)

⑵(ⅰ)设 P ( x1 , y 1 )( y 1

,M

(2, y0 )

,则 k 1

?

y0 2

, k2

?

y1 x1 ? 2



因为 A , P , B 三点共线,所以 y 0

?

4 y1 x1 ? 2

, 所以, k 1 k 2

?

y 0 y1 2 ( x1 ? 2 )
2

?

4 y1
2

2

2 ( x1 ? 4 )

,8 分

因为 P ( x 1 , y 1 ) 在椭圆上,所以 y 12

?

3 4

( 4 ? x1 )
2

,故 k 1 k 2

?

4 y1
2

2 ( x1 ? 4 )
2 ? x1 y1

? ?

3 2

为定值.10 分

(ⅱ)直线 B P 的斜率为 k 2

?

y1 x1 ? 2

,直线 m 的斜率为 k m

?

,

则直线 m 的方程为 y

? y0 ?

2 ? x1 y1

(x ? 2)

,…………………………………………12 分

y ?

2 ? x1 y1

( x ? 2) ? y0 ?

2 ? x1 y1

x ?

2 ( 2 ? x1 ) y1

?

4 y1 x1 ? 2 2 ? x1 y1

?

2 ? x1 y1

x ?

2 ( x1 ? 4 ) ? 4 y 1
2

2

( x1 ? 2 ) y 1

?

2 ? x1 y1

x ?

2 ( x1 ? 4 ) ? 1 2 ? 3 x1
2

2

( x1 ? 2 ) y 1

=

2 ? x1 y1

x ?

=

2 ? x1 y1

( x ? 1)



所以直线 m 过定点 ( ? 1, 0 ) .

………………………………………………………16 分

6、 (苏州市 2013 届高三期末)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 F 是椭圆
x a
2 2

E:

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的左焦点, A , B , C 分别为椭圆 E 的右、下、上顶点,满足

??? ??? ? ? 1 FC ?BA ? 5 ,椭圆的离心率为 . 2

(1)求椭圆的方程; (2)若 P 为线段 FC (包括端点)上任意一点,当 PA?PB 取得最小值时,求点 P 的 坐标; (3)设点 M 为线段 BC (包括端点) 上的一个动点,射线 MF 交椭圆于点
??? ? ???? ? N ,若 NF ? ? FM ,求实数 ? 的取
y
??? ??? ? ?

C M A O N B
8
x

值范围.

答案:

7、 (泰州市 2013 届高三期末)直角坐标 XOY 中,已知椭圆 C: 左、右顶点分别是 A1,A2,上、下顶点为 B2,B1,点 是椭圆 C 上一点, 直



线 PO 分别交 (1)求椭圆离心率; (2)若 MN=

于 M,N。

,求椭圆 C 的方程;

9

(3)在(2)的条件下,设 R 点是椭圆 C 上位于第一象限内的点, 右焦点,RQ 平分 解:(1)P(
KA

是椭圆 C 的左,

且与 y 轴交于点 Q,求点 Q 纵坐标的取值范围。 ),…………………………………………………………1 分
2 2 2 2 2 2

3a 5

,

4b 5

2 B2

·KOP=-1,∴4b =3a =4(a -c ), ∴a =4c , ∴e=
4 21 7

1 2

① …………………………4 分

(2)MN=

=
1 a
2

2 ? 1 b
2

,∴

a ?b
2

2

a b

2

2

?

7 12



由①②得,a =4,b =3, ∴

2

2

x

2

?

y

2

? 1 ………………………………………… .8 分

4

3

(3)cosα =cosβ ,∴

RF 1 · RQ RF 1 · RQ

=

RF 2 · RQ RF 2 · RQ

………………………….………….10 分



( ?1 ? x0 ,? y0 )(? x0 , t ? y 0 ) ( x0 ? 1) ? y0
2 2

?

(1 ? x0 ,? y0 )(? x0 , t ? y 0 ) ( x0 ? 1) ? y 0
2 2

化简得: ∴t=1 3

y0……………………………................................................
.14 分

∵0<y0< 3 ,t∈(-

3 3

,0) …………………………………………………………..16 分
y C D

8 、 扬 州 市 2013 届 高 三 期 末 ) 如 图 , 已 知 椭 圆 E1 方 程 为 (
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) ,圆 E2 方程为 x ? y ? a ,过椭圆的左
2 2 2

B A O x

顶点 A 作斜率为 k1 直线 l1 与椭圆 E1 和圆 E2 分别相交于 B、C. (Ⅰ)若 k1 ? 1 时, B 恰好为线段 AC 的中点,试求椭圆 E1 的离心率 e ; (Ⅱ) 若椭圆 E1 的离心率 e =
1 2

,F2 为椭圆的右焦点, | BA | ? | BF2 |? 2a 时, k1 的值; 当 求
k1 k2 ? b a
2 2

(Ⅲ)设 D 为圆 E2 上不同于 A 的一点,直线 AD 的斜率为 k2 ,当

时,试问直线 BD

是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.

10

解: (Ⅰ)当 k1 ? 1 时,点 C 在 y 轴上,且 C (0, a ) ,则 B (?
(? a 2 a
2

a a , ) ,由点 B 在椭圆上, 2 2

)

2

得 ∴
b a
2 2

?

a 2 ( ) 2 b
2

? 1,

…………………2 分
b a
2 2

?

1 3

,e ?
2

c a

2 2

? 1?

?

2 3

,∴ e ?

6 3



…………………4 分

(Ⅱ)设椭圆的左焦点为 F1 ,由椭圆定义知, | BF1 | ? | BF2 |? 2a , ∴ | BF1 |?| BA | ,则点 B 在线段 AF1 的中垂线上,∴ xB ? ?
c a 1 2 1 2

a?c 2

,…………6 分

又e ?

?

,∴ c ?

a ,b ?

3 2

a ,∴ xB ? ?

3a 4


21 2

代入椭圆方程得 yB ? ?

7 4

b=?

21 8

a ,∴ k1 ?

yB xB ? a

=?

.…………9 分

? y ? k1 ( x ? a ), 2 2 2 2 k1 ( x ? a ) x ?a ? 2 2 (Ⅲ)法一:由 ? x 得 ? ? 0, y 2 2 a b ? 2 ? 2 ? 1, b ?a

∴ x ? ? a ,或 x ?

a (b ? k1 a )
2 2 2

b ? a k1
2 2 2

2



∵ xB ? ? a ,∴ xB ?
? y ? k 2 ( x ? a ), ?x ? y ? a ,
2 2 2

a (b ? k1 a )
2 2

b ? a k1
2 2

2

,则 yB ? k1 ( xB ? a ) ?

2ab k1 b ? a k1
2 2 2

2

.……11 分

由?

2 得 x 2 ? a 2 ? k2 ( x ? a ) 2 ? 0 ,

得 x ? ? a ,或 x ?

a (1 ? k2 )
2

1 ? k2

2

,同理,得 xD ?

a (1 ? k2 )
2

1 ? k2

2

, yD ?

2ak2 1 ? k2
2

,……13 分



k1 k2

?

b a

2 2

a (b ?
2

b a

4 2

k2 ) ? k2
2

2

时, xB ?
b ?
2

a(a ? b k2 )
2 2 2

b a

4 2

a ? b k2
2 2

2

, yB ?

2ab k 2 a ? b k2
2 2 2

2



2ab k 2 k BD ? a ? b k2
2 2 2 2 2 2

2

?

2ak 2 1 ? k2
2 2

a(a ? b k2 ) a ? b k2
2 2 2

?

a (1 ? k 2 ) 1 ? k2
2

??

1 k2

,∴ BD⊥AD,∵ E2 为圆,



∠ADB 所对圆 E2 的弦为直径,从而直线 BD 过定点(a,0). ……………16 分 …………………10 分
11

法二:直线 BD 过定点 (a, 0) ,

证明如下: 设 P (a, 0) , B ( xB , yB ) ,则:
k AD k PB ? a b
2 2

xB a

2

2

?

yB b

2

2

? 1( a ? b ? 0)
? a b
2 2

k1k PB ?

a b

2 2

?

yB

xB ? a xB ? a

?

yB

?

yB xB ? a
2 2

2

?

a b

2 2

(?

b a

2 2

) ? ?1 ,

所以 PB ? AD ,又 PD ? AD 所以三点 P, B, D 共线,即直线 BD 过定点 P (a, 0) 。. …………………16 分 9、 (镇江市 2013 届高三期末)已知椭圆 O 的中心在原点,长轴在 x 轴上,右顶点 A(2, 0) 到 右焦点的距离与它到右准线的距离之比为
O

3 2

. 不过 A 点的动直线 y ?

1 2

x ? m 交椭圆

于 P,Q 两点.

(1)求椭圆的标准方程; (2)证明 P,Q 两点的横坐标的平方和为定值; (3)过点 A,P,Q 的动圆记为圆 C,动圆 C 过不同于 A 的定点,请求出该定点坐标. 19.解: (1)设椭圆的标准方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1?a ? b ? 0 ? .由题意得 a ? 2, e ?

3 2

.……2 分

?c ?

3

, b ? 1 , ……2 分

? 椭圆的标准方程为

x

2

? y ? 1 .……4
2



4

(2)证明:设点 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 将y?
1 2

1 x ? m 带入椭圆,化简得: x ? 2mx ? 2( m ? 1) ? 0 ○
2 2

? x1 ? x2 ? ?2m,

x1 x2 ? 2( m ? 1) ,……6
2



? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 4
2 2 2

,

? P,Q

两点的横坐标的平方和为定值 4.……7 分
2

(3)(法一)设圆的一般方程为: x

? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

2

,则圆心为( ?
3 2 m,

D 2

,?

E 2

),

PQ 中点 M( ? m,
圆心( ?
D 2 ,? E 2

m 2

),

PQ 的垂直平分线的方程为: y ? ?2 x ?
3 2 m ,所以 ?
E 2 ? D ?

……8 分 2 ○,……9 分

)满足 y ? ?2 x ?

3 m 2

圆过定点(2,0),所以 4 ? 2 D ? F ? 0 ○,……10 分 3 圆过 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y 2 ) ,
? x1 ? y1 ? Dx1 ? Ey1 ? F ? 0, 则? 2 两式相加得: 2 ? x2 ? y 2 ? Dx2 ? Ey 2 ? F ? 0,
2 2

x1 ? x2 ? y1 ? y 2 ? Dx1 ? Dx2 ? Ey1 ? Ey 2 ? 2 F ? 0,
2 2

2

2

2

2

x1 ? x2 ? (1 ?

2

2

x1 4

) ? (1 ?

x2 4

) ? D ( x1 ? x2 ) ? E ( y1 ? y 2 ) ? 2 F ? 0 ,……11


12

? y1 ? y2 ? m ,

4 ? 5 ? 2 mD ? mE ? 2 F ? 0 ○.……12 分
1 2 x?m

因为动直线

y ?

与椭圆 C 交与 P,Q(均不与 A 点重合)所以 m ? ?1 ,
, E ? 3 2
2

由○○○解得: D ? 2 3 4

3( m ? 1) 4

m?

3 , 2

F ??

3 2

m?

5 , 2

……13 分
5 2 ?0

代入圆的方程为: x 2 整理得: ( x 2
? y ?
2

? y ? 3 2

3( m ? 1) 4

x?( 3 4

3 2

m? 3 2

3 2

)y ? 3 2

3 2

m?

, 分

3 4

x?

y?

5 2

) ? m(

x?

y?

) ? 0 ,……14

3 3 5 ? 2 2 x ? y ? x ? y ? ? 0, ? ? 4 2 2 所以: ? ……15 3 3 3 ? x ? y ? ? 0, ? ? 4 2 2



解得: ?

? x ? 0, ? y ? 1,

或?

? x ? 2, ?y?0

(舍).

所以圆过定点(0,1).……16 分 (法二) 设圆的一般方程为: x
5
2

? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

2

,将 y ?

1 2

x ? m 代入的圆的方程:

E? ? 2 2 5 x ? ?m ? D ? ? x ? m ? mE ? F ? 0 ○.……8 4 2? ?


2

方程○与方程○为同解方程. 1 5

1 5 4

?

2m m?D?
?0

E 2

?

2( m ? 1) m ? mE ? F
2

, ……11 分

圆过定点(2,0),所以 4 ? 2 D ? F 因为动直线 y ? 解得:
D?

, ……12 分

1 2

x ? m 与椭圆 C 交与 P,Q(均不与 A 点重合)所以 m ? ?1 .
E ? 3 2 m? 3 2 F ?? 3 2 m? 5 2

3( m ? 1) 4

,

,

,……13 分

(以下相同)

【说明】本题考查圆锥曲线的基本量间关系、直线与圆锥曲线的位置关系;考查定点定值问 题;考查运算求解能力和推理论证能力.

13


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