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高中数学 第一章 正弦函数的图像教案 北师大版必修4

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§5.2 正弦函数 y=sinx 的图像
一、教学目标: 1、知识与技能: (1)回忆锐角的正弦函数定义; (2)熟练运用锐角正弦函数的性质; (3)理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义; (4)掌握任意角的正弦函数的定义; (5)理解有向线段的概念; (6)了解正弦函数图像的画法; (7)掌握五点作图法,并会用此方法画出[0,2π ]上的正弦曲线。 2、过程与方法: 初中所学的正弦函数, 是通过直角三角形中给出定义的; 由于我们已将角推广到任意角 的情况,而且一般都是把角放在平面直角坐标系中,这样一来,我们就在直角坐标系中来找 直角三角形,从而引出单位圆;利用单位圆的独特性,是高中数学中的一种重要方法,在第 二节课的正弦函数图像,以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用;讲解例题,总结 方法,巩固练习。 3、情感态度与价值观: 通过本节的学习, 使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识; 在由锐角的正弦函数 推广到任意角的正弦函数的过程中,体会特殊与一般的关系,形成一种辩证统一的思想;通 过单位圆的学习,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题、解决 问题的能力。 二、教学重、难点 重点: 1.任意角的正弦函数定义,以及正弦函数值的几何表示。 2.正弦函数图像的画法。 难点: 1.正弦函数值的几何表示。 2.利用正弦线画出 y=sinx,x∈[0, 2π ]的图像。 三、学法与教法 在初中, 我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦, 当把锐角放 在直角坐标系中时,角的终边与单位圆交于一点,正弦函数对应于该点的纵坐标,当是任意 角时,通过函数定义的形式引出正弦函数的定义;作正弦函数 y=sinx 图像时,在正弦函数 定义的基础上,通过平移正弦线得出其图像,再归结为五点作图法。教法: 探究讨论法。 四、教学过程

【创设情境,揭示课题】 三角函数是一种重要的函数, 从第一节我们就知道在实际生活中, 有许多地方用到三角 函数。今天我们来学正弦函数 y=sinx 的图像的做法。在前一节,我们知道正弦函数是一个 周期函数,最小正周期是 2π ,所以,关键就在于画出[0,2π ]上的正弦函数的图像。 请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的? 作函数图像的三步骤:列表,描点,连线。 【探究新知】 1、正弦函数线 MP 下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示.如右图所示, 角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y) ,提出问题 ①线段 MP 的长度可以用什么来表示? ②能用这个长度表示正弦函数的值吗?如果不能, 你能否设计一种方法加以解决?引出有向线 段的概念.有向线段:当 α 的终边不在坐标轴上时,可以把 MP 看作是带方向的线段, ① y>0 时,把 MP 看作与 y 轴同向(多媒体优势,利用计算机演示角 α 终边在一、二象限 时 MP 从 M 到 P 点的运动过程.让学生看清后定位,运动的方向表明与 y 轴同向). ② y<0 时,把 MP 看作与 y 轴反向(演示角 α 终边在三、四象限时 MP 从 M 到 P 点的运动 过程.让学生看清后定位,运动的方向表明与 y 轴反向). 师生归纳:①MP 是带有方向的线段,这样的线段叫有向线段.MP 是从 M→P,而 PM 则 是从 P→M。②不论哪种情况,都有 MP=y.③依正弦定义,有 sinα =MP=y,我们把 MP 叫 做 α 的正弦线. 当 α 为特殊角,即终边在坐标轴上时,找出其正弦线。演示运动过程,让学生清楚认 识到:当 α 终边在 x 轴上时,正弦线变为一个点,即 sinα =0。 2.作图的步骤 边作边讲(几何画法)y=sinx x?[0,2?] M O x α 的终边 P y

(1) 作单位圆,把⊙O 十二等分(当然分得越细,图像越精确)

? ? ? (2) 十二等分后得对应于 0, 6 , 3 , 2 ,?2?等角,并作出相应的正弦线,
(3) 将 x 轴上从 0 到 2?一段分成 12 等份(2?≈6.28),若变动比例,今后图像将相应 “变形” (4) 取点,平移正弦线,使起点与轴上的点重合

(5) 描图(连接)得 y=sinx x?[0,2?] (6)由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx x?[2k?,2(k+1)?] (k?Z,k?0) 与函数 y=sinx x?[0,2?]图像相同,只是位置不同——每次向左(右)平移 2?单位长。 可以得到 y=sinx 在 R 上的图像

4

3

2

?
(

3、五点作图法:由上图我们不难发现,在函数 y=sinx,x?[0,2?]的图像上,起着关键作用 的有以下五个关键点: (0,0)

y 1 o -

?

2

3

4

5

6x

数 y=sinx,x?[0,2?]的图像的形状就基本上确定了。因此,在精确度要求不太高时,我们 常常先找出这五个关键点,然后用光滑曲线将它们连接起来,就得到这个函数的简图。我们 称这种画正弦曲线的方法为“五点法”。 【巩固深化,发展思维】 x y=1+sinx 1.例题探析 例 1.用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π ]上的简图。 (1)y=-sinx 解: (1)列表 x y=-sinx 0 0 (2)y=1+sinx 0 1

?

?

?

? ? ? ? ?1 3? ? ,1) (?,0) ( ,-1) (2?,0)。描出这五个点后,函 2 2

? 2
2

π 1

3? 2
0

2π 1

? 2
-1

π 0

3? 2
+1

2π 0

描点得 y=-sinx 的图像: (略,见教材 P22) y y=-sinx x

o y

o

x

2.学生练习: 教材 P25 二、归纳整理,整体认识: (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、布置作业:作业:习题 1—5A 组第 2 题. 四、课后反思:


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