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离散型随机变量的均值与方差


第7讲 离散型随机变量的均 值与方差 【2014年高考会这样考】
1.考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念. 2.利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题.

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抓住1个考点

离散型随机变量的均值与方差

/>助学微博 考点自测

考向一 离散型随机变量的均值和 【例1】 【训练1】

突破3个考向

方差 考向二 均值与方差性质的应用 【例2】 【训练2】

考向三 均值与方差的实际应用

【例3】 【训练3】

揭秘3年高考

均值、方差与其他数学知识的综合问题
、 ?1 选择题 ? 填空题 ? 2、 ?3 、 解答题 ? 、 ?1 选择题 ? 填空题 ? 2、 ?3 、 解答题 ?

活页限时训练

A级

B级

考点梳理
离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 ? xi ? xn P p1 p2 ? pi ? pn (1)均值 称 E(X)= x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn 为随机变量 X 的均 值或 数学期望 , 它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 . (2)方差
? ? 称 D(X)= ? ?xi-E?X??2pi 为随机变量 X 的方差,它刻画了随机 ? ?

n

i=1

变量 X 与其均值 E(X)的 平均偏离程度 , 算术平方根 D?X? 其 为随机变量 X 的标准差.

助学微博
两个防范 在记忆D(aX+b)=a2D(X)时要注意: (1)D(aX+b)≠aD(X)+b,(2)D(aX+b)≠aD(X).

三种分布 (1)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p); (2)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p);

M (3)若X服从超几何分布,则E(X)=n . N
六条性质 (1)E(C)=C(C为常数); (2)E(aX+b)=aE(X)+b(a,b为常数); (3)E(X1+X2)=EX1+EX2; (4)如果X1,X2相互独立,则E(X1· 2)=E(X1)E(X2); X (5)D(X)=E(X2)-(E(X))2;(6)D(aX+b)=a2· D(X)(a,b为常数).

考点自测
1.(2013· 日照二模)已知随机变量 ξ 的分 1 布列为:P(ξ=k)= ,k=1,2,3,则 D(3ξ 3 +5)等于( ). A.6 B.9 C.3 D.4 2.已知 X 的分布列为 X -1 0 1 1 1 1 P 2 3 6 设 Y=2X+3,则 E(Y)的值为( ). 7 A. B.4 C.-1 D.1 3 3. 设随机变量 X~B(n, 且 E(X)=1.6, p), D(X)=1.28,则( ). A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4 C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45 4. (2013· 成都五校联考)从一批含有 13 件 正品, 件次品的产品中不放回地抽 3 次, 2 每次抽取 1 件,设抽取的次品数为 ξ,则 E(5ξ+1)=( ). A.2 B.1 C.3 D.4 5.(2013· 韵关调研)有一批产品,其中有 12 件正品和 4 件次品,从中有放回地任 取 3 件,若 X 表示取到次品的次数,则 D(X)=________.

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A

A

C

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考向一

[审题视点] 离散型随机变量的均值和方差 (1) 根 据 日 需 求 量 分 【例 1】 ?(2012· 新课标全国)某花店每天以每枝 5 元的 类求出函数解析 价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的 式 . (2)① 根 据 当 天 价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处 的需求量,写出相应 理. 的利润,列出分布列, (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单 求出数学期望和方差, 位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈N)的函数解 ②比较两种情况的数 学期望或方差即可. 析式.
(2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝), 整理得下表: 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生 的概率. ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润 (单位:元),求 X 的分布列、数学期望及方差. ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花, 你认为 应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由.

[审题视点] 离散型随机变量的均值和方差 (1) 根 据 日 需 求 量 分 类求出函数解析 解 (1)当日需求量 n≥16 时,利润 y=80. 式 . (2)① 根 据 当 天 当日需求量 n<16 时,利润 y=10n-80. 的需求量,写出相应 所以 y 关于 n 的函数解析式为 的利润,列出分布列, 求出数学期望和方差, ?10n-80,n<16, ②比较两种情况的数 y=? (n∈N). 学期望或方差即可. ?80,n≥16

考向一

(2)①X 可能的取值为 60,70,80, 并且 P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. X 的分布列为 X P X 的数学期望为 E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76. X 的方差为 D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80 -76)2×0.7=44. 60 0.1 70 0.2 80 0.7

求 出 函 数 解析 式 . (2) ①根据当天的需求量, 若花店一天购进 17 枝玫瑰花, 表示当天的利润(单位: 写 出 相 应 的 利 润 , 列 Y 出分布列,求出数学 元),那么 Y 的分布列为 期望和方差,②比较 两种情况的数学期望 Y 55 65 75 85 或方差即可. P 0.1 0.2 0.16 0.54 [方法锦囊]

考向一 离散型随机变量的均值和方差 (1)根 据 日 需求 量 分 类

[审题视点]

②答案一:花店一天应购进 16 枝玫瑰花.理由如下:

Y 的数学期望为 E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+ 85×0.54=76.4. Y 的方差为 D(Y)=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+ (75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04. 由以上的计算结果可以看出,D(X)<D(Y),即购进 16 枝 玫瑰花时利润波动相对较小.另外,虽然 E(X)<E(Y), 但两者相差不大.故花店一天应购进 16 枝玫瑰花.

(1)求离散型随机变量的 均值与方差关键是确定 随机变量的所有可能 值,写出随机变量的分 布列,正确运用均值、 方差公式进行计算. (2)要注意观察随机变量 的概率分布特征,若属 二项分布的,可用二项 分布的均值与方差公式 计算,则更为简单.

求 出 函 数 解析 式 . (2) ①根据当天的需求量, 答案二:花店一天应购进 17 枝玫瑰花.理由如下: 写出相应的利润,列 若花店一天购进 17 枝玫瑰花, 表示当天的利润(单位: 出 分 布 列 , 求 出 数 学 Y 期望和方差,②比较 元),那么 Y 的分布列为 两种情况的数学期望 或方差即可. Y 55 65 75 85 [方法锦囊] (1)求离散型随机变量的 P 0.1 0.2 0.16 0.54
Y 的数学期望为 E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+ 85×0.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出,E(X)<E(Y),即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16 枝时的平均利 润.故花店一天应购进 17 枝玫瑰花.
均值与方差关键是确定 随机变量的所有可能 值,写出随机变量的分 布列,正确运用均值、 方差公式进行计算. (2)要注意观察随机变量 的概率分布特征,若属 二项分布的,可用二项 分布的均值与方差公式 计算,则更为简单.

考向一 离散型随机变量的均值和方差 (1)根 据 日 需求 量 分 类

[审题视点]

考向一离散型随机变量的均值和方差
【训练 1】 A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名 队员,A 队队员是 A1、A2、A3,B 队队员是 B1、B2、B3,按 以往多次比赛的统计,对阵队员之间的胜负概率如下: 对阵队员 A 队队员胜的概率 A 队队员负的概率 2 1 A1 和 B1 3 3 2 3 A2 和 B2 5 5 2 3 A3 和 B3 5 5 现按表中对阵方式出场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队, B 队最后所得总分分别为 X,Y (1)求 X,Y 的分布列;(2)求 E(X),E(Y). 解 (1)X,Y 的可能取值分别为 3,2,1,0. 2 2 2 8 P(X=3)= × × = , 3 5 5 75 2 2 3 1 2 2 2 3 2 28 P(X=2)= × × + × × + × × = , 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75

(1)根 据 日 需求 量 分 类 求 出 函 数 解析 式 . (2) ①根据当天的需求量, 写出相应的利润,列 出分布列,求出数学 期望和方差,②比较 两种情况的数学期望 或方差即可.

[审题视点]

[方法锦囊]
(1)求离散型随机变量的 均值与方差关键是确定 随机变量的所有可能 值,写出随机变量的分 布列,正确运用均值、 方差公式进行计算. (2)要注意观察随机变量 的概率分布特征,若属 二项分布的,可用二项 分布的均值与方差公式 计算,则更为简单.

考向一 离散型随机变量的均值和方差 (1)根 据 日 需求 量 分 类
2 3 3 1 2 3 1 3 2 2 P(X=1)= × × + × × + × × = , 3 5 5 3 5 5 3 5 5 5 1 3 3 3 P(X=0)= × × = ; 3 5 5 25 根据题意 X+Y=3,所以 8 28 P(Y=0)=P(X=3)= ,P(Y=1)=P(X=2)= , 75 75 2 3 P(Y=2)=P(X=1)= ,P(Y=3)=P(X=0)= . 5 25 X 的分布列为 X 0 1 2 3 3 2 28 8 P 25 5 75 75 Y 的分布列为 Y 3 2 1 0 3 2 28 8 P 25 5 75 75 8 28 2 3 22 (2)E(X)=3× +2× +1× +0× = ; 75 75 5 25 15 23 因为 X+Y=3,所以 E(Y)=3-E(X)= . 15

[审题视点]

求 出 函 数 解析 式 . (2) ①根据当天的需求量, 写出相应的利润,列 出分布列,求出数学 期望和方差,②比较 两种情况的数学期望 或方差即可.

[方法锦囊]
(1)求离散型随机变量的 均值与方差关键是确定 随机变量的所有可能 值,写出随机变量的分 布列,正确运用均值、 方差公式进行计算. (2)要注意观察随机变量 的概率分布特征,若属 二项分布的,可用二项 分布的均值与方差公式 计算,则更为简单.

考向二 均值与方差性质的应用
1 【例 2】?设随机变量 X 具有分布 P(X=k)= ,k= 5 1,2,3,4,5,求 E(X+2) ,D(2X-1), D?X-1?. 1 1 1 1 1 15 解 ∵E(X)=1× +2× +3× +4× +5× = =3. 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 E(X )=1× +2 × +3 × +4 × +5 × =11. 5 5 5 5 5 1 1 1 1 D(X)=(1-3)2× +(2-3)2× +(3-3)2× +(4-3)2× 5 5 5 5 1 1 +(5-3)2× = (4+1+0+1+4)=2. 5 5 ∴E(X+2)2 =E(X2 +4X+4)=E(X2)+4E(X)+4=11+ 12+4=27. D(2X-1)=4D(X)=8, D?X-1?= D?X?= 2.
2

[审题视点] 利用期望与方差的 性质求解. [方法锦囊] 若 X是 随 机变 量 , 则η=f(X)一般仍是 随机变量,在求η的 期望和方差时,熟 练应用期望和方差 的性质,可以避免 再求η的分布列带来 的繁琐运算.

考向二 均值与方差性质的应用
【训练 2】 A,B 两个投资项目的利润分别为随机变 量 X1 和 X2,根据市场分析,X1 和 X2 的分布列分别 为: X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)在 A,B 两个项目上各投资 100 万元,Y1 和 Y2 分 别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润, 求方差 D(Y1), D(Y2); (2)将 x(0≤x≤100)万元投资 A 项目,100-x 万元投 资 B 项目, f(x)表示投资 A 项目所得利润的方差与投 资 B 项目所得利润的方差的和.求 f(x)的最小值, 并 指出 x 为何值时,f(x)取到最小值.

[审题视点] 利用期望与方差的 性质求解. [方法锦囊] 若 X是 随 机变 量 , 则η=f(X)一般仍是 随机变量,在求η的 期望和方差时,熟 练应用期望和方差 的性质,可以避免 再求η的分布列带来 的繁琐运算.

考向二 均值与方差性质的应用
解 (1)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列为 Y1 5 10 Y2 2 8 12 P 0.8 0.2 P 0.2 0.5 0.3 E(Y1)=5×0.8+10×0.2=6, D(Y1)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4, E(Y2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8, D(Y2)=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12. ? ? ?100-x ? ? x ? (2)f(x)=D? Y1?+D? Y2 ? ?100 ? ? 100 ? ? ? ?100-x ?2 ? x ?2 ? D(Y2) =? ? D(Y1)+? ?100? ? 100 ? 4 = 2[x2+3(100-x)2] 100 4 = 2(4x2-600x+3×1002). 100 600 当 x= =75 时,f(x)=3 为最小值. 2×4

[审题视点] 利用期望与方差的 性质求解. [方法锦囊] 若 X是 随 机变 量 , 则η=f(X)一般仍是 随机变量,在求η的 期望和方差时,熟 练应用期望和方差 的性质,可以避免 再求η的分布列带来 的繁琐运算.

考向三 均值与方差的实际应用
【例 3】?(2012· 福建)受轿车在保修期内维修费等因素的影响, 企 业生 产每 辆轿 车的 利润 与该 轿车 首次 出现 故障 的时 间有 关. 某轿车制造厂生产甲、 乙两种品牌轿车, 保修期均为 2 年. 现 从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆,统计数据如 下: 品牌 甲 乙 首次出现故障 时间 x(年) 0<x≤1 1<x≤2 x>2 0<x≤2 x>2 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率,解答下列问题: (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故 障发生在保修期内的概率. (2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润 为 X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为 X2,分别求 X1,X2 的分布 列. (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只 能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认 为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.

[审题视点]

(1)利用互斥事件的 概率公式求其概率. (2)确定随机变量X1, X2可能的取值, 分别 求出X1,X2每个值 对应概率,列出X1、 X2的分布列. (3)代入均值公式求 出E(X1)、E(X2), 比 较E(X1)、E(X2)大 小, 做出判断.

考向三 均值与方差的实际应用

[审题视点]

(1)利用互斥事件的 解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内” 概率公式求其概率. (2)确定随机变量X1, 2+3 1 为事件 A,则 P(A)= = . X2可能的取值, 分别 50 10 求出X1,X2每个值 (2)依题意得,X1 的分布列为 对应概率,列出X1、 X1 1 2 3 X2的分布列. 【方法锦囊】 1 3 9 (3)代入均值公式求 P 25 50 10 出E(X1)、E(X2), 比 X2 的分布列为 较E(X1)、E(X2)大 X2 1.8 2.9 小, 做出判断. 1 9 P 10 10 (3)由(2)得 随机变量的均值反映了随 机变量取值的平均水平, 1 3 9 143 方差反映了随机变量稳定 E(X1)=1× +2× +3× = =2.86(万元), 25 50 10 50 于均值的程度,它们从整 体和全局上刻画了随机变 1 9 量,是生产实际中用于方 E(X2)=1.8× +2.9× =2.79(万元). 案取舍的重要的理论依据, 10 10 一般先比较均值,若均值 因为 E(X1)>E(X2),所以应生产甲品牌轿车. 相同,再用方差来决定.

考向三 均值与方差的实际应用
【训练 3】 (2013· 庆安一模)在一次智力测试中,有 A、B 两 个相互独立的题目,答题规则为:被测试者答对问题 A 可 得分数为 a, 答对问题 B 可得分数为 b.先答哪个题目由被测 试者自由选择,但只有第一个问题答对,才能再答第二个问 题, 否则终止答题. 若你是被测试者, 且假设你答对问题 A, B 的概率分别为 p1,p2. 1 1 (1)若 p1= ,p2= ,你应如何依据题目分值的设置选择先答 2 3 哪一道题? (2)若已知 a=10,b=20,当 p1,p2 满足怎样的关系时,你 选择先答 A 题? 解 (1)设先答问题 A 的得分为随机变量 X,先答问题 B 的 得分为随机变量 Y. ∵P(X=0)=1-p1;P(X=a)=p1(1-p2); P(X=a+b)=p1p2. ∴E(X)=0×(1-p1)+ap1(1-p2)+(a+b)p1p2 =ap1(1-p2)+(a+b)p1p2=ap1+bp1p2.

【方法锦囊】

随机变量的均值反 映了随机变量取值 的平均水平,方差 反映了随机变量稳 定于均值的程度, 它们从整体和全局 上刻画了随机变量, 是生产实际中用于 方案取舍的重要的 理论依据,一般先 比较均值,若均值 相同,再用方差来 决定.

考向三 均值与方差的实际应用
∵P(Y=0)=1-p2;P(Y=b)=p2(1-p1); P(Y=a+b)=p1p2=bp2+ap1p2. ∴E(Y)=0×(1-p2)+bp2(1-p1)+(a+b)p1p2 =bp2(1-p1)+(a+b)p1p2=bp2+ap1p2. ∴E(X)-E(Y)=ap1(1-p2)-bp2(1-p1) 1 1 1 1 若 p1= ,p2= ,则 E(X)-E(Y)= a- b. 2 3 3 6 1 ①当 a> b 时,先答 A 题; 2 1 ②当 a= b 时,先答 A、B 均可; 2 1 ③当 a< b 时,先答 B 题. 2 (2)若 a=10,b=20,则 E(X)-E(Y)=10p1-20p2+10p1p2 ∴当 10p1-20p2+10p1p2>0,即 p1+p1p2>2p2 时,选择先答 A 题.

【方法锦囊】

随机变量的均值反 映了随机变量取值 的平均水平,方差 反映了随机变量稳 定于均值的程度, 它们从整体和全局 上刻画了随机变量, 是生产实际中用于 方案取舍的重要的 理论依据,一般先 比较均值,若均值 相同,再用方差来 决定.

揭秘3年高考
规范解答17 均值、方差与其他数学知识的综合问题

【命题研究】 离散型随机变量的期望、方差与其他数 学知识相结合的问题,在近两年的高考中时有出现,体现

了在知识交汇处命题的指导思想.这类题目常以解答题的
形式出现,将期望、方差与方程、函数、不等式等知识融 合在一起,综合考查学生分析问题、解决问题的能力.题 目难度适中,一般属于中档题.

【真题探究】? (本小题满分 12 分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某 类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调 查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节 目时间的频率分布直方图: 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为 “体育迷”. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表, 并据此资料你 是否认为“体育迷”与性别有关? 非体育迷 体育迷 合计 男 女 10 55 合计 (2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用 随机抽样方法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体 育迷”人数为 X.若每次抽取的结果是相互独立的,求 X 的分布列,期望 E(X) 和方差 D(X). n?ad-bc?2 2 附:K = , ?a+b??c+d??a+c??b+d? P(K2≥k) 0.10 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635

[教你审题 ] (1)利用频 率分布直方图,根据各 矩形面积之和为 1,求 出样本数据落在区间 [40,60]内的频率,则易 求出频数即为“体育 迷”人数,2×2 列联表 中各个值随之求出,计 算 K2 的值,并作出判 断. (2)确定 X 的可能取值, 利用二项分布概率公式 求出概率, 列出分布列, 代入公式求 E(X), D(X)

[解法] (1)由所给的频率分布直方图知,“体育 迷 ”人 数为 100×(10×0.020 +10×0.005)= 25,“非体育迷”人数为 75,从而 2×2 列联 表如下: 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 (3 分) 将 2×2 列联表的数据代入公式计算: n?ad-bc?2 K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? 100?30×10-45×15?2 100 = = ≈3.030. 33 45×55×75×25 因为 2.706<3.030<3.841,所以有 90%的把握认 为“体育迷”与性别有关. (6 分)

[教你审题 ] (1)利用频 率分布直方图,根据各 矩形面积之和为 1,求 出样本数据落在区间 [40,60]内的频率,则易 求出频数即为“体育 迷”人数,2×2 列联表 中各个值随之求出,计 算 K2 的值,并作出判 断. (2)确定 X 的可能取值, 利用二项分布概率公式 求出概率, 列出分布列, 代入公式求 E(X), D(X)

(2)由频率分布直方图知, 抽到“体育迷”的频 [阅卷老师手记 ] 求解概率统计题应会对事 率为 0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取 件构成进行分析.弄清“等可能性”与 1 “非等可能性”的区别;“有序取”与 X ~ 一名“体育迷”的概率为 .由题意, 4 “无序取”的区别;“有放回取”与“不 ? 1? 放回取”的区别;“互斥”与“独立”的 B?3, ?,从而 X 的分布列为 4? ? 意义.会用排列、组合的知识求事件的概 X 0 1 2 3 率,用互斥事件、独立事件、重复试验等 27 27 9 1 P 概率公式求事件的概率,对于复杂事件, 64 64 64 64 要能够分解成若干个简单事件的和事件, (10 分) 不能遗漏.求离散型随机变量的分布列时, 1 3 E(X)=np=3× = , 要自觉应用随机变量的分布列的性质进行 4 4 检验,一般利用随机变量的均值的定义求 1 3 9 D(X)=np(1-p)=3× × = . (12 分) 解.对于有些实际问题中的随机变量,如 4 4 16 果能断定它服从某常见的典型分布,则可 直接利用期望公式求得,因此,应熟记常 见的典型分布的期望公式,可提高解题速 度.

【试一试】 (2013· 晋城一模)甲、乙两射手 射进行射击比赛,分别射击 100 次,已知 甲、 乙射手射击的环数 X, 稳定在 7,8,9,10 Y 环上, 他们这次成绩用直方图表示如下(如 图):



(1)P(Y=7)=

20 =0.2=P(Y=9), 100

(1)根据这次比赛的成绩直方图,推断乙击 中 8 环的概率 P(Y=8),以及求甲、乙同 时击中 9 环以上(含 9 环)的概率; (2)根据这次比赛成绩估计甲、乙谁的水平 更高(即平均每次击中的环数多)?

35 =0.35. 100 所以 P(Y=8)=1-P(Y=7)-P(Y=9)- P(Y=10)=1-0.2-0.2-0.35=0.25. 同理:P(X=7)=0.2,P(X=8)=0.15, P(X=9)=0.3, 所以 P(X=10)=1-0.2-0.15-0.3= 0.35. 所以甲、乙同时击中 9 环及 9 环以上的 概 率 为 P = P(X≥9)· P(Y≥9) = (0.3 + 0.35)×(0.2+0.35)=0.357 5. (2)E(Y) = 7×0.2 + 8×0.25 + 9×0.2 + 10×0.35=8.7. E(X) = 7×0.2 + 8×0.15 + 9×0.3 + 10×0.35=8.8. 因为 E(X)>E(Y),所以甲的水平更高. P(Y=10)=

A级 基础演练
一、选择题

单击题号出题干 2 1

3

4

单击问号出详解

3.若 p西安模拟)样本中共有五个个体, 若 X~B(10, 为非负实数,随机变量X+η=8, 4. 广州一模)已知随机变量 ξ 的分布列为 0.6), 2.签盒中有编号为 1、2、3、4、5、6 的六支签,从中任 1.(2013· (2013· 其值分别为 a,0,1,2,3. ξ 则 E(η),D(η)分别是( B 0 ). 1 2 意取 3 支,设 X 为这 1,则样本方差为( D ). 若该样本的平均值为 3 支签的号码之中最大的一个,则 X A.6 和 2.4 6 B.2 P 1 和 的数学期望为( B ). 2.4 C.21和 5.6 D.6 和 5.6 6 p A. B. C.C.5.8 D.4.6 2 2-p D.2 2 A.5 5B.5.25 5 则 E(ξ)的最大值为( B ). 解析 由已知随机变量 X+η=8,所以有 解析 由题意可知,X 可以取 3,4,5,6, η=8-X.因此,求 3 得 E(η)=8-E(X)=8-10×0.6=2, 解析 12 C.2 D.2 1 C2 3 A.1 B. = ,P(X=4)= 3= P(X=3)= 2 3D(X)=10×0.6×0.4=2.4., 3 D(η)=(-1)6 20 C a+0+1+2+3=5×1,解得,a=-1. C3 20 由题意,知 6 22 2 1 答案 B C4 +?0-1?2+?1-1?2+?2-1?2+?3-1?2 ?-1-1? = 3 ,P(X=6)=C5=1. 1, 解析 由 3 0≤p≤ 2 P(X=5)= p≥0,2-p≥0,则 3 s= =2. C6 10 C6 2 2 5 3 由数学期望的定义可求得 E(X)=5.25. 答案 D E(ξ)=p+1≤ . 2 答案 B 答案 B

A级 基础演练
二、填空题

5 单击题号出题干 6
单击问号出详解

6.(2013· 温州调研)已知离散型随机变量 X X -1 5.某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下: 0 1 2 1 的分布列如右表,若 E(X)=0,D(X)=1, ξ 7 8 9 10 P a b c 12 5 1 则 a= ,b= . P x 0.1 0.3 y 12 4

已知 ξ 的期望 E(ξ)=8.9,则 y 的值为 5 . 0.4 ? ? 11 ?a+b+c= , ?a= , 12 A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.9 ? 12 ? ? ? 1 1 解析 x+0.1+0.3+y=1,即 x+y=0.6.① 解析 由题意知?-a+c+6=0, 解得?b=4, ? ? 又 7x+0.8+2.7+10y=8.9,化简得 7x+10y=5.4.② ? ? 1 1 ?a+c+ =1, 3 由①②联立解得 x=0.2,y=0.4. ?c=4. ? ? 1 答案 5 0.4 答案
12 4

A级 基础演练
三、解答题

单击题号出题干

7

8

单击问号出详解

8.(13 分)(2013· 2 1A 在一次试验中发生的概率为 p(0<p<1), 7. 2D?X?-1 汕头一模)袋中有 202个大小相同的球,其中记上 0 号 (12 分)若随机事件 2?-1 2?p-p + (1- 1.5) × 1 ?+ (2 - 1.5)2× 1 + (3- 1 ? D(X) = (0- = n ×A 在一次试验中发生的次数. 1.5) 号的有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X 2p+ ?. (2) =2-? 的有 10 个,记上 用随机变量 X 表示 p 2 20 10 p? E?X? ? 表示所取球的标号. 1 2 1 (1)求方差 D(X)的最大值; 3 1 2 1.5) × +(4-1.5) × 2.当 2p= , ∵0<p<1,∴2p+ ≥2 =2.75. (1)求 X2D?X?-1 的分布列、期望和方差; p 20 5 p (2)求 的最大值. (2)若 η=aX+b,E(η)=1,D(η)=11,试求 a,b 的值. 2 (2)由 D(η)=a2D(X),得 a2×2.75=11,即 a=± 2. E?X? 即 p= 时取“=”. 2 解 E(η)=aE(X)+b,所以当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b 又 随机变量 X 的所有可能的取值是 0.1, 解 (1)X 的分布列为 2D?X?-1 并且有 P(X=1)=p,P(X=0)=1-p. 2-2 2. =-2. p= 2时, X 0 取最大值3 4 因此当 2 E?X? 1 2 从而 E(X)=0×(1-p)+1×p=p, 3 1 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4. 1 1 1 P 2 D(X)=(0-p) ×(1-p)+(1-p)210 20 5 2. 2 ?a=2, ?a=-2, 20 ×p=p-p 1 或? 1 ? ∴? 11 即为所求. 1 1 3 2 ∴E(X)=0× +1×b=4, ?2+3× +4× =1.5. +2× ? + . (1)D(X)=p-p =-?p-2 ?b=-2 ? 20 ? 10 4 20 2 5 ? 1 1 ∵0<p<1,∴当 p= 时,D(X)取最大值,最大值是 . 2 4

B级 能力突破
一、选择题

1 单击题号出题干 2
单击问号出详解

1.一个篮球运动员投篮一次得<x分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不 2.(2012· 上海)设 10≤x1<x2 3 3<x4≤104,x5=105.随机变量 ξ1 解析 利用期望与方差公式直接计算.E(ξ1)=E(ξ2),记作 x , 2 得分的概率为 c(a、b、c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为 2,则 x1+x2 a 2 ∴取值 x10.2[(xx3、 x、 + (x2- x )2+0.2, 5- x )2]=0.2(x2 + x2 、 D(ξ1)= 、 2、 -x4 )x5 的概率均为 ?+随机变量 ξ2 取值 1 (x x 1 22 1 + 的最小值为( D ). +?+x2-5 3x 2). x4+x5 x5+x1 3b 3 x2+x5 x +x4 2 2 2 32 、28 2 x、 216 、 +x 的概率也均为 0.2.若记 D(ξ1)、 14 2 B. +xD. x2 2 3? x5+x1 ? ?? 1 2? 3+? ? ? A. C. 同理 D(ξ2)=0.2?? 3 +…+ 3 3 ? ? 2 ? A ). ? 2 ? -5 x 2?. D(ξ2)分别为?ξ1、ξ2 的方差,则( ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 其中 0<a< , 0<b<1. +x x1+x ?1)>D(ξ2) 3a+2b+0×c=2, 1 ?解析 2由已知得, A.D(ξ2<x1+x2,?,?x5+x1?2<x5即 3a+2b=2, 3 ∵? , ? 2 ? 2 1 )=D(ξ )2 1 ?? 2 1 ? 2b 2 a 10 ? 2 ?1 3a+2b? ? ? B.D(ξ 2b a 16 2 ? · = x1+x2?= 2 ) ?3 +3b?=3+ 5 + a +2b ?又a+3b2+?x2+xa?2+?+?x3+x1?2<x2≥ 32+2 2+x2+x2. 3 ,当且仅 a 2b ? ? C.D(ξ1)<D(ξ2 ? ∴? ? 2 ? 1+x2+x3 4 5 2 ? ? 2b ? ? 2 ? 1 1 a ? ? ? D.D(ξ1)与 D(ξ2)的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关 时, 当 = ,即 a=2b 时取“等号”,又 3a+2b=2,即当 a= ,b= 2b ∴D(ξa)>D(ξ2). 1 2 A 答案 1 的最小值为16,故选 D. 答案 D + a 3b 3 2 4

B级 能力突破
二、填空题

3 单击题号出题干 4
单击问号出详解

4. (2013· 滨州一模)设 l 为平面上过点(0,1)的直线,的斜率等可能地取-2 2, l 3.随机变量 ξ 的分布列如下: 5 5 ξ -1 0 1 - 3,- ,0, , 3,2 2,用 ξ 表示坐标原点到 l 的距离,则随机变 2 2 P a b c 4 量其中 a,b,c 成等差数列.若 E(ξ)=1,则 D(ξ)的值是 5 . ξ 的数学期望 E(ξ)= . 7 3 9 解析 当 l 的斜率 k 为± 2时,直线 l 的方程为± 2x-y+1=0,此时坐 2 2 ? 1 ?a+b+c=1, 1 5 2 标原点到 l 的距离 d= ;当2b=a+c, k 为± 3时,d= ;当 k 为± 时,d= ;当 k 3 ? 2解得:a=1,b=1,c=1, 2 3 解析 根据已知条件:? 6 3 2 为 0 时,d=1,由古典概型的概率公式可得分布列如下: 1 ? ?-a+c=1 , ? ξ 1 3 2 1 1?2 1 ? 3 1?2 3 ? 1?2 5 1 ? 1 ? 2 ∴D(ξ)= ×?-1- ? + ×?0- ?2+2 ×?1- ? = . ? ? 3? 3 P 2 3? 2 1 3? 9 6 ? ? ? ? ? ? 7 7 7 7 5 答案 9 1×2+1×2+2×2+1×1=4. 答案 4 所以 E(ξ)= 3 7 2 7 3 7 7 7 7

B级 能力突破
三、解答题

单击题号出题干

5

6

单击问号出详解

6.(13 分)(2013· 14.76-x≥4.73,解得 x≤0.03,所以三 福州模拟)随机抽取某厂的某种产品 解E(ξ)≥4.73,得 (1)由于 ? 件产品的利润为 ξ,则 ξ 的所有可能取值为 2 1 大连二模)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的 5.(12 分)(2013· ? 21[(1-a2)-(1-a) ]=a(1-a), 200 件,经 由(2)P(ξ=1)-P(ξ=0)= +1(1-a)a+12a(1-a)=1(2a-a6,2,1, P(ξ=2)=?1-2 ?a 2 ), 2 2 50 1? 质检,其中有一等品 1262 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次 等品率最多为 23%. ? -2,由题意知 P(ξ=6)=2 =0.63,P(ξ=2)= 概率分别为 ,a,a(0<a<1),三人各射击一次,击中目标的次数 1-2a 200=0.25,P(ξ 1 2 200 2a 品 P(ξ=1)-P(ξ=2)=1 [(1-a )-(2a-a )]= 2 , 4 件.已知生产 2 件一、二、三等品获得的利润分别为 探究提高 (1)求解离散型随机变量 X 的分布列的步骤: 6 万 P(ξ=3)= . 4 记为 ξ. 20 2万元,而 1 件次品亏损 22 万元.设 1 件产品的利 元、2 万元、1 =1)= X 的意义,写出 X2可能取的全部值;②求 X 取每 1-2a 1 ①理解 200=0.1,P(ξ=-2)=200=0.02. (1)求 ξ 的分布列及数学期望; 2]= 2 . P(ξ=1)-P(ξ=3)= [(1-a )-a 所以 ξ 的分布列为 润(单位:万元)为 ξ.2 X 的分布列. 个值的概率;③写出 故 ξ 的分布列为 0 (2)在概率 ξP(ξ=i)(i=0,1,2,3)中,若 P(ξ=1)的值最大,求实数 a 1 2 3 (1)求 ξ a?1-a?≥0, 的分布列; 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值 ξ 6 11 -2 1 2 2 a2 的取值范围. 1 (2)求 11-2a 件产品的平均利润(即(1-a ) 0.1 (2a-a2) ξ 的均值); 0.02 P (1-a)2 P 0.63 2 0.25 对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概 2 个人命中,3-ξ 个人未命中”的概率.其中 ξ 21 2 解 (1)P(ξ)是“ξ ≥0, (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1%, 2 由的数学期望为 (2)1 件产品的平均利润为 E(ξ)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(- 型等知识. 0,1,2,3. 及 0<a<1,得 0<a≤2, ξ 的可能取值为 一等品率提高为 70%.如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 2)×0.02=4.34(万元). X 1 1-2a2 1 1 ? 1 a2 (2)求解离散型随机变量 1 的均值与方差时,只要在求解 = E(ξ)= 2?1-(1- a)2 + 1× (1- ,2 + 2× (2a- a2)+ 3× 0× 4.73 万元,则三等品率最多是多少? P(ξ=0)=? ≥0?(1-a)2= (1-a)2a) (3)设技术革新后三等品率为 x,则此时 12件产品的平均利润为 2 2 分布列的前提下,根据均值、方差的定义求 E(X),D(X)2 ? 2 2? 思维启迪:本题在求解时,一定要分清求解的是哪一个变量的 E(ξ)=6×0.7+2×(1-0.7-x-0.01)+1×x+(-2)×0.01 4a+1 1 即可. 的取值范围是?0,1 ?. ? . (1-a)2+?1-1 ?a(1-a)+?1-1 ?(1-a)a=1(1-a2), 即2 a P(ξ=1)= ? 均值,理清随机变量取值时的概率. 2 ? =4.76-x. ? ? 2? ? 2 2 2 ? ? ?

? ? ?

1 E(ξ)=(1+2+3)× =2, 3 1 14 E(ξ2)=(12+22+32)× = 3 3 14 2 ∴D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2= -22= . 3 3 ∴D(3ξ+5)=9D(ξ)=6. 答案 A 1 1 1 2.解析 E(X)=- + =- , 2 6 3 2 E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=- +3= 3 7 . 3 答案 A 3.解析 ∵X~B(n, ∴E(X)=np=1.6, p), ?n=8, D(X)=np(1-p)=1.28,∴? ?p=0.2. 答案 A 返回 解析

4.解析 ξ 的可能取值为 0,1,2.P(ξ=0)= A3 22 13 = . A3 35 15 C1C2 A3 12 C2C1 A3 2 13 3 2 13 3 P(ξ=1)= = .P(ξ=2)= 3 A15 35 A3 15 1 = . 所以,ξ 的分布列为 35 ξ 0 1 2 22 12 1 P 35 35 35 22 12 1 2 于是 E(ξ)=0× +1× +2× = . 35 35 35 5 2 故 E(5ξ+1)=5E(ξ)+1=5× +1=3. 5 答案 C ? 1? 5.解析 ∵X~B?3, ?, 4? ? 1 3 9 ∴D(X)=3× × = . 4 4 16

自测


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