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丰城中学高中数学联赛试题(一)


丰城中学高中数学联赛试题
一、填空题(共 8 题,每题 10 分,合计 80 分) 1、设多项式 f ( x) 满足:对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 x 2 ? 4 x ,则 f ( x) 的最 小值是___________。 2、数列 ?an ? ,?bn ? 满足:ak bk ? 1,k ? 1,2,? ,已知数列

?an ? 的前 n 项和为 An ? 则数列 ?bn ? 的前 n 项和 Bn ? ____________。 3、已知 y ? 1 ? x 2 ,求函数 f ( x) ?

n , n ?1

1? x2 的值域是__________________。 x?2

4、过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点 F,作一条斜率为 2 的直线 l ,若 l 交抛物线于 A, B 两点,则

?OAB 的面积是_____________。
5、若 ?ABC 为锐角三角形,满足

sin A ? cos( A ? B ) ,则 tan A 的最大值是___________。 sin B
D

6、若正三棱锥的内切球半径为 1,则其体积的最小值为_______。 A 7、将 1,2,?,9 随机填入右图正方形 ABCD 的九个格子中, 则其每行三数,每列三数自上而下、自左至右顺次成等差 数列的概率 P=__________。 B a b c

C

8、将集合 M ? ? 1,2,?,12? 的 元 素 分 成 不 相 交 的 三 个 子 集 : M ? A ? B ? C , 其 中

A ? ?a1 , a2 , a3 , a4 ? , B ? ?b1 , b2 , b3 , b4 ? , C ? ?c1 , c2 , c3 , c4 ? , c1 ? c2 ? c3 ? c4 , 且 ak ? bk ? ck , k ? 1,2,3,4 ,则集合 C 为:_____________________。
二、解答 题(共 3 题,合计 70 分) 9、 (20 分)如图,AB 是圆的一条弦,它将圆分成两部分,M、N 分别是两段弧的中点,以 点 B 为旋转中心,将弓形 AMB 顺时针旋转一个角度成弓形 A1MB,AA1 的中点为 P,MN 的中点为 Q。求证:MN=2PQ。
A1 M P A Q

B

N

10、 (25 分)给定椭圆 C :

x2 y2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 以及圆 O: x 2 ? y 2 ? b 2 ,自椭圆上异 2 a b

于顶点的任意一点 P,作圆 O 的两条切线,切点为 M、N,若直线 MN 在 X,Y 轴上的截距 分别为 m, n ,证明:

a2 b2 a2 ? ? 。 n2 m2 b2

Y

M O

P X

N

11、 (25 分)对于 2 n 个素数组成的集合 M ? ?p1 , p2 ,?, p2n ?,将其元素两两搭配成 n 个乘 积,得到一个 n 元素,如果 A ? ?a1a2 , a3 a4 ,?, a2n?1a2n ?与 B ? ? b1b2 , b3b4 ,?, b2n?1b2n ?是 由此得到的两个 n 元素,若其中 ?a1 , a2 ,?, a2n ? ? ? b1 , b2 ,?, b2n ? ? M ,且 A ? B ? ? ,就 称集合对 ?A, B?是由 M 炮制成的一幅“对联” 。 (例如当 n ? 2 时,由四元集 ?a, b, c, d ? 可炮 制成三幅“对联” : ?ab, cd? ? ?ac, bd? , ?ab, cd? ? ?ad, bc? , ?ac, bd? ? ?ad, bc? ) 。 (1) 、当 n ? 3 时,求 6 元素数集 M ? {a, b, c, d , e, f }所能炮制成的“对联”数; (2) 、对于一般的 n ? 2 ,求由 2 n 元素数集 M 所能炮制成的“对联”数 T (n) 。


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