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2015年新课标2理科数学


2015 年新课标 2 理科数学
一、选择题.本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 A ? ?? 2, ?1 , 0, 1 , 2?, B ? x (x ?1 ) ( x ? 2) ? 0 , 则A ? B ? (

?

?

)

>
A.?? 1, 0?

B. (0, 1 )

C. ?? 1 , 0, 1? )

D. ?0, 1, 2?

2. 若a为实数,且 (2 ? ai)(a ? 2i) ? ?4i, 则a ? (

A. ? 1 B. 0 C. 1 D. 2 3.根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,一下结 论中不正确的是 ( ) 2700
2004 2600 年

2500
年 2400

2005 2006 年 年

2300

2007 2200

2100 2008
年 2000 2009

1900 年
2010 年 2011 年 2012 年 2013 年

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

?an ?满足a1 ? 3, a1 ? a3 ? a5 ? 21, 则a3 ? a5 ? a7 ? ( 4. 等比数列
A. 21 B.42 C.63 D.84
?2? x ? ? ?1 ? log2 , x ? 1, 5.设函数f ( x) ? ? x ?1 , f (?2) ? f (log12 2 )? ? ?2 , x ? 1,



A.3 B.6 C.9 D.12 6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如 右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5


y轴于M、N两点,则MN ? ( 7.过三点 A(1,3), B(4,2),C(1,?7)的圆交于

1

A. 2 6

B. 8

C. 4 6

D. 10
开始

8.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学著名 《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图, 若输入的 a , b 分别为 14,18,则输出的 a 为( A.0 B.2 C.4 D.14 是 是
a ? b?



输入 a,b

a ? b?



9.. 已 知 A 、 B 是 球 O 的 球 面 上 两 点 ,

?AOB ? 90? , C 为该球面上的动点.若三
棱锥 O ? ABC 体积的最大值为 36, 则球 O 的表面积为 ( ) A. 36? C. 144 ? B. 64? D. 256 ?



输出a

a ? a ?b

b ?b?a

结束

10.如图,长方形 ABCD 的边 AB ? 2 , BC ? 1 , O 是 AB 的中点,点 P 沿着 BC 、 CD 与

DA 运动,记 ?BOP ? x . 将动点 P 到 A 、 B 两点距离之和表示为 x 的函数 f ( x) ,则
y ? f ( x) 的图象大致为
( )

11.已知 A, B 为双曲线 E 的左、右顶点,点 M 在 E 上, ? ABM 为等腰三角形,且顶角为 120 ,则 E 的离心率为(
0

) C. 3 D. 2

A. 5

B. 2

xf ?( x) ? f ( x) ? 0, 12.设函数 f ?( x ) 是奇函数 f ( x)(x ? R) 的导函数, f (?1) ? 0,当x ? 0时,
则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是( A. (??,?1) ? (0,1) B. (?1,0) ? (1,??)
2

) C. (??,?1) ? (?1,0) D. (0,1) ? (1,??)

二.填空题:共 4 小题,每小题 5 分. 13. 设向量a, b不平行,向量 ? a ? b与a ? 2b平行,则实数 ??

.

?x ? y ? 1 ? 0 ? 14.若 x 、 y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
15. (a ? x) (1 ? x)4的展开式中 x的奇数次幂项的系数之 和为32,则a ? 16. 设Sn是数列 ?an ?的前n项和,且a1 ? ?1, an?1 ? Sn Sn?1, 则Sn ? 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分 12 分) .

.

.

?ABC中 ,D 是 BC 上的点,AD 平分 ?BAC ,?ABD的面积是?ADC面积的2倍. .
( 1 )求 sin ?B ; sin ?C

(2)若AD ? 1, DC ?

2 , 求BD和AC的长. 2

18、(本小题满分 12 分) 某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个用户,得到 用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ )根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可); A地 4 5 6 7 8 9 9 B地

3

(Ⅱ )根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满 意

记事件 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”。 假设两地区用户的评 价结果相互独立。根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概率

19、(本小题满分 12 分) 如 图 , 长 方 体 ABCD ? A1B1C1D1 中 , AB ? 16, BC ? 10 , AA 1 ? 8, 点 E , F 分 别 在

A1B1 , D1C1 上, A1E ? D1F ? 4. 过点 E , F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一
个正方形.

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) (2)求直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值.

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:9 x 2 ? y 2 ? m2 (m ? 0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两 个交点 A, B ,线段 AB 的中点为 M . (Ⅰ )证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值;

( (Ⅱ )若 l 过点

m ,m) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P ,四边形 OAPB 能否平行四边行? 3

若能,求此时 l 的斜率,若不能,说明理由.

21.设函数 f ( x) ? e

mx

? x 2 ? mx

( ? ?, 0) (0, ? ?) (Ⅰ )证明: f ( x) 在 单调递减,在 单调递增;
(Ⅱ )若对于任意 x1 , x2 ? ??1,1? ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1 ,求 m 的取值范围.
[.来源:学。

4

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时请 写清题号。 22、(本小题满分 10 分)选修 4-1,几何证明选择 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与 ?ABC 的底边 BC 交于 M , N 两点,与底边上 的高 AD 交于 G ,且与 AB, AC 分别相切于 E , F 两点. (1)证明: EF // BC ; (2)若 AG 等于圆 O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积

23、(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中,曲线 c1 : ?

? x ? t cos? , ( t 为参数, t ? 0 )其中 0 ? ? ? ? .在以 O ? y ? t sin ? ,

为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 c2 : ? ? 2 sin ? , c 3 : ? ? 2 3 sin ? 。 (1)求 c2 与 c 3 交点的直角坐标; (2)若 c1 与 c2 相交于点 A , c1 与 c 3 相交于点 B ,求 AB 的最大值.

24、(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d .证明: (1)若 ab ? cd ,则 a ? b > c ? d ; (2) a ? b > c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件.

5


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