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单县二中高考考点专题补偿训练---分布列理科数学


单县二中 2014 届高考考点专题补偿训练---分布列 高三数学(理科)
1.(本小题满分 12 分)甲乙两个同学进行定点投篮游戏,已知他们每一次投篮投中的概率 2 均为 ,且各次投篮的结果互不影响.甲同学决定投 5 次,乙同学决定投中 1 次就停止, 3 否则就继续投下去,但投篮次数不超过 5 次. (1)求甲同学至少有 4 次投中的概率;(2)求乙同学投篮次数 x

的分布列和数学期望.

2.(本小题满分 12 分)某校高二年级进行社会实践,对[25, 55]岁的人群随机抽取 n 个人进 行了一次是否开通“微信”, 若开通“微信”的为“时尚族”,否则称为“非时尚族”.通过调 查分别得到如图 1 所示统计表,如图 2 所示各年龄段人数频率分布直方图,完成问题: (1)补全频率直方图,并求 n,a,p 的值 (2)从[40,45)岁和[45,50)岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取 18 人参加网 络“时尚达人”大赛,其中选取 3 人作为领队,记选取的 3 名领队中年龄在[40,45)岁得 人数为ξ ,求ξ 的分布列和数学期望 E(X) 组数 第一 第二 组 第三 组 第四 组 第五 组 第六 组 组 分组 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55) 时尚族的人 120 数 195 100 a 30 15 占本组的频率 0.6 数 p 0.5 0.4 0.3 0.3

1

3.(本小题满分 12 分)某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛,比赛分为初赛和复赛 两部分,初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行;每位选手最多有 5 次答题机 会,选手累计答对 3 题或答错 3 题即终止比赛,答对 3 题者直接进入复赛,答错 3 题者则 被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为 (Ⅰ)求选手甲进入复赛的概率; (Ⅱ) 设选手甲在初赛中答题的个数为 X ,试求 X 的分布列和数学期望.

2 ,且相互间没有影响. 3

4.(本小题满分 12 分)今天你低碳了吗?近来,国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的 软件,人们可以用它计算出自己每天的碳排放量。例如:家居用电的碳排放量(千克) = 耗电度数× 0.785,汽车的碳排放量(千克)=油耗公升数× 0.785 等。某班同学利用寒假在两 个小区逐户进行了一次生活习惯进否符合低碳观念的调查。若生活习惯符合低碳观念的称 为“低碳族”,否则称为“非低碳族”。这二族人数占各自小区总人数的比例 P 数据如下: A 小区 比例 P 低碳族 非低碳族 B 小区 比例 P 低碳族 非低碳族

1 2

1 2

4 5

1 5

(I)如果甲、乙来自 A 小区,丙、丁来自 B 小区,求这 4 人中恰有 2 人是低碳族的概率; (II)A 小区经过大力宣传,每周非低碳族中有 20%的人加入到低碳族的行列。 如果 2 周后随机地从 A 小区中任选 25 个人,记 ? 表示 25 个人中低碳族人数,求 E? .

2

5.(本小题满分 12 分)甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活 动,在本次海选中有合格和不合格两个等级.若海选合格记 1 分,海选不合格记 0 分.假

2 3 1 设甲、乙、丙海选合格的概率分别为 , , ,他们海选合格与不合格是相互独立的. 3 4 2
(Ⅰ)求在这次海选中,这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率; (Ⅱ)记在这次海选中,甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量 ? ,求随机变量

? 的分布列和数学期望 E? .

6.某中学为丰富教工生活,国庆节举办教工趣味投篮比赛,有 A 、 B 两个定点投篮位置, 在 A 点投中一球得 2 分,在 B 点投中一球得 3 分. 其规则是:按先 A 后 B 再 A 的顺序投篮. 教师甲在 A 和 B 点投中的概率分别是

1 1 和 ,且在 A 、 B 两点投中与否相互独立. 2 3

(Ⅰ)若教师甲投篮三次,试求他投篮得分 X 的分布列和数学期望; (Ⅱ)若教师乙与甲在 A、B 点投中的概率相同,两人按规则各投三次,求甲胜乙的概率.

3

7.(本小题共 12 分)某中学有 4 位学生申请 A,B,C 三所大学的自主招生.若每位学生只 能申请其中一所大学,且申请其中任何一所大学是等可能的. (1)求恰有 2 人申请 A 大学的概率;(2)求被申请大学个数 X 的概率分布列与数学期望 E(X).[

8.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行问卷调查得到了如下列联 表:已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . (1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程); (2)能否认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由; (3)若从女生中随机抽取 2 人调查,其中喜爱打篮球的 人数为 X ,求 X 的分布列与期望. 下面的临界值表供参考:
P( K ? k )
2

3 5

喜爱 男生 女生 合计 10

不喜爱 5

合计

50 0.005 7.879 0.001 10.828

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

k

(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

4

单县二中 2014 届高考考点专题补偿训练---分布列 高三数学(理科答案)

(2)由题意 x ? 1, 2,3, 4,5 .

P(x ? 1) ?

2 1 2 2 1 1 2 2 ?1? 2 2 , P(x ? 2) ? ? ? , P(x ? 3) ? ? ? ? , P(x ? 4) ? ? ? ? ? , 3 3 3 9 3 3 3 27 ? 3 ? 3 81
4

3

1 ?1? P(x ? 5) ? ? ? ? . x 的分布表为 ? 3 ? 81 x 的数学期望 2 2 2 2 1 121 Ex ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? . 3 9 27 81 81 81 2.解:

x

1

2

3

4

5

P

2 3

2 9

2 27

2 81

1 81

5

2 212 8 ? , 3 3 3 27 16 2 2 2 1 2 2 ? 或选手甲答了 5 个题,前 4 个 2 对 2 错,第 5 次对进入复赛? C4 ( ) ( ) 3 3 3 81 8 8 16 64 ? ? ? . ? 选手甲进入复赛的概率 P( A) ? 27 27 81 81
或选手甲答了 4 个题,前 3 个 2 对 1 错,第 4 次对进入复赛? C3 ( )
2

6

X P

3

4

5

1 3

10 27

8 27

? EX ?
P( A) ?

107 ————13 分 27

4.解:(I)记这 4 人中恰好有 2 人是低碳族为事件 A

1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 4 4 33 ? ? ? ? 4? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 5 5 2 2 5 5 2 2 5 5 100 1 1 a ? ? (1 ? ) 2 2 5 ? 8 (II)设 A 小区有 a 人,2 周后非低碳族的概率 P ? a 25 8 17 17 ? 17 ? ? ? 17 . 2 周后低碳族的概率 P ? 1 ? , 依题意 ? B ? 25, 所以 E? ? 25 ? ? 25 25 25 25 ? ?

5.解:(Ⅰ)记“甲海选合格”为事件A,“乙海选合格”为事件B,“丙海选合格”为 事件C,“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件E.则

(Ⅱ) ? 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3.

1 1 1 23 P( E ) ? 1 ? P( ABC ) ? 1 ? ? ? ? . 3 4 2 24

P(? ? 0) ? P( ABC ) ?

所以 ? 的分布列为

1 6 ; P(? ? 1) ? P( ABC ) ? P ( ABC ) ? P ( ABC ) ? ; 24 24 11 6 P(? ? 2) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? ; P(? ? 3) ? P( ABC ) ? . 24 24
1 6 11 6 23 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 24 24 24 24 12

E? ? 0 ?

?
P

0

1

2

3

1 24

6 24

11 24

6 24

6.解:设“教师甲在 A 点投中”的事件为 A ,“教师甲在 B 点投中”的事件为 B . (Ⅰ)根据题意知 X 的可能取值为 0,2,3,4,5,7

1 1 1 P( X ? 0) ? P ( A ? B ? A ) ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) ? , 2 3 6 1 1 1 1 1 P( X ? 2) ? P( A ? B ? A ? A ? B ? A) ? C2 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 3 2 3 1 1 1 1 P( X ? 3) ? P( A ? B ? A ) ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? 2 3 2 12 1 1 1 1 P( X ? 4) ? P( A ? B ? A) ? ? (1 ? ) ? ? 2 3 2 6 1 1 1 1 1 P( X ? 5) ? P( A ? B ? A ? A ? B ? A) ? C2 ? ? (1 ? ) ? ? 2 2 3 6 1 1 1 1 P( X ? 7) ? P( A ? B ? A) ? ? ? ? 2 3 2 12
所以 X 的分布列是:

1 1 1 1 1 1 EX ? 0 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 7 ? ? 3 6 3 12 6 6 12

X P

0

2

3

4

5

7

1 6

1 3

1 12

1 6

1 6

1 12

7

(Ⅱ)教师甲胜乙包括:甲得 2 分、3 分、4 分、5 分、7 分五种情形. 这五种情形之间彼此互斥,因此,所求事件的概率 P 为:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P ? ? ? ? ( ? ) ? ? ( ? ? ) ? ? ( ? ? ? ) ? ? (1 ? ) 3 6 12 6 3 6 6 3 12 6 6 3 12 6 12 12 57 19 ? ? 144 48

8.解:(1) 列联表补充如下:

50 ? (20 ?15 ? 10 ? 5) 2 ? 8.333 ? 7.879 (2)∵ K ? 30 ? 20 ? 25 ? 25
2

∴有 99.5%以上的把握认为喜爱打篮球与性别有关. (3)喜爱打篮球的女生人数 X 的可能取值为 0,1, 2 . 其概率分别为

P( X ? 0) ?

0 2 1 1 2 0 C10 C15 C10 C15 C10 C15 7 1 3 , , ? P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? 2 2 2 C25 20 C25 2 C25 20

故 X 的分布列为: X 的期望值为

?
P

0
7 20

1

2

EX ? 0 ?

7 1 3 4 ? 1? ? 2 ? ? . 20 2 20 5

1 2

3 20

8


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