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2014届高考数学(文)一轮复习课件:第3章 第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切


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第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切

第三章 第5讲

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不同寻常的一本书,不可不读哟!

第三章 第5讲

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1. 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.

2. 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公
式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正 切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内 在联系.

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1个必记口诀正弦公式概括为“正余,余正符号同”.余 弦公式概括为“余余,正正符号异”.
2点必知技巧 1. 化简技巧:“1”的代换,正切化弦,异角化同角,异次化 同次等. 2. 拆角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β, α+β α-β π π β= - ,α= -( -α)等. 2 2 4 4

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2. 变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其

手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
3. 变式:根据式子的结构特征进行变形,其手法通常有: “常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与 组合”、“配方与平方”等.

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1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)=____________; cos(α±β)=____________; tan(α±β)=____________.

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(1)sin24°cos36°+cos24°sin36°=________. (2)cos80°cos20°+sin80°sin20°=________. (3)cos295°sin70°-sin115°cos110°=________.

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4 π 5 4 知s α= ,α∈( ,π),c β=- ,β是第三象限, ( ) n i o s 5 2 13 则c o ( s α-β)=________. 1+t5 a° n 1 5 ( ) 1-t5 a° n 1 =________.

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α=________; cos2α=________=________=________; tan2α=________.
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二倍角公式中的sin2α,cos2α能否用tanα来表示?

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1 化简下列各式:s ( ) n. 2 i2 c o s
4

52 ° c° o 2 s. 5

=________;

α-s n i

4

n αc α 2 i s o s α=________; =________. 1-2 2α n i s α =2,则t α=________,t a n a n ( 2 π α+ )= 4

2 已知t ( ) a n ________.

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n1 i. s

αc β± o c s o s

αs β n i

c αc β?s αs β o o s s n n i i 2 2

a α± β n a t n t 1?t αt β a a n n

填一填:( 1 )

3 1 ( ) ( ) 2 2 2 3

33 3 12 4 - ( ) 提示:c α=- ,s β=- . o s n i 65 5 13 c o ( s 33 α-β)=c αc β+s αs β=- . o o s s n n i i 65

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5 ( ) 3.

3

a5 n° t 4 +t5 a° n 1 提: 原= 示 式 1-ta5 a5° nt 4 n ° 1

=t° a n 4 ( 5

+1 = 5 ° )

2.2 nα· α c i s c o s o s a α 2 n t 1-t 2α a n 想想 一: a α 2 n t , 1+t 2α a n

2

α-s n i

2

α 2 c o s

2

α-1

1-2 n i s

2

α

提 : ∵s 示 n 2 i

α=2 n i s

αc α o s αc α= o s = 2 2 n α+c α i s o s n 2 i s

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c o 2 s

c o s 2 2 α=c α-s α= o s n i c o s 2 o 2 s 4 c

2

α-s n i 2 α+s n i

2

α 1-t a n 2 = α 1+t a n

2

α 2 . α

填一填:( 1 )

α a n t 2

4 1 α 2 -3 -7 ( )

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核心要点研究

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例1 22 [1 0· 1 . 2

四川高考]已知函数f(x)=c o s

2x

x x -s c n o - i s 2 2 2

1 求函数f(x)的 小 周 和 域 ( ) 最正期值; 3 2 2 若f(α)= 10 ,求s ( ) n 2 i α的 . 值

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[审题视点] 1 由 倍 公 和 角 式 ( 二角式和公把 )

f(x)化为只含有 3 2 一个三角函数的形式,再确定周期和值域;( 由f(α)= 10 2 ) 求s α的值,注意角的合成与分解. n 2 i x x 1 2x [解] 1 由已知,f(x)=c 2-s 2c 2-2 ( ) o s n o i s

1 1 1 =2(1+c x)-2n x-2 o s i s 2 =2c o ( s π x+4). 2 2 2π,值域为[- 2 , 2 ].
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所以f(x)的 小 周 为 最正期

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2 2 由( 知,f(α)= 2 c ( ) 1 ) o ( s 所以c o ( s 所以s n 2 i =1-2 c o s π 3 α+ )= . 4 5 α=-c o ( s
2

π 3 2 α+4)= 10 ,

π +2α)=-c o 2 [ s ( 2

π α+ )] 4

π 18 7 (α+4)=1-25=25.

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奇思妙想:本例条件不变,第( 问改为:“若f(θ)= 2 ) 2 π π π ,θ∈[- , ],求f(θ- )的值?”该如何解答? 6 4 4 4

2 2 解:由f(θ)= 得 c o ( s 6 2 ∴c o ( s

π 2 θ+ )= , 4 6

π 1 π π θ+ )= ,又∵θ∈[- , ], 4 3 4 4 π 2 2 θ+ )= . 4 3

π π ∴θ+ ∈[0, ],∴s n ( i 4 2

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π 2 2 f(θ-4)= 2 c θ= 2 c o s o ( [ s 2 = c o [ ( s 2 π θ+ c o ) s 4 π +s n ( i 4

π π θ+4)-4] π θ+ n i s ) 4 π ] 4

2 1 2 2 2 2 1+2 2 = 2 (3·2 + 3 ·2 )= 6 .

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1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则: (1)一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理

的拆分,从而正确使用公式;(2)二看“函数名称”,看函数
名称之间的差异,从而确定使用的公式;(3)三看“结构特 征”,分析结构特征,找到变形的方向. 2.公式的逆用,变形用十分重要,常用通过三角变换消去或 约去一些非特殊角的三角函数,“1”的代换,正切化弦,和

积互化,异角化同角等手段.
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[变式探究] 1 ( ) a 2 n t 1+c° o 2 s 0 2 n 20° -s ( 2 ) i n° 1 i0 ( s a5 n° 3 t 2 ( )
答案:( 1 )

c 2α-s 2α o s n i =________. π π ?4-α?c 2?4-α? o s 1 a° n 5 a° -t) n t 5 + 3ta5 a5° nt 2 n ° 3 =________. =________.
3

+t5 a° n 3
2 ( )

3 ( ) 2 3

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解析:( 1 ) n 2 i s 2 c o s 2 ( ) n° 4o 11 i00 ss° c c° o 1 s 0 = n° 2 1 i0 s
2

c α o 2 s = π =1. π π ? -α?c ? -α? n ? -2α? o s i s 4 4 2 c o 2 s -s n° 1 i0 ( c o 5 s ° n 5 i° s
2

α

10°

n 5 i° s - c o 5 s ° 5° )

)

-s n° 1 i0 (

c 25-s o s n i n5 5° i° ss c o

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c° o 1 s 0 =n° 2 1 i0 s = c° o 1 s 0

-20 c° o 1 s

c° o 1 s 0 -2 n° 2 i0 s = n° 2 1 i0 s 3 =2. + 3ta5 a5° n° 2 n t 3 + 3ta5 a5° n° 2 n t 3 = 3.

-2 ?30° n i s -10° ? 3s n° 1 i0 = n° n° 2 1 i0 s 2 1 i0 s

3 原式=(1-ta5 ( ) a5° n° 2n° n) tt0 3 a 6 = 3- 3ta5 a5° n° 2 n t 3

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例2 23 [1 0· n 2 i s

郑州检测]若c o ( s

π 3 17 7 4 +x)= 5 , 12 π<x< 4 π,求

x+2 2x n i s 的值. 1-t x a n

π π [审题视点] 1 利用x=(4+x)-4的变换,同时注意x的 ( ) 范围和符号.( 化简原式得到二倍角与和角的三角函数, 2 ) π π 利用2x=2( +x)- 变换. 4 2
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[解]

方一由 法:

17 7 5 π π<x< π得 π<x+ <. 2 π 12 4 3 4 π 4 +x)=- . 4 5

又因为c o ( s c x=c o s o ( [ s =c o ( s

π 3 +x)= ,s n ( i 4 5 π π 4+x)-4]

π 2 n ( i 4+x)·2 +s

π 2 2 4+x)·2 =- 10 .

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7 2 从而s x=- n i ,t x=7. a n 10 n 2 i s 原式= xc x+2 o s n i s 1-t x a n
2

x

7 2 2 7 22 2×?- 10 ?×?- 10 ?+2×?- 10 ? 28 = =-75. 1-7 n 2 i s 方法二:原式= =s n 2 i xt a n ( π 4+x).
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xc x?1+t x? o s a n 1-t x a n

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而s n 2 i = 2 - [s c o

x=s n 2 [ i (
2

π π - o 2 s ( 4+x)-2]= c

π 4+x)

π 7 (4+x)-1 =2 . ] 5 π 4 +x)= - , 4 5

由意 题得

n ( i s

a n t (

π n ?4+x? i s π 4 +x)= = - , 4 π 3 c ? +x? o s 4 7 4 2 8 ×(- )= - . 2 5 3 7 5
第三章 第5讲
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所,式 以原=

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解决三角函数的给值求值问题的关键是寻求“已知角”与 “所求角”之间的关系,用“已知角”表示“所求角”.

(1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和与差.
(2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍”的关系或 “互余互补”关系.

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角的变换是求值的关键环节,常用角的变换如下:α= α 2·,α=(α+β)-β 2 π π π α=β-(β-α), +α= -( -α) 4 2 4 π π α=4-(4-α)等.

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[变式探究]

? π? 1 π ?α+ ? = ,且- [2013· 东莞模拟]已知tan 4? 2 2 ?

2sin2α+sin2α <α<0,则 ? π? 等于( cos?α-4? ? ? 2 5 A. - 5 3 10 C. - 10
答案:A

)

3 5 B. - 10 2 5 D. 5

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解析:由t a n (

n t π a α+1 1 1 π α+ )= = ,得t α=- .又- a n 4 2 3 2 1-t α a n
2

2 i s 10 n <α<0,所以s α=- n i .故 10 2 5 =2 2s α=- n i . 5

α+s n 2 i
? π? ?α- ? 4? ?

α n 2 i s =

c o s

α?s α+c α? n i o s 2 ?s α+c α? n i o s 2

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例3 22 [1 0·

陕西高考]函数f(x)=As n i

? π? ?ωx- ? 6? ?

+1(A>0,

π ω> 的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为 . 0 ) 2 1 求函数f(x)的 析 ; ( ) 解式 2 ( )
? π? ?α? 设α∈?0,2?,f?2?=2,求α的值. ? ? ? ?

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[审题视点] 1 利 最 求 ( 用值出 ) 值.

A,利用周期求出ω的

2 结合已知条件得出关于α的方程s ( ) n ( i 求得α的值.

π 1 α- 6 )= 2 后容易

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[解]

由f(x)的最大值为3,知A=2,由周期为π,知ω=2,

? π? 故函数f(x)的解析式为y=2sin?2x-6?+1. ? ? ?α ? ? π? (2)∵f?2 ?=2sin?α-6?+1=2, ? ? ? ? ? π? 1 即sin?α-6?=2, ? ?

π π π π 又∵0<α< ,∴- <α- < . 2 6 6 3 π π π ∴α-6=6.故α=3.
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通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时, 遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知 正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是
? π? ?0, ? 2? ?

,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π), 余 较 选弦

? π π? 好;若角的范围为?-2,2?,选正弦较好. ? ?

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[变式探究] 已知t a n ( (0,π)求2α-β的值.

1 1 α-β)= ,t β=- ,且α,β∈ a n 2 7

解:由t a n (

a α-t β 1 n t a n 1 α-β)= 知, = . 2 1+t αt β 2 a a n n

1 1 将t β=-7代入上式解得t α=3. a n a n 1 2× 3 3 a α 2 n t α= = = , 12 4 1-t 2α a n 1-?3?
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∴t a n 2

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∴t a n 2 (

3 1 a α-t β n t 2 a n 4+7 α-β)= = 3 1 =1. 1+t αt β a n 2 a n 1+4×?-7?

1 3 π 由t α= < .α∈(0,π)知α∈(0, ), a n 3 3 6 π ∴2α∈(0, ). 3

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3 由t β∈(-1,0),β∈(0,π)知β∈( π,π), a n 4 3 5 ∴-β∈(-π,-4π),∴2α-β∈(-π,-12π), 3 ∴2α-β=- π. 4

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【选题· 热考秀】 23 [1 0· 1 临沂模拟]若α、β是锐角,且s α-s β=- 2 , n i n i α-β)=________.

1 c α-c β= ,则t o s o s a n ( 2

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1 1 [规范解答] ∵s α-s β=-2,cosα-c β=2, n i n i o s 两式平方相加得:2-2 c o s 即2-2 c o ( s 1 α-β)= ,∴c o ( s 2 αc β-2 o s n i s 3 α-β)= . 4 1 αs β= , n i 2

1 π ∵α、β是锐角,且s α-s β=-2<0,∴0<α<β<2. n i n i π ∴-2<α-β< 0 .

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∴s n ( i

α-β)=-

1-c o s

2

7 ?α-β? =- .∴t a n ( 4

α-β)=

n ?α-β? i s 7 =- 3 . c ?α-β? o s

[答案]

7 -3

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【备考· 角度说】 No.1 角度关键词:易错分析 π π 由于α、β是锐角,所以- 2 <α-β< 2 ,但还应注意sinα 1 -sinβ=-2<0,∴sinα<sinβ,α<β. π 从而- <α-β<0,故由cos(α-β)的值只能得到sin(α- 2 π π β)<0的值,本题若直接由α,β∈(0, ),得α-β∈(- , 2 2 π 2),则放宽了角的范围,会导致出现两个结果的错误.
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No.2

角度关键词:备考建议

三角函数值符号的确定,是解决三角求值、化简、证明的
关键,学生解题中容易忽视对条件的深刻挖掘,直接根据已 知,“宽松”条件确定符号,扩大角的范围致误,俗话说: “明枪易躲,暗箭难防”,我们在解题时一定要认真分析、小 心论证.

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经典演练提能

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1. 22 [1 0·

n° 4 i7 s 重庆高考]

-so n° 13 i70 c° s c° o 1 s 7 1 B -2 . D . 3 2

=(

)

3 A -2 . 1 C . 2 答案:C

sin?17° +30° ?-sin17° cos30° 1 解析:原式= =sin30° 2. = cos17°

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1 1 2. 已知tanα= ,tan(α-β)= ,则tanβ=( 4 3 7 A. 11 1 C. - 13 11 B. - 7 1 D. 13

)

答案:C
1 1 - 4 3 1 解析:tanβ=tan[α-(α-β)]= =- ,选C项. 11 13 1+ · 43

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3. 化简 2+cos2-sin21的结果是( A. -cos1 C. 3cos1 B. cos1 D. - 3cos1

)

答案:C

解析:原式= 3-3sin21= 3cos21= 3cos1.

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4.

[2012· 大纲全国]已知α为第二象限角,sinα+cosα= ) 5 B. - 9 5 D. 3

3 ,则cos2α=( 3 5 A. - 3 5 C. 9

答案:A

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3 解析:∵s α+c α= 3 ,且α为第二象限角, n i o s π 3π ∴α∈(2kπ+2,2kπ+ 4 )(k∈Z). 3π ∴2α∈(4kπ+π,4kπ+ )(k∈Z). 2 由( n i s ∴s n 2 i α+c α) =1+s o s n 2 i 2 α=- .∴c o 2 s 3
2

1 α= , 3
? 2? 1-?-3?2=- ? ?

α=-

5 . 3

第三章 第5讲

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5.

? π? 4 3 ?α- ?+sinα= [2012· 泉州模拟]已知cos 6? 5 ,则 ?

? 7π? sin?α+ 6 ?的值是( ? ?

) 2 3 B. 6 4 D. 5

2 3 A. - 5 4 C. -5
答案:C

第三章 第5讲

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解析:c o s n i s

? π? ?α- ? +s i 6? n ?

4 3 3 3 4 3 α= ? n α+ c α= i s o s ? 5 2 2 5
? π? 4 ?α+ ?=- . 6? 5 ?

? π? 4 ?α+ ?= ,所以s n i 6? 5 ?

? 7π? ?α+ ?=-s n i 6? ?

第三章 第5讲

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限时规范特训

第三章 第5讲

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