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【全国百强校】浙江省温州中学人教新课标A版 必修五 331 二元一次不等式组与平面区域 教案

时间:2017-08-22


二元一次不等式(组)与平面区域
一、教学目标: 1.初步体会从实际情景中抽象出二元一次不等式组的过程。 2.了解二元一次不等式(组)的相关概念,并能画出二元一次不等 式(组)表示的平面区域。 3. 培养学生观察、 分析数学图形的能力, 在问题的解决中渗透集合、 化归、类比、数形结合的数学思想。 二、教学重点与难点: 1.重点:探究、运用二元一次不等式(组)来表示平面区域

。 2.难点:如何确定不等式Ax+By+C>0(或<0)表示直线Ax+By+C=0的哪 一侧区域。 三、教学准备: 教具:直尺、多媒体设备。 四、教学过程: (一)、创设情境 激发兴趣 问题 1:我们班计划用少于 100 元的钱购买单价分别为 2 元和 1 元 的大、小彩球装点联欢晚会的会场,根据需要,大球数不少于 10 个, 小球数不少于 20 个,请你给出几种不同的购买方案? 答:大球 10 个、小球 20 个;大球 20 个、小球 30 个;大球 30 个、小球 30 个;大球 35 个、小球 29 个等等; 提问:这个问题中存在一些不等关系,我们应该用什么不等式模 型来刻画它们呢? 学生列式: 设购买大球 x 个,小球 y 个
?2 x ? y ? 100 ? 0 ? x ? 10 (x,y∈N+) ? ? y ? 20 ?

学生通过思考,相继得到许多不同的解:

1

? x ? 10 , ? ? y ? 20

? x ? 20 ? x ? 30 ? x ? 35 ,? ,? ?? 上 述 各 个 解 都 满 足 ? ? y ? 30 ? y ? 30 ? y ? 29

2 x ? y ? 100 ? 0 。

提问1:大家认识这个不等式2x+y<100吗?该怎样称呼它?(如 学生不知道,可以问学生x-10>0如何称呼?) 我们把含有两个未知数,并且未知数的次数是 1的不等式称为二 元一次不等式。 提问2:我们该怎样称呼
?2 x ? y ? 100 ? ? x-y?8

我们把几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等 式组。 把x=10,y=20代入代数式2x+y-100,满足 2x ? y ? 100 ? 0 , x=20,y=30 代入代数式2x+y-100满足 2x ? y ? 100 ? 0 ,象这样满足二元一次不等式 (组)的x和y的取值构成有序数对(x,y) (举例说明),所有这样的 有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集,有 序实数对可以看作是直角坐标系平面内点的坐标, 于是二元一次不等 式(组)的解集就可以看成直角坐标系内点构成的集合。 (二)探究二元一次不等式表示的平面区域 思考: 我们知道, 一元一次不等式的解集可以表示为数轴上的区间, 例如,x-10>0的解集为数轴上的一个区间(画图) ,那么,在直角坐 标系内,二元一次不等式的解集表示什么图形呢? 探究:二元一次不等式 2x+y<100 在平面直角坐标系下表示什么区 域? 问题 2:集合{(x,y)|2x+y=100}表示什么图形? (表示一条直线) 提问 1:怎样画这条直线? 提问 2:已知点 A(20,60)和直线 L:2x+y-100=0,请判断点 A 和直
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线 L 的位置关系? (点 A 的坐标代入代数式 2x+y-100,得 2x+y-100=0) 提问 3:已知点 B(10,20),C(40,50)和直线 L:2x+y-100=0,请判 断点 B、C 和直线 L 的位置关系?(从数形两方面说明) 提问 4:直线 L 上的点被点 A 分成几类?哪几类? 提问5:平面直角坐标系内的点被直线 2x ? y ? 100 ? 0 分成几类?哪 三类? 【教师演示】几何画板展示:在平面直角坐标系中,所有的点被直 线2x+y-100=0分成三类:即在直线2x+y-100=0上;直线左下方的 平面区域;直线右上方的平面区域。 活动一:由形到数 问题 3:直线 2x+y-100=0 的左下方的点的坐标(x,y)代入代数式 2x+y-100 中,发现什么规律? 【学生尝试】让学生尝试在直线 2x+y-100=0 的左下方多取若干点, 自动计算 2x+y-100 的值,发现都是小于零。 【教师演示】教师借助几何画板在直线2x+y-100=0的左下方任意取 一点A(x,y)的坐标进行跟踪显示,并将点 A(x,y)的坐标代入2x+y-100 中,由学生计算,观察所得值的符号,并归纳发现在直线2x+y-100=0 的左下方的点都满足不等式2x+y-100<0。 (这个发现可以证明,此处省略100字) 活动二:由数到形 问题4:那么满足不等式2x+y-100<0的解(x,y)对应的点在直线2x +y-100=0的同一侧,还是直线的两侧呢? 【学生尝试】设点P(x,y1)是直线l上的点,选取点A(x,y2)使它的 坐标满足2x+y<100,填写下表: 横坐标x 点P的纵坐标y1 点A的纵坐标y2
3

-20 -10

0

10

20

30

在坐标系中将满足不等式的解所对应的点A描绘到坐标系中, 通过对其 位置进行分析,归纳猜想得出相应结论。 大家发现什么规律没? 【学生猜想】以二元一次不等式2x+y-100<0的解为坐标的点都在直 线2x+y-100的左下方。 用同样的方法可以知道:以二元一次不等式2x+y-100>0的解为坐标 的点都在直线2x+y-100的右上方。 【师生归纳】在平面直角坐标系中,以二元一次不等式 2x+y-100<0 的解为坐标的点都在直线 2x+y-100 的左下方, 反过来, 直线 2x+y-100 =0 的左下方的点的坐标都满足不等式 2x+y-100<0。因此,在平面直 角坐标系中, 不等式 2x+y-100<0 表示直线 2x+y-100 的左下方的平面 区域;类似的,不等式 2x+y-100>0 表示直线 2x+y-100=0 的右上方的 平面区域。我们把直线 2x+y-100=0 叫做这两个区域的边界。 结论:一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 某一侧所有点组成的平面区域。(同侧同号) (三)应用练习 例1、画出不等式2x+3y-6>0表示的平面区域 设计以下几个问题: (1)不等式表示的区域是在哪条直线的一侧?如何判断是在直 线的左下方? (2)这条直线是画实线还是虚线?为什么? 变式 1:画出不等式 2x+3y-6≥0 表示的平面区域 (几个提问择机而问) 提问1:直线 Ax ? By ? C ? 0 同一侧所有的点(x,y)代入 Ax ? By ? C 所得实数符号如何? 提问 2:如何判断 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 哪一侧平面 区域? 引导学生探索分析对于直线 Ax ? By ? C ? 0 同一侧的所有点 (x , y) ,把坐标(x , y)代入 Ax ? By ? C ,所得到实数的符号都相同,所
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以只需要在直线的某一侧取一个特殊点(x0 , y0),从 A x0 ? B y 0 ? C 的 正负即可判断不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示直线哪一侧的平面区域。 (代 点法) 概括为:画二元一次不等式表示的平面区域的方法为“直线定界, 原点定域” 。 提问 3: Ax ? By ? C ? 0 表示的平面区域与 Ax ? By ? C ? 0 表示的平 面区域有何不同?如何体现这种区别? 总结:我们把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线。画不等式
Ax ? By ? C ? 0 所表示的平面区域时,此区域包括边界直线,应把边界

直线画成实线。 变式训练 2:画出不等式 3 y ? 2 x 表示的平面区域 (引导学生思考取何特殊点?) 提问:画出不等式表示的平面区域的步骤是什么? 概括为:画二元一次不等式表示的平面区域的步骤为“直线定 界,特殊点定域” 。特别地,当 C ? 0 时,常把原点作为特殊点,即“直 线定界、原点定域” 变式训练 3:画出不等式组 ?
?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 表示的平面区域 ? 3 y ? 2x

归纳: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的 交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。 练习:画出下列不等式表示的平面区域 (1)x-y+1<0 (2)2x+5y-10≥0 (3)(x+y-1)(x-y+1)<0

例 2、画出不等式组表示的平面区域
?2 x ? y ? 100 ? 0 ? x ? 10 ? ? y ? 20 ?

设计以下几个问题: (1)不等式组表示的平面区域如何确定?(各个不等式表示
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的平面点集的交集即各个不等式所表示的平面区域的公共部分)
? ? (2)如果增加条件 x ? N , y ? N 呢?(回到问题 1)

(是上述公共平面区域内的整点) (四)小结 1、如何作出一元二次不等式(组)表示平面区域?方法?(直 线定界 特殊点定域) 2、本节课渗透了什么样的数学思想方法?(数形结合) 思考题:我们班计划用少于 100 元的钱购买单价分别为 2 元和 1 元的大、小彩球装点联欢晚会的会场,根据需要,大球数不少于 10 个,小球数不少于 20 个,请问最多可以买到几只彩球? (五)布置作业: 1.课本 P93 习题 3.3A 组 1、2,B 组 1。 2.拓展与提高:B 组 2。

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