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椭圆性质1


1.椭圆定义:在平面内,到两定点距离之和等于 定长(定长大于两定点间的距离)的动点的轨迹
y2 x2 x2 y2 2.标准方程: 2 ? 2 ? 1 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) a b a b

x2 y2 3.椭圆的性质:由椭圆方程 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) a b (1)范围: ? a ? x ? a ? b

? y ? b ,椭圆落在

x ? ?a, y ? ?b 组成的矩形中.
(2)对称性: 对称中心 (3)顶点 : 六个特殊点.

c (4)离心率: e ? ( 0 ? e ? 1) a

x2 y 2 问题.求证:椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0)上任一点P( x0 ,y0 ) a b 与焦点所连两条线段的长分别为a±ex0 .

证明1:设左,右焦点分别是F1(-c,0). F2(c,0),则 2 2 a ? x 2 2 0 | PF1 |? ? x0 ? c ? ? y0 2 ? ? x0 ? c ? ? b 2 ? a2 c c2 2 2 ? x ? 2cx0 ? a ?| a ? x0 | 2 0 a a ?a ? x0 ? a, ? a ? c x0 ? a ? c ? 0 a F1 ?| PF1 |? a ? ex0, 又 | PF1 | ? | PF2 |? 2a
? | PF2 |? 2a ? (a ? ex0 ) ? a ? ex0

P(x0,y0)

x2 y 2 椭圆的焦半径公式:设P( x0 ,y0 )是椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) a b 上任一点,r1、r2分别是P与点F1 (?c, 0)、F2 (c, 0)的距离,那么 r1 ? a ? ex0 (左焦半径),r2 ? a ? ex0 (右焦半径)。

推导方法二: PF1 2 ? ( x0 ? c)2 ? y0 2
? PF1 ? PF2 ? 4cx0
2 2

PF2 ? ( x0 ? c) 2 ? y0 2

2



PF1 ? PF2 ? 2a

2cx0 ? ? PF1 ? PF2 ? a ?? ? PF1 ? PF2 ? 2a ?

c ? PF1 ? a ? x0 ? a ? ex0 ? ? a ?? ? PF ? a ? c x ? a ? ex 2 0 0 ? a ?

即(左焦半径) r1 ? a ? ex0 ,(右焦半径) r2 ? a ? ex0

x2 y 2 (1) 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b ? ? PF1 ? a ? ex0 (左焦半径) ? ? ? PF2 ? a ? ex0 (右焦半径)
y 2 x2 (2) 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b

? ? PF1 ? a ? ey0 (下焦半径) ? ? ? PF2 ? a ? ey0 (上焦半径)

x2 y 2 练习:证明椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上任意三点 的横 a b

坐标 成等差数,则它们的焦半径也成等差 数列。
y P1 P2

P3
x

x1 o x2 F2 x3

证明:因为 x1+x3=2x2 所以 |P1F2|+|P3F2|=2a-e(x1+x3)=2(a-ex2)=2|P2F2|

2 x 例题1. 已知椭圆 ? y 2 ? 1, 点 P(1,0)。 2

(1)求过点P,倾角为45o的直线被椭圆截得的弦长。 分析:(1)先判断点P是否焦点 因为a2=2,b2=1,所以c=1 点P是右焦点 所求的弦是焦点弦AB。
? x2 2 ? y ?1 ? 由? 2 ? y ? x ?1 ?
B y A o P x

? 3x ? 4 x ? 0
2

? AB ? 2a ? e( x1 ? x2 ) ? 2 2 ?

2 4 4 2 ? 2 3 3

例题1. 已知椭圆 x ? y 2 ? 1, 点 P(1,0)。

2

2

(2) 椭圆的长轴100等分,过每个分点作长轴A1A2 的垂线交椭圆的上半部于B1、B2、…B99,求: |A1P|+|B1P|+|B2P|+…+|B99P|+|A2P| 分析:(2) “等分长轴”,分点的 横坐标依次组成一个等差 数 B B1 2 B99 列 它对应的焦半径 A1 A2 ? |A1P|,|B1P|,|B2P|,…,|B99P|,|A2P| o P x 也组成一个等差数列, 首项是a+c,最后一项是a-c

(a ? c) ? (a ? c) ? S101 ? 101 ? 101a ? 101 2 2

x y 例2.椭圆 2 ? 2 ? 1 ,其上一点P(3,y)到两焦点 a b 13 7 的距离分别是 和 ,求椭圆方程. 2 2
解:由椭圆的焦半径公式,得
13 ? a ? 3e ? ? ? 2 ? ? a ? 3e ? 7 ? ? 2

2

2

?a ? 5 ? ?? 1 e? ? ? 2

5 2 75 2 2 ? c ? ,b ? a ? c ? 2 4
x2 4y2 ? ?1 所求椭圆方程为 25 75

例题3.设P是以O为中心的椭圆上任意一点,F2为 右焦点,求证:以线段F2P为直径的圆与此椭圆长 轴为直径的圆内切.
x y 证明:设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
2 2

y

P

焦半径F2P是圆O1的直径

O1
F1 O F2

A1

A2

x

PF2 2a ? PF2 PF1 则由a ? ? ? ? OO1 2 2 2

两圆半径之差等于圆心距 所以,以线段F2P为直径的圆与此椭圆长 轴为直径的圆内切

x2 y 2 例4.已知定点A(?2, 3), 点F为椭圆 ? ? 1的由右焦点, 16 12 点M 在椭圆上移动,求 | MA | ? | MF | 的最小值及相应 M 的坐标。 解:设椭圆的左焦点为F1 (?2,0)

l'
A?

y
?

l
M

由椭圆的定义得:
| MF |? 8? | MF1 |

? | MA | ? | MF |?| MA | ? | MF1 | ?8 ? || MA | ? | MF1 ||?| AF 1|
? ? | AF 1 |?| MA | ? | MF 1 |?| AF 1|

. F

1

O

F

.

x

?(| MA | ? | MF1 |)min ? ? | AF1 |? ? 3
?(| MA | ? | MF |) min ? 8 ? 3

此时M (?2,3)

例3.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且椭圆过(-2,-4) 点,求椭圆的标准方程。
解: ? 2a ? 2 ? 2b ? a ? 2b
2 y 当焦点在 x轴上时,设椭圆方程为 x 2 ? 2 ? 1 , 4b b ? 椭圆过点(?2 , ? 4) 2

2 y x ? ? 椭圆方程为 ? 1. 2 ? 4 2 ? 16 ? 1 , 2 ? b ? 17 , 68 17 4b b 2

? 椭圆过点(?2 , ? 4)

2 y 当焦点在 y轴上时,设椭圆方程为 x2 ? 2 ? 1 , b 4b 2
2

2 y 16 ? 1, ? b2 ? 8 , ? 椭圆方程为 x ? ? 1. ? 4 ? 2 2 8 32 b 4b

例4.椭圆的对称轴为坐标轴,若长、短轴 之和为18 ,焦距为 6 ,求椭圆方程 . ?2a ? 2b ? 18 ? ? 解:由题意知: ?2c ? 6 ?c2 ? a 2 ? b2 ?
故所求椭圆方程为

?a ? 5 ? ?b ? 4

x ? y ?1 25 16
2

2

y x 或 ? ? 1. 16 25
2

2

例4.已知椭圆焦点F1 (?4, 0), F2 (4, 0),过F2作垂直于x轴的直线与椭圆 的一个焦点为B,且 | F1 B | ? | F2 B |? 10, A( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 )是椭圆上不 同的两点,且 | F2 A |,| F2 B |,| F2C | 成等差数列, ( 1)求椭圆方程;(2)求弦AC的中点横坐标; (3)设AC的中垂线为y ? kx ? m,求m的范围。
y
A
F1 O
?

x y 解:设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) a b ? c ? 4, a ? 5 ? b ? 3 x2 y 2 ? 椭圆方程为: ? ?1 25 9

2

2

.

.B C
?

F2

x
25 4

x?

4 25 4 25 (2)由椭圆第二定义得:| F2 A |? ( ? x1 ), | F2C |? ( ? x2 ) 5 4 5 4

例4.已知椭圆焦点F1 (?4, 0), F2 (4, 0),过F2作垂直于x轴的直线与椭圆 的一个焦点为B,且 | F1 B | ? | F2 B |? 10, A( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 )是椭圆上不 同的两点,且 | F2 A |,| F2 B |,| F2C | 成等差数列, ( 1)求椭圆方程;(2)求弦AC的中点横坐标; (3)设AC的中垂线为y ? kx ? m,求m的范围。
4 25 4 25 (2) | F2 A |? ( ? x1 ), | F2C |? ( ? x2 ) 5 4 5 4 4 25 4 25 4 25 ? ( ? x1 ) ? ( ? x2 ) ? 2 ? ( ? 4) 5 4 5 4 5 4 16 x1 ? x2 16 ? AC 中点横坐标为 ? ? 5 2 5
16 16 (3)设AC 中点坐标为 ( , y0 ) 则y0 ? k ? m 5 5
F1 O

y
A
?

.

.B C
?

F2

x
25 4

x?

例4.已知椭圆焦点F1 (?4, 0), F2 (4, 0),过F2作垂直于x轴的直线与椭圆 的一个焦点为B,且 | F1 B | ? | F2 B |? 10, A( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 )是椭圆上不 同的两点,且 | F2 A |,| F2 B |,| F2C | 成等差数列, ( 1)求椭圆方程;(2)求弦AC的中点横坐标; (3)设AC的中垂线为y ? kx ? m,求m的范围。
16 16 (3)设AC 中点坐标为 ( , y0 ) 则y0 ? k ? m 5 5
F1 O

y
A
?

.

.B C
?

F2

x
25 4

? x12 y12 ?1 ? ? y1 ? y2 9 x1 ? x2 ? 25 9 由? 2 相减: ?? ? 2 x1 ? x2 25 y1 ? y2 ? x2 ? y2 ? 1 ? 125 y0 1 9 16 ? 25 9 ?k ? 即? ? ? ? 9 ?16 k 25 5 y0 16 125 y0 ? y0 ? ? ? m ? y0 ? ? 9 m 5 9 ?16 16

x?

例4.已知椭圆焦点F1 (?4, 0), F2 (4, 0),过F2作垂直于x轴的直线与椭圆 的一个焦点为B,且 | F1 B | ? | F2 B |? 10, A( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 )是椭圆上不 同的两点,且 | F2 A |,| F2 B |,| F2C | 成等差数列, ( 1)求椭圆方程;(2)求弦AC的中点横坐标; (3)设AC的中垂线为y ? kx ? m,求m的范围。
9 . O m F1 16 16 又 ? AC 中点( , y0 )在椭圆内 5 16 9 ( ) 2 (? m) 2 16 41 16 41 5 16 ?m? ? ? ?1 ? ? 25 25 25 9 ? y0 ? ?

y
A
?

.B C
?

F2

x
25 4

x?

1.椭圆的焦半径公式: ⑴ 对于焦点在x轴上的椭圆有 (左焦半径)r1=a+ex0 ,(右焦半径), r2=a-ex0 ⑵对于焦点在y轴上的椭圆有 (下焦半径)r1=a+ey0 ,(上焦半径), r2=a-ey0 简记为:左加右减,下加上减(上减下加)

2、椭圆的参数方程

? x ? a cos ? (? 为参数) ? ? y ? b sin ?

y

A B ?
O

M N x

注意:θ是∠NOA的角, 而不是∠NOM
a表示长半轴,b表示短半轴,

? 表示离心角,但不是OM 与
OX的正半轴所成的角。

x2 y2 ) x轴的正半轴交于 例3 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0 与 a b
A,O是原点,若椭圆上存在一点M,使MA⊥MO,求椭圆离心 率的取值范围

? ( a cos ? , b sin ? ) 解:A(a,0),设M点的坐标为 ( 0?? ? ) 2 b sin ? b sin ? 由 MA⊥MO得 ? ? ?1

a cos? ? a a cos?



b 2 cos? (1 ? cos? ) cos? 1 ? 1? ? ? ? 1? ? ? 0, ? 2 2 1 ? cos? 1 ? cos? ? 2 ? a sin ?

b2 ? 2 ? ? , 1 所以 e ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? a ? ?

x2 y 2 例4.求椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的内接矩形面积的最大值 . a b y

解:如图,设 A(a cos ? , b sin ? )

B O C

A x D

则由椭圆的对称性得: S矩形ABCD ? 4a cos? ? b sin ?
? 2absin 2?

? 当? ? 45? 时, (S矩形ABCD) max ? 2ab .

x2 y 2 例5.已知 P( x,y) 是椭圆 ? ? 1 上的点, 144 25 求 u ? x ? y 的取值范围 .
解:由已知可设 x ? 12cos? , y ? 5 sin ? .

则u ? x ? y ? 12cos? ? 5sin ?
? 13 (12 cos? ? 5 sin ? ) 13 13
? 13sin(? ? ? )

y
F1

? ? 13 ? u ? 13

o

F2

x

一、直线与椭圆的位置关系 :
x2 y2 直线和椭圆方程分别为 : Ax ? By ? C ? 0 , 2 ? 2 ? 1 a b

y

y

y
F2

F1

o

F2

x

F1

o

F2

x

F1

o

x

若二次方程的判别式为?,则

? Ax ? By ? C ? 0 ? 2 / 2 / / 2 则由? x ? a x ? b x ? c ?0 y ? 2 ? 2 ?1 b ?a

? ? 0 ? 直线和椭圆相交,有两 个公共点; ? ? 0 ? 直线和椭圆相切,有一 个公共点; ? ? 0 ? 直线和椭圆相离,无公 共点。

x2 y 2 例1.已知 P( x,y) 是椭圆 ? ? 1 上的点, 144 25 求 u ? x ? y 的取值范围 .

解:将y ? u ? x代入椭圆方程:
x (u ? x) ? ?1 144 25
2 2

y
F1

? 169 x2 ? 288ux ? 144u 2 ? 144 ? 25 ? 0

o

F2

x

由? ? (288u)2 ? 4 ?169 ? (144u2 ?144 ? 25) ? 0 ? 144u 2 ?169 ? (u 2 ? 25) ? 0
? u 2 ? 169

? ?13 ? u ? 13

? ?13 ? x ? y ? 13

例2.已知椭圆4 x 2 ? y 2 ? 1及直线y ? x ? m, ( 1)当直线与椭圆有公共点时,求m的范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。
解: (1)将y ? x ? m代入椭圆
y

1

4x 2 ? ( x ? m)2 ?1 ? 0

? 5x 2 ? 2mx? m2 ? 1 ? 0 ?直线与椭圆有公共点,
? ? ? 4m2 ? 20(m2 ?1) ? 0
5 5 ?? ?m? 2 2
所以当? 5 5 ?m? 时,直线与椭圆有公共 点 2 2

O

1 2

x

二、直线l : y ? kx ? b与曲线C : f ( x, y ) ? 0相交 所得的“弦长”公式 2 将y ? kx ? b代入椭圆的方程得:Ax ? Bx ? C ? 0
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
则 | AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

( y1 ? kx1 ? b, y2 ? kx2 ? b)

?| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2

? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ?

| A|

弦长公式

例2.已知椭圆4 x 2 ? y 2 ? 1及直线y ? x ? m, ( 1)当直线与椭圆有公共点时,求m的范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。
解: (2)将y ? x ? m代入椭圆
y

1
B

? 5x ? 2mx? m ? 1 ? 0
2 2

A
O
1 2

由弦长公式得:
| AB | ? 1 ? 12
?

x

4m2 ? 20(m2 ? 1) 5

2 2 5 ? 4m 2 5

2 10 ?当m ? 0时, | AB |max ? 5

此时,直线方程为 y?x

x2 y 2 例3.已知椭圆 ? ? 1的弦PQ被点M (4, 2)平分,求此弦所 36 9 y 在直线 方程. B
解:由题意知直线斜率 存在,设y ? 2 ? k ( x ? 4)
O

.M

A

x

? y ? 2 ? k ( x ? 4) ? 2 2 2 由? x 2 y 2 得(1 ? 4k ) x ? 16k (1 ? 2k ) x ? 4(2 ? 4k ) ? 36 ? 0. ?1 ? ? ? 36 9
?? ? 0 1 ? ? x ? x1 ? x2 ? ? 16k (1 ? 2k ) ? 4 解得, k ? ? . 2 2 ? M 2 2 ( 1 ? 4 k ) ? 1 所以所求直线方程为 : y ? 2 ? ? ( x ? 4)即x ? 2 y ? 8 ? 0 2

三.与弦中点有关的问题的解法:“设点平方差”
x2 y 2 例3.已知椭圆 ? ? 1的弦PQ被点M (4, 2)平分,求此弦所 36 9 在直线 方程. y

解:设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ),
? x12 ? ? ? 36 则? 2 ? x2 ? ? ? 36 y12 ?1 9 2 y2 ?1 9 [1] [2]

B
O

.M
A

x

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) 由 [1] ? [2] 得: ? ?0 36 9 y1 ? y2 9 x1 ? x2 1 2 ? xM 1 即 ?? ? ? k AB ? ? ? ?? . x1 ? x2 36 y1 ? y2 4 2 ? yM 2

四.与垂直有关的问题

x2 y 2 例4.已知椭圆 C 方程为: ? ? 1,试确定 m 的取值范围, 4 3 使得对于直线 l:y ? 4 x ? m,椭圆 C上有不同的两点关 于该 直线对称。
解:设 A、B 关于直线 l 对称,且直线 AB 交 l 于 M, 则由已知可设直线AB 方程为:y ? ? 1 x ? n 4 ? y ? 4x ? m ? 解方程组? 1 ? xm ? 4 (n ? m) y ?? x?n 17 ? 4 ?
?y ? ? 1 x ? n 4 ? 解方程组? 2 2 y x ? ? ?1 3 ?4

y
B

.

l
M

O

.A

x

2 2 消y ? ?? ? 13 x ? 8 nx ? 16 n ? 48 ? 0 ???

??[1]

2 2 消y ? ?? ? 13 x ? 8 nx ? 16 n ? 48 ? 0 ???

??[1]

x1 ? x2 4n ? xm ? ? ? 4 (n ? m) ? 4 n 2 13 17 13

? n ? ? 13 m 4

y
B

.

l
M

又 A、B 在椭圆上
? [1] 式的? ? 64n2 ? 4 ?13(16n2 ? 48) ? 0
即 4n2 ? 13
? 4(169 m2) ? 13 16

O

.A

x

? ? 2 13 ? m ? 2 13 13 13

x2 y 2 例4.已知椭圆 C 方程为: ? ? 1,试确定 m 的取值范围,使得对 4 3 于直线 l:y ? 4 x ? m,椭圆 C上有不同的两点关于该 直线对称。 解:设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ),AB 与 l 的交点 M ( x0,y0 ) y
x12 y12 则 ? ? 1??[1] 4 3
2 2 x2 y2 ? ? 1??[2] 4 3

B

.

l

M

3x y ?y 3 x ?x 1 由 [1] ? [2] 得:1 2 ? ? ? 1 2 ? ? 0 ? ? x1 ? x2 4 y1 ? y2 4 y0 4

O

.A

x

? y0 ? 3x0 ??[3]
又M ? l ? y0 ? 4x0 ? m??[4]
? M 在椭圆内

联立 [3][4] 解得 M (?m, ? 3m) ? A、B 在椭圆上
(?m)2 (?3m)2 ? ? ?1 4 3

解得 ? 2 13 ? m ? 2 13 . 13 13

书面作业
x2 y 2 1.已知椭圆方程为 2 ? 2 ? 1, 直线y ? ? x ? 1与椭圆交 4b b 于A, B,且OA ? OB, 求椭圆方程。

x y 2.椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,一弦 AB中点 a b 的横坐标为定值 m( AB 不与 x 轴垂直)求证: AB 的中垂线必过定点, 并求这个定点的坐标。

2

2

书面作业答案

x2 y 2 1.已知椭圆方程为 2 ? 2 ? 1, 直线y ? ? x ? 1与椭圆交 4b b y 于A, B,且OA ? OB, 求椭圆方程。
B
O

解:设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

则由OA ? OB得:x1 x2 ? y1 y2 ? 0
? y ? ?x ?1 2 2 2 由? 2 ? x ? 4 ( x ? 1 ) ? 4 b 2 2 x ? 4 y ? 4 b ?

A

x

8 ? x1 ? x2 ? ? ? ? 5 整理得: 5x 2 ? 8x ? 4 ? 4b2 ? 0 由韦达定理得? 2 4 ? 4 b ?x x ? 1 2 ? 5 ? 1 ? 4b 2 ? y1 y2 ? (? x1 ?1)(? x2 ?1) ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? 52 2 2 2 2 x 8 y 5 4 ? 4b 1 ? 4b ? 椭圆方程为 ? ?1 ? ? ? 0 ? b2 ? 5 5 8 5 5

x2 y 2 2.椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,一弦 AB中点的横坐标为定值 m a b ( AB 不与 x 轴垂直)求证:AB 的中垂线必过定点, 并求这个定点的坐标。

解:设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ),中点 M (m,y0 ) 2 2 x12 y12 x2 y2 则 2 ? 2 ? 1??[1] 2 ? 2 ? 1??[2] a b a b ( x ? x )( x ? x ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) 由 [1] ? [2] 得: 1 2 2 1 2 ? a b2 2 2 2 y1 ? y2 x1 ? x2 b b ? 2 m b 即 ?? 2? ?? 2 , ? k AB ? ? 2 m x1 ? x2 y1 ? y2 a y0 a a ? 2 y0 a 2 y0 ? AB 垂直平分线的斜率为 k ? 2 b m a2 y

则 AB 垂直平分线的方程为: y ? y0 ? 2 0 ( x ? m) , bm 2 2 2 a a b ? y0 ( 2 x ? 2 ? 1) ? y ? 0 ? x ? m (1 ? 2 ) ? e 2 m, y ? 0 bm b a

故 AB 的垂直平分线必过定点 (e2m, 0) .


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椭圆的基本性质与解题技巧

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