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甘肃省天水市秦安县第二中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文)试题


甘肃省天水市秦安县第二中学 2015-2016 学年第一学期期末考试 高二数学(文科)试题
满分:150 分 时间:120 分钟 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 1、 “2<x<3”是“x>0”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
2

) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

2、设命题 p : ?x ? R, x ? 1 ? 0 ,则 ?p 为(
2 A. ?x0 ? R, x0 ?1 ? 0 2 C. ?x0 ? R, x0 ?1 ? 0

2 B. ?x0 ? R, x0 ?1 ? 0 2 D. ?x0 ? R, x0 ?1 ? 0

3、抛物线 y ? ? A. x ?

1 2 x 的准线方程是( 8
B. y ? 2

) C. y ?

1 32

1 32

D. y ? ?2

x2 y2 ? ?1 4、椭圆 25 169 的焦点坐标是(
A.(±5,0) 5、双曲线 B.(0,±5)

) C.(0,±12) ) D.(±12,0)

x2 y2 ? ? 1 的焦距为( 10 2
B. 4 2

A. 2 2

C. 2 3

D. 4 3

6、设 f ( x) ? x ln x ,若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? (
2 A. e

) C.

B. e

7. 已知抛物线关于

y 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M ( x0 ,1) ,若点 M 到该
) D. 4 C. 3

ln 2 2

D. ln 2

抛物线的焦点距离为 3,则 OM ? ( A. 2 3 B. 2 2

8. 运行右图所示的程序框图,若输出结果为

13 ,则判断框中 7

应该填的条件是( A.k>5 C.k>7

). B.k>6 D.k>8

9. 直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 交于 E、F 两点,则 ? EOF(O 是原点)的面积 为( A. )

3 2

B.

3 4

C. 2 5

D.

6 5 5

10. 设有算法如图所示:如果输入 A=225,B=135, 则输出的结果是( ) A.90 B.45 C.2 D.0

11.我们知道,在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的 距离之和为定值 3 a ,类比上述结论,在棱长为 a 的
2

正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值,此定值为( A. 6 a
3

) D. a

B. 5 a
2

C. 2 2 a
3

2 2 12. 在区间 [1,5] 和 [2,4] 上分别任取一个数,记为 a , b ,则方程 x 2 ? y2 ? 1 表示焦点在 x 轴上 a b

且离 心率小于 3 的椭圆的概率为( 2 1 B . 15 A. 2 32 )

C . 17

32

D 31
32

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13. ABCD 是复平面内的平行四边形,A,B,C 三点对应的复数分别 是 1 ? 3i , ?i , 2 ? i ,则点 D 对应的复数为 14. 将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律, 第 n 行(n≥3)从右向左的第 3 个数为 15、命题“3mx +mx+1>0 恒成立”则实数 m 的取值范围为
2

;

xf ?( x) ? f ( x) ?0 (x x2 16、已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 0 , 2 等式 x f ( x) ? 0 的解集是 .

? 0) ,则不

三、解答题: (本大题共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 10 分) 哈尔滨市投资修建冰雪大世界,为了调查此次修建冰雪大世界能否收回成本,组委会成 立了一个调查小组对国内参观冰雪大世界的游客的消费指数(单位:百元)进行调查,在调查的 1000 位游客中有 100 位哈尔滨本地游客, 把哈尔滨本地游客记为 A 组, 内外地游客记为 B 组, 按分层抽样从这 1000 人中抽取 A,B 组人数如下表: A 组: 消费指数(百元) 人数 B 组: 消费指数(百元) 人数
[3,4) 9 [4,5) 36 [5,6) a [6,7) 54 [7,8] 9 [1,2) 3 [2,3) 4 [3,4) 6 [4,5) 5 [5,6) 2

(1)确定 a 的值,再分别在答题纸上完成 A 组与 B 组的频率分布直方图; (2)分别估计 A,B 两组游客消费指数的平均数,并估计被调查的 1000 名游客消费指数的平 均数.

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 E ? ABCD 中,平面 ABE ? 平面 ABCD ,侧面 ABE 是等腰直角三角形, EA ? EB ,底面 ABCD 是直角梯形,且 AB ∥ CD , AB ? BC , AB ? 2CD ? 2 BC ? 2 , (1)求证 AB ⊥ DE ; (2)求三棱锥 C ? BDE 的体积; (3)若点 F 是线段 EA 上一点,当 EC // 平面 FBD 时,求 EF 的长.

19.(本小题满分 12 分) 为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对 30 名六年级学生进行了问卷调查 得到如下列联表: 常喝 不常喝 合计 2 肥胖

不肥胖 合计

18 30

已知在全部 30 人中随机抽取 1 人,抽到肥胖的学生的概率为

4 . 15

(1)请将上面的列联表补充完整 (2)是否有 99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由 (3)4 名调查人员随机分成两组,每组 2 人,一组负责问卷调查,另一组负责数据处理. 求 工作人员甲分到负责收集数据组,工作人员乙分到负责数据处理组的概率. 参考数据: 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 k 2 n ( ad ? bc ) (参考公式: K 2 ? ) (a ? b)(c ? d )(a ? c )(b ? d )
P( K ? k )
2

0.15 2.072

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

20、 (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 3x .
3

? (Ⅰ)求 f ( 2) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间和极值.

21、 (本小题 12 分)已知抛物线 y =-x 与直线 l:y=k(x+1)相交于 A,B 两点. (1)求证:OA⊥OB; (2)当△OAB 的面积等于 10时,求 k 的值.

2

ax 3 ?

22、(本小题 12 分)已知函数 f(x)= (Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程;

3 2 x ? 1( x ? R ) 2 ,其中 a>0.

? 1 1? ? , ? ? 2 2 ? 上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围. ? (Ⅱ)若在区间

高二数学试题(文科)答案

一、选择题: ABBCD BCBDB AB 二、填空题: 13. 3 ? 5i 三、解答题: 17.解: (1) a ? 72 (2)A 组: B 组: 14.
n2 ? n ? 4 2

15. ?0,12?

16. (?1,0) ? (1,??)

3 3 5 4 7 6 9 5 11 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.45 2 20 2 20 2 20 2 20 2 20

7 9 9 36 11 72 13 54 15 9 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5.6 2 180 2 180 2 180 2 180 2 180 则 1000 名游客消费的平均数为 3.45 ? 0.1 ? 5.6 ? 0.9 ? 5.285
18.解: (1)证明:取 AB 中点 O ,连结 EO , DO . 因为 EB ? EA ,所以 EO ? AB . 因为四边形 ABCD 为直角梯形, AB ? 2CD ? 2 BC , AB ? BC , 所以四边形 OBCD 为正方形,所以 AB ? OD . 所以 AB ? 平面 EOD . 所以 AB ? ED .

(2)由 EO ? AB ,面 ABE ? 面 ABCD 易得 EO ? ABCD 所以, VC ? BDE ? VE ?CBD ?

1 1 ? (2 ? 1 ? 1) ? 1 ? 3 6

(3)解:连接 AC 、BD 交于点,面 AC E ? 面 FBD ? FM . 因为 EC // 平面 FBD ,所以 EC // FM . 在梯形 ABCD 中,有 ?DMC 与 ?BMA 相似,可得 MA ? 2MC,? AF ? 2FE 所以, EF ?

1 2 EA ? 3 3
x?3 4 ? ,x ?6 30 15
合计

19.解: (1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有 x 人, 常喝 不常喝

肥胖 不胖 合计

6 4 10

2 18 20

8 22 30

(2)由已知数据可求得: K 2 ?

30(6 ?18 ? 2 ? 4)2 ? 8.522 ? 7.879 10 ? 20 ? 8 ? 22

因此有 99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关。 (2)设其他工作人员为丙和丁,4 人分组的所有情况如下表 小组 收集数据 处理数据 1 甲乙 丙丁 2 甲丙 乙丁 3 甲丁 乙丙 4 乙丙 甲丁 5 乙丁 甲丙 6 丙丁 甲乙

分组的情况总有 6 中,工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据占两种, 所以工作人员甲负责收集数据且工作人员处理数据的概率是 P ? 20.(Ⅰ) f ?( x) ? 3x2 ? 3 ,所以 f ?(2) ? 9 . (Ⅱ) f ?( x) ? 3x2 ? 3 , 解 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? ?1 . 解 f ?( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? 1 . 所以 (??, ?1) , (1, ??) 为函数 f ( x) 的单调增区间, (?1,1) 为函数 f ( x) 的单调减区 1 1 . f ( x)极小值 ? f( 1 ) ? ?2 . f ( x)极大值 ? f (?1) ? 2 解得 k2=36,所以 k=± 6
2 ?y =-x 21.解: (1)证明: 联立? , 消去 x, 得 ky2+y-k=0.设 A(x1, y1), B(x2, y = k ? x + 1 ? ?

2 1 ? 。 6 3

1 2 2 y2),则 y1+y2=-k ,y1·y2=-1.因为 y1 =-x1,y2 2=-x2,所以(y1·y2) =x1·x2, → → 所以 x1·x2=1,所以 x1x2+y1y2=0,即OA·OB=0,所以 OA⊥OB. (2)设直线 l 与 x 轴的交点为 N,则 N 的坐标为(-1,0), 1 所以 S△AOB=2|ON|·|y1-y2| 1 =2×|ON|× ?y1+y2?2-4y1·y2 1 1 =2×1× k2+4= 10,

22.(Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=x3f′(x)=3x2-3x,f′(2)=6,

x2+1,f(2)=3;

所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-3=6(x-2),即 y=6x-9. (Ⅱ)f′(x)=3ax2-3x=3x(ax-1), 令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x= 以下分两种情况讨论: (1)若 0<a≤2,则 ,当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: ,

当 x∈

时,f(x)>0 等价于

,即



解不等式组得-5<a<5,因此 0<a≤2; (2)若 a>2,则 ,

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

当 x∈

时,f(x)>0 等价于

,即



解不等式组得



,因此 2<a<5;

综合(1)和(2),可知 a 的取值范围为 0<a<5.


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