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广东省广州市2016年高考备考冲刺阶段训练材料数学(理)试题(含详解)


2016 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料 (理科)
说明: 1.本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编 写,共 41 题,请各校教师根据本校学生的实际情况选择使用. 2.本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用,希望在 5 月 31 日之前完成. 3. 本训练题与市高三质量抽测、 一测、 二测等数学试题在内容上相互配套, 互为补

充. 四 套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法. 因此, 希望同学们在 5 月 31 日至 6 月 6 日之间, 安排一段时间,对这四套试题进行一次全面的回顾总结,同时,将高中数学课本中的基本知 识(如概念、定理、公式等)再复习一遍. 希望同学们保持良好的心态,在高考中稳定发挥,考取理想的成绩!

1.已知函数 f ( x) ? 2 3 sin( x ?

?

) cos( x ? ) ? sin 2 x ? a 的最大值为1 . 4 4

?

(Ⅰ)求常数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅲ)若将 f ( x) 的图象向左平移

? 个单位,得到函数 g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区间 6

[0, ] 上的最大值和最小值. 2

?

π 2.某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? ) 在某一个周期内的图象时, 2

列表并填入了部分数据,如下表:

?x ? ?
x

0

π 2 π 3

π

3π 2 5π 6



A sin(? x ? ? )

0

5

?5

0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动 ? (? ? 0) 个单位长度,得到 y ? g ( x ) 的图 象. 若 y ? g ( x ) 图象的一个对称中心为 (
5π , 0) ,求 ? 的最小值. 12

3.已知△ABC 中,内角 A,B,C 满足 (

3 sin B ? cos B)( 3 sin C ? cosC) ? 4 cos B cosC

(Ⅰ) 求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 sinB=psinC,且△ABC 是锐角三角形,求实数 p 的取值范围.

4.如图,某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线 段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin ? x(A>0,

? >0) x ? [0,4]的图象,且图象的最高点为
y 2 3 S M

S(3,2 3 );赛道的后一部分为折线段 MNP,为 保证参赛运动员的安全,限定 ? MNP=120 (I)求 A ,
o

?
O 3 4

N P 8 x

? 的值和 M,P 两点间的距离;

(II)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长?

5 . 在 ?ABC 中 , 点 M 是 BC 的 中 点 , ?AMC 的 三 边 长 是 连 续 的 三 个 正 整 数 , 且

1 . tan ?BAM (Ⅰ)判断 ?ABC 的形状; (Ⅱ)求 ?BAC 的余弦值. tan ?C ?

6. 如图,在平面直角坐标系中,锐角 ? 、 ? 的终边分别与单位圆交于 A , B 两点. 3 5 (Ⅰ)如果 tan ? ? , B 点的横坐标为 ,求 cos ?? ? ? ? 的值; 4 13 (Ⅱ)若角 ? ? ? 的终边与单位圆交于 C 点,设角 ? 、 ? 、

? ? ? 的正弦线分别为 MA、NB、PC,求证:线段 MA、NB、
PC 能构成一个三角形;
(III)探究第(Ⅱ) 小题中的三角形的外接圆面积是否为定值? 若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

7.等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2
an ?2

? n ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值.

8.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 ?1 ? q ? Sn ? qan ? 1,且 q ? q ?1? ? 0 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 S3 , S9 , S6 成等差数列,求证: a 2 , a8 , a5 成等差数列. 9.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 2Sn ? n ? n2 , n ? N? . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

?2an ,?????????????????????n ? 2 k ? 1, ? ? (Ⅱ)设 bn ? ? ( k ?N ) ,求数列 {bn } 的前 2 n 项和 T2 n . 2 , n ? 2 k . ? (1 ? a )(1 ? a ) n n?2 ?
10.已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn (n ? N ) ,且满足 an ? Sn ? 2n ? 1 .
*

(Ⅰ)求数列 {an} 的通项公式; (Ⅱ)求证:

1 1 1 1 ? 2 ??? n ? . 2a1a2 2 a2a3 2 an an?1 3

1 11.已知首项为 的等比数列{an}是递减数列,其前 n 项和为 Sn,且 S1+a1,S2+a2,S3+a3 2 成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; Tn+2 1 (Ⅱ)若 bn=an·log2 an ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求满足不等式 ≥ 的最大 n 值. n+2 16 12.已知 ?bn ?为单调递增的等差数列, b3 ? b8 ? 26, b5b6 ? 168,设数列 ?an ?满足

2a1 ? 22 a2 ? 23 a3 ? ? ? ? ? 2n an ? 2bn (Ⅰ)求数列 ?bn ?的通项 ;
(Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 。

13.有甲乙两个班进行数学考试,按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀统计成绩 后,得到如下列联表. 优秀 甲班 乙班 合计 10 30 105 非优秀 总计

已知在全部 105 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为

2 . 7

(Ⅰ)请完成上面的列联表; (Ⅱ)根据列联表的数据,若按 95﹪的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关” ; (Ⅲ) 若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人: 把甲班 10 名优秀的学生按 2 到 11 进行 编号,先后两次抛得一枚骰子,出现的点数之和为被抽取的序号.试求抽到 6 号或 10 号的 概率. 参考公式: P(K2≥k0) k0 0.10 2.706
2

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

n(ad-bc) 附:K2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

14. 已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件 产品,检测后不放回,直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结果. (Ⅰ)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用 100 元,设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位:元) ,求 X 的分布列和数学期望.

15.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中,各随机摸出 1 个球,在摸出 的 2 个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有 1 个红球,则获二等奖;若没有红球,则不 获奖. (Ⅰ)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率; (Ⅱ)若某顾客有 3 次抽奖机会,记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X ,求 X 的分 布列,数学期望及方差.

16.甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司底薪 70 元,每单抽成 2 元; 乙公司无底薪, 40 单以内(含 40 单)的部分每单抽成 4 元, 超出 40 单的部分每单抽成 6 元. 假 设同一公司送餐员一天的送餐单数相同, 现从两家公司各随机抽取一名送餐员, 并分别记录 其 100 天的送餐单数,得到如下频数表:

(Ⅰ)现从甲公司记录的这 100 天中随机抽取两天,求这两天送餐单数都大于 40 的概率; (Ⅱ)若将频率视为概率,回答以下问题: (ⅰ)记乙公司送餐员日工资为 X (单位:元),求 X 的分布列和数学期望; (ⅱ) 小明拟到甲、 乙两家公司中的一家应聘送餐员, 如果仅从日工资的角度考虑, 请利用所学的统计学知识为他作出选择,并说明理由.

17.从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如 下频率分布直方图:

(I)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x ,中位数和样本方差 s (同一组数据用该区 间的中点值作代表) ; (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (?, ? ) ,其
2

2

中 ? 近似为样本平均数 x , ? 近似为样本方差 s .
2
2

(i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ;

(ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于区 间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2. 若 Z ~ N (?, ? 2 ) ,则 P( ? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826, P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544.

18. 第 31 届夏季奥林匹克运动会将于 2016 年 8 月 5 日—21 日在巴西里约热内卢举行.下 表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据(单位:枚) . 第 30 届 伦敦 第 29 届 北京 第 28 届 雅典 32[ 中国 38 51 &k . Co m] 俄罗斯 24 23 27 32 26 来 28 16 第 27 届 悉尼 第 26 届 亚特兰大

源 :Z&xx

(Ⅰ) 根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图, 并通过茎 叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度 (不要求计算出具体数值, 给出结论 即可) ; (Ⅱ)甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多(假 设两国代表团获得的金牌数不会相等) ,规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个,已知 甲、乙猜中国代表团的概率都为

4 3 ,丙猜中国代表团的概率为 ,三人各自猜哪个代表团 5 5

的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次,设三人中猜中国代表团的人数为 X ,求 X 的 分布列及数学期望 EX . 中国 1 2 3 4 5 俄罗斯

19. 如图,五面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 为矩形,AB=6,AD=4.顶部线段 EF∥平面 ABCD,棱 EA=ED=FB=FC= 6 2 ,EF=2,二面角 F﹣BC﹣A 的余弦值为 (Ⅰ)在线段 BC 上是否存在一点 N,使 BC⊥平面 EFN; (Ⅱ)求平面 EFB 和平面 CFB 所成锐二面角的余弦值.

17 . 17

?C 中,???C ? 90 ,???C ? 60 ,?? ? 2 ,D 、? 分别为 ? C 、 20.如图 1,在 Rt ?? ?D 的中点,连接 ?? 并延长交 ? C 于 F ,将 ??? D 沿 ?D 折起,使平面 ??D ? 平面 ? CD ,如图 2 所示. (Ⅰ)求证: ?? ? 平面 ? CD ; (Ⅱ)求平面 ??F 与平面 ?DC 所成的锐二面角的余弦值; (Ⅲ)在线段 ? F 上是否存在点 ? 使得 ?? // 平面 ?DC ?若存在,请指出点 ? 的位置; 若不存在,说明理由.
? ?

21. 如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧面 ABB1 A 1 为矩形, AB ? BC ? 1, AA 1 ? 2, D 为

AA1 的中点, BD 与 AB1 交于点 O, BC ? AB1 .
(Ⅰ)证明: CD ? AB1 ; (Ⅱ)若 OC ? 值.

3 ,求二面角 A ? BC ? B1 的余弦 3

22. 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, PD⊥平面 ABCD, 四边形 ABCD 是菱形, AC=2, BD=2 E 是 PB 上任意一点. (Ⅰ)求证:AC⊥DE; (Ⅱ)已知二面角 A﹣PB﹣D 的正切值为



6 ,若 E 为 PB 3

的中点,求 EC 与平面 PAB 所成角的正弦值.

23.如图,四边形 PCBM 是直角梯形, ?PCB ? 90 , PM / / BC, PM ? 1, BC ? 2, 又
0

AC ? 1, ?ACB ? 120?, AB ? PC ,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60 ? .
(Ⅰ)求证: PC ? AC ; (Ⅱ)求二面角 M ? AC ? B 的余弦值; (Ⅲ)求点 B 到平面 MAC 的距离.

24.已知矩形 A1 ABB1 ,且 AB ? 2 AA1 , C1 , C 分别是 A1 B1 、 A B 的中点, D 为 C1C 中 点,将矩形 A1 ABB1 沿着直线 C1C 折成一个 60 的二面角,如图所示. (Ⅰ)求证: AB1 ⊥ A1D ; (Ⅱ)求 AB1 与平面 A1B1D 所成角的正弦值.
A A1

o

A C B

A1 D C1 B1

C

C1

B

B1

25. F 以抛物线 P : y 2 ? 4 x 的焦点 F 为圆心,且与抛物线 P 有且只有一个公共点. (I)求圆 F 的方程; (Ⅱ)过点 M (?1, 0) 作圆 F 的两条切线与抛物线 P 分别交于点 A, B 和 C , D ,求经过

A, B, C , D 四点的圆 E 的方程.

26.如图,已知圆 E : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 ,点 F ( 3,0) , P 是圆 E 上任意一点.线段 PF 的垂直平分线和半径 PE 相交于 Q . (Ⅰ)求动点 Q 的轨迹 ? 的方程; (Ⅱ) 已知 A, B, C 是轨迹 ? 的三个动点,A 与 B 关于原点对称, 且 | CA |?| CB | , 问△ ABC 的面积是否存在最小值?若存在,求出此时点 C 的坐标,若不存在,请说明理由.

27.已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为

的椭圆过点(



) .

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P,Q 两点,满足直线 OP,PQ,OQ 的斜率依 次成等比数列,求△ OPQ 面积的取值范围.

28.已知 A, B 的坐标分别为 (?2, 0) , (2, 0) .直线 AP, BP 相交于点 P ,且它们的斜率之 积为 ?

3 . 4

(Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设 Q 的坐标为 ?1,0 ? ,直线 AP 与直线 x ? 2 交于点 D ,当直线 AP 绕点 A 转动时,试 判断以 BD 为直径的圆与直线 PQ 的位置关系,并加以证明.

29.已知函数 f (x) =

ex . x 2-mx + 1

(Ⅰ)若 m∈(-2,2),求函数 y = f (x) 的单调区间; 1 (Ⅱ)若 m∈(0, ],则当 x∈[0,m + 1] 时,函数 y = f (x) 的图像是否总在直线 y = x 上方? 2 请写出判断过程.

30.已知函数 f (x) = x 2-ax(a≠0),g(x) = ln x,f (x) 图象与 x 轴异于原点的交点 M 处的切 线为 l1,g(x-1) 与 x 轴的交点 N 处的切线为 l2,并且 l1 与 l2 平行. (Ⅰ) 求 f (Ⅱ) 的值; (Ⅱ) 已知实数 t∈R,求 u = x ln x,x∈[1,e] 的取值范围及函数 y = f [xg(x) + t],x∈[1,e] 的 最小值; (Ⅲ) 令 F(x) = g(x) + g’(x),给定 x1、x2∈(1,+ ),x1 < x2,对于两个大于 1 的正数 、 , 存在实数 m 满足 = mx1 + (1-m) x2, = (1-m) x1 + mx2, 并且使得不等式 | F( )-F( ) | < | F(x1)-F(x2) | 恒成立,求实数 m 的取值范围.

31.设 f (x) =

sin x ? ,x∈[0, ] ex 2

(Ⅰ) 求 f (x) 的单调区间; (Ⅱ) 证明 f (x)≤x 恒成立; (Ⅲ) 设 x1、x2∈[0,

?
2

],p、q > 0,p + q = 1,求证: f (px1 + qx2)≥pf (x1) + qf (x2).

32.定义:若

f (x) 在 [k,+?) 上为增函数,则称 f (x) 为“k 次比增函数”,其中 k∈N *, xk

已知 f (x) = e ax.(其中 e = 2.71238 ?) (Ⅰ) 若 f (x) 是“1 次比增函数”,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 当 a = (Ⅲ) 求证: 1 f (x) 时,求函数 g(x) = 在 [m,m + 1](m > 0)上的最小值; 2 x 1 1 1 1 7 + 2 + 3 + ? + n < 2e . e 2( e) 3( e) n( e)

33.设函数 f (x) = x 2-(a-2) x-a ln x. (Ⅰ) 求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ) 若函数 f (x) 有两个零点,求满足条件的最小正整数 a 的值; x1 + x2 (Ⅲ) 若方程 f (x) = c 有两个不相等的实数根 x1、x2,求证:f’( ) > 0. 2

34.已知函数 f (x) = ln x-

m 2 x + x(m∈R) 2

1 (Ⅰ) 当 m > 0 时,若 f (x)≤mx- 恒成立,求 m 的取值范围; 2 (Ⅱ) 当 m = -1 时,若 f (x1) + f (x2) = 0,求证:x1 + x2≥ 3 -1.

35.如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC= ED. (I)证明:CD∥AB; (II)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B,G,F 四点共圆.

36.如图, AB 是圆 O 的直径,弦 CD ? AB 于点 M , E 是 CD 延长线上一点, AB ? 10 ,

CD ? 8 , 3ED ? 4OM , EF 切圆 O 于 F , BF 交 CD 于 G .
(Ⅰ)求证: ?EFG 为等腰三角形; (Ⅱ)求线段 MG 的长.

37.如图所示,已知圆 O 外有一点 P ,作圆 O 的切线 PM , M 为切点,过 PM 的中点 N , 作割线 NAB ,交圆于 A 、 B 两点,连接 PA 并延长,交圆 O 于点 C ,连接 PB 交圆 O 于点

D ,若 MC ? BC .
(Ⅰ)求证: ?APM ∽ ?ABP ; (Ⅱ)求证:四边形 PMCD 是平行四边形.

38. 已知曲线 C 的极坐标方程式 ? ? 2cos ? , 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 轴

? 3 x? t?m ? ? 2 的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 L 的参数方程是 ? , ( t 为参数) . ?y ? 1 t ? ? 2
(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 L 的普通方程; (Ⅱ)设点 P(m,0) ,若直线 L 与曲线 C 交于两点 A, B ,且 | PA | ? | PB |? 1,求实数 m 的 值.

39.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐 标方程为 ? ? 2cos ? , ? ? [0, (Ⅰ)求 C 的参数方程. (Ⅱ)设点 D 在 C 上, C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到 的参数方程,确定 D 的坐标.

?
2

].

40.已知 a , b ? R , f ( x) ? x ? 2 ? x ?1 . (Ⅰ)若 f ( x) ? 0 ,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ)对 ?b ? R ,若 a ? b ? a ? b ? f ( x) 恒成立,求 a 的取值范围.

41.设 f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ?m . (Ⅰ)当 m ? 5 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若 f ( x ) ?

3 对任意 x ? R 恒成立,求实数 m 的取值范围. 2

2016 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科(理科)训练材料参考答案
1.解: (Ⅰ)? f ? x ? ? 3 sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? sin 2 x ? a ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? a 2?

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? a ? 1 3? ?
(Ⅱ)由 ?

? 2 ? a ? 1 ,? a ? ?1
?

?

?

5? ? ? ? 5? ? ? k? ? x ? ? k? ,所以函数的单调递增区间 ?? ? k? , ? k? ?, k ? Z 12 12 12 12 ? ?

2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?
2

? 2k? ,解得

(Ⅲ)? 将 f ? x ? 的图象向左平移

个单位,得到函数 g ? x ? 的图象, 6 ? ? ?? ?? ?? 2? ? ? ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? ? 2 sin ?2? x ? ? ? ? ? 1 ? 2 sin ? 2 x ? ? ?1 6? 6 ? 3? 3 ? ? ? ? ? 2? ? 2? 5? ? ? ?? ? x ? ?0, ?,? 2 x ? ? , 3 ? ? 2? ? 3 3 ? ? 2? ? 3 2? 2? ? 时, sin ? 2 x ? , g ? x ? 取最大值 3 ? 1 ? ?当 2x ? ?? 3 3 3 ? 2 ? 2? 3? 2? ? ? 当 2x ? 时, sin ? 2 x ? ? ? ? ?1 , g ? x ? 取最小值-3. 3 2 3 ? ?

?

π 2.解: (Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? . 6

数据补全如下表:

?x ? ?
x

0
π 12

π 2 π 3

π

3π 2 5π 6


13 π 12

7π 12

A sin(? x ? ? )

0

5

0

?5

0

π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) . 6 π π (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ,得 g ( x) ? 5sin(2 x ? 2? ? ) . 6 6

因为 y ? sin x 的对称中心为 ( kπ , 0) , k ? Z . 令 2 x ? 2? ?
π kπ π ? kπ ,解得 x ? ? ? ? , k ?Z . 6 2 12
5π kπ π 5π , , 0) 成中心对称,令 ? ?? ? 12 2 12 12

由于函数 y ? g ( x ) 的图象关于点 ( 解得 ? ?

π kπ π ? , k ? Z . 由 ? ? 0 可知,当 k ? 1时, ? 取得最小值 . 6 2 3

3.解: (Ⅰ) 由 ( 3 sin B ? cos B)( 3 sin C ? cosC) ? 4 cos B cosC 得

3sin B sin C ? cos B cosC ? 3 sin B cosC ? 3 sin C cos B ? 4 cos B cosC

? 3 sin(B ? c) ? 3 cos(B ? C) ,则 tan(B ? C) ? ? 3 即 tan A ? 3
Q A ? (0, ? ) ? A ?
(Ⅱ) p ?

?
3

sin B sin(120o ? C ) 3 1 ? ? ? sin C sin C 2 tanC 2

∵△ABC 为锐角三角形,且 A ?

?
3



?
6

?C?

?
2

? tanC ? (

1 3 ,??) ? ? p ? 2 2 3
T 2? ? ,? ? ? 。 ? 3 ,又 T ? 4 ? 6

4.解: (Ⅰ)依题意,有 A ? 2 3 ,
? y ? 2 3 sin

?
6

x

当 x ? 4 时,? y ? 2 3 sin

2? ? 3 ? M (4, 3) 3

又 P(8,0) ? MP ? 42 ? 32 ? 5 (Ⅱ)在△MNP 中∠MNP=120°,MP=5,设∠PMN= ? ,则 0°< ? <60° 由正弦定理得
MP NP MN 10 3 10 3 ? ? sin(600 ? ? ) ? NP ? sin ? ,? MN ? 3 3 sin 1200 sin ? sin(60 0 ? ? )

故 NP ? MN ?

10 3 10 3 10 3 sin ? ? sin(60o ? ? ) ? sin(60o ? ? ) 3 3 3

? 0°< ? <60°,? 当 ? =30°时,折线段赛道 MNP 最长;亦即,将∠PMN 设计为 30°时,

折线段道 MNP 最长 5.解:设 ?BAM ? ? , ?MAC ? ? , 则由 tan ?C ? 则 C ? ? ? 90 ? ? ? B ? 90? ?ABM 中,由正弦定理得
o

1 tan ?BAM

得 cos(C ? ? ) ? 0 ,

BM AM sin B AM sin C AM ? ,即 ? . 同理得 ? , sin ? sin B sin ? MB sin ? MC sin B sin C ? , ? sin ? sin C ? sin ? sin B ? MB ? MC, ? sin ? sin ? ?? ? C ? 90?, ? ? B ? 90?, ? sin ? cos? ? sin ? cos ? 即 sin 2? ? sin 2? , ?? ? ?或? ? ? ? 90? 1 0 当 ? ? ? ? 90 时, AM ? BC ? MC , 与 ?AMC 的三边长是连续三个正整数矛盾, 2 ?? ? ? ,? ?B ? ?C ,? ?ABC 是等腰三角形。

M C 为直角三角形, (II) 由 (Ⅰ) 得? ? ? , 则 ?A 设两直角边分别为 n, n ? 1, 斜边为n ? 1,
由 (n ? 1) 2 ? n 2 ? (n ? 1) 2 得 n=4 或 0(舍) 得△AMC 三边长分别为 3、4、5 故 cos ? = 4 3 或 cos ? = 5 5 4 2 7 ) -1 = 5 25

所以 cos∠BAC = cos 2? = 2 cos 2?-1 = 2×( 或 cos∠BAC = 2×( 3 2 7 ) -1 = - 5 25

6.解: (Ⅰ)已知 ? 是锐角,由 tan ? ? 锐角,所以 sin ? ?
12 . 13

3 3 4 5 ,得 sin ? ? , 又 cos ? ? ,且 ? 是 cos? ? , 5 5 13 4

4 5 3 12 16 所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ? . 5 13 5 13 65

(Ⅱ)证明:依题意得, MA ? sin ? , NB ? sin ? , PC ? sin(? ? ? )
? ?? 因为 ?,? ? ? 0, ? ,所以 cos ? ? (0,1) , cos ? ? (0,1) ,于是有 ? 2?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin ? ? sin ?

,①

又∵ ? +? ? ? 0, ? ? ,??1 ? cos(? +? ) ? 1 ,
sin ? ? sin((? ? ? ) ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? cos ? ? cos(? ? ? ) ? sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin ? ,②

同理, sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin ? ,③ 由①,②,③可得,线段 MA、NB、PC 能构成一个三角形. (III)第(Ⅱ)小题中的三角形的外接圆面积是定值,且定值为

? . 4

sin ?、 sin ?? ? ? ? ,其中角 A? 、 B? 、 C ? 的对边分别为 不妨设 ?A?B ?C ? 的边长分别为 sin ?、

sin ?? ? ? ?、 sin ?、 sin ? .则由余弦定理,得:

cos A? ?

sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 (? ? ? ) 2sin ? ? sin ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? cos2 ? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? cos ? sin ? 2sin ? ? sin ?

? ?

sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? cos ? sin ? 2sin ? ? sin ?

? sin ? ? sin ? ? cos ? cos ? ? ? cos(? ? ? )
? ?? 因为 ?,? ? ? 0, ? ,所以 ? ? ? ? (0, ? ) ,所以 sin A? ? sin(? ? ? ) , ? 2?

设 ?A?B ?C ? 的外接圆半径为 R, 由正弦定理, 得 2R ?

B ?C ? sin(? ? ? ) 1 ? ? 1, ∴R ? , sin A? sin(? ? ? ) 2

所以 ?A?B ?C ? 的外接圆的面积为

? . 4

7.解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d. 由已知得 ?

? ?a1 ? 3 ?a1 ? d ? 4 ,解得 ? . a ? 3 d ? a ? 6 d ? 15 d ? 1 ? ? ? ? ? 1 1 ? ?

所以 an=a1+(n-1)d=n+2. . n (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 bn=2 +n,所以 b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10) =(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10) 2(1-210) (1+10)× 10 = + 2 1-2 =(211-2)+55 =211+53=2 101. 8.解: (Ⅰ)当 n=1 时,由(1-q)S1+qa1=1,得 a1=1. 当 n≥2 时,由(1-q)Sn+qan=1,得(1-q)Sn-1+qan-1=1, 两式相减得 an=qan-1,即

an ?q, an ?1

又 q (q-1) ≠ 0,所以 q ≠ 0,且 q ≠ 1, - 所以{an}是以 1 为首项,q 为公比的等比数列,故 an=qn 1. 1-anq 1-a3q 1-a6q 2(1-a9q) (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 Sn= ,又 S3+S6=2S9,得 + = , 1-q 1-q 1-q 1- q 化简得 a3+a6=2a9,两边同除以 q 得 a2+a5=2a8. 故 a2,a8,a5 成等差数列. 9.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时,由 2S1 ? 1 ? 12 ,得 a1 ? 0 . 当 n ? 2 时, 2an ? 2Sn ? 2Sn?1 ? n ? n2 ? [(n ?1) ? (n ?1)2 ] ? 2 ? 2n , , an ? 1 ? n ( n ? 2 ) ∵ a1 ? 0 ? 1 ? 1 ,∴ an ? 1 ? n . 2 2 1 1 (Ⅱ)∵ ? ? ? , (1 ? an )(1 ? an? 2 ) n(n ? 2) n n ? 2 ∴ T2n ? (b1 ? b3 ? ? ? b2n?1 ) ? (b2 ? b4 ? ? ? b2n ) 1 1 1 1 1 1 ? (20 ? 2?2 ? ? ? 22? 2 n ) ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 4 4 6 2n 2n ? 2 1 1 ? ( )n 4 ? 1 ? 1 ? 11 ? 4 ? ( 1 ) n ? 1 . ? 1 2n ? 2 2 2n ? 2 6 3 4 1? 4 3 10.解: (Ⅰ)∵ an ? Sn ? 2n ? 1 ,令 n ? 1 ,得 2a1 ? 3 , a1 ? . 2 * ∵ an ? Sn ? 2n ? 1 ,∴ an?1 ? Sn?1 ? 2(n ?1) ? 1 , (n ? 2, n ? N ) 1 两式相减,得 2an ? an?1 ? 2 ,整理 an ? an?1 ? 1 2

an ? 2 ?

1 (an?1 ? 2 , ) (n ? 2) 2
1 1 ,公比为 的等比数列 2 2

∴数列 {an ? 2} 是首项为 a1 ? 2 ? ?
n ∴ an ? 2 ? ?( ) ,∴ an ? 2 ?

1 2

1 . 2n

(Ⅱ)∵

1 2n?1 1 1 ? ? n?1 ? n?2 n ?1 n? 2 n?1 n?2 2 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1 2n ? ? n?1 2n 2 1 1 1 ? ? 2 ??? n 2a1a 2 2 a a 2an an? 1 2 3 1 1 1 1 1 1 ?( 2 ? 3 )? ( 3 ? 4 ? ) ?? ( ? n? 2 ) n? 1 2 ? 1 2? 1 2 ? 1 ? 2 1 ? 2 1 ?2 1 1 1 1 ? ? n?2 ? . 3 2 ? 1 3 1 ? n 2 an an?1

1 11.解: (Ⅰ)设等比数列{an}的公比为 q,由题知 a1= , 2 ∵S1+a1,S2+a2,S3+a3 成等差数列,∴2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3, 变形得 S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3,即 3a2=a1+2a3, 3 1 1 1 ∴ q= +q2,解得 q=1 或 q= ,又{an}为递减数列,于是 q= , 2 2 2 2 ∴an=a1qn 1= ( )


1 2

n

(Ⅱ)∵bn=an· log2 an =-n· ( ) , ∴Tn=-[1 ? 1 T= 2 n

1 2

n

1 1 2 1 n ?1 1 n +2 ? ( ) + ? ? ( n ? 1) ? ( ) ? n ? ( ) ] 2 2 2 2 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 -[1 ? ( ) +2 ? ( ) + ? ? ( n ? 1) ? ( ) ? n ? ( ) ] 2 2 2 2

两式相减得: 1 1 2 1 n 1 n ?1 1 T =-[ + ( ) + ? ? ( ) ? n ? ( ) ] 2 n 2 2 2 2

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 2 ? n ? ( ) n ?1 = (n ? 2) ? ( ) n ?1 ? 1 =- 2 1 2 2 1? 2 1 n ∴Tn= ( n ? 2) ? ( ) ? 2 2 1 n 1 Tn+2 ∴ = ( ) ≥ ,解得 n≤4, ∴n 的最大值为 4. 16 n+2 2 12.解: (Ⅰ) 解法 1: 设 ?bn ?的公差为 d , ? ?bn ?为单调递增的等差数列 ? d ? 0 且 b6 ? b5
由?

?b5 ? 12 ?b3 ? b8 ? 26 ?b5 ? b6 ? 26 得? 解得 ? ?b6 ? 14 ?b5b6 ? 168 ?b5b6 ? 168

? d ? b6 ? b5 ? 2

bn ? b5 ? (n ? 5)d ? 12 ? 2(n ? 5) ? 2n ? 2 ? bn ? 2n ? 2 解法 2:设 ?bn ?的公差为 d , ? ?bn ?为单调递增的等差数列 ? d ? 0
由?

?b3 ? b8 ? 26 ? ?b1 ? 4 ?2b1 ? 9d ? 26 得? 解得 ? ? ?d ? 2 ?b5b6 ? 168 ?? b1 ? 4d ?? b1 ? 5d ? ? 168
bn

? bn ? b1 ? (n ?1)d ? 4 ? 2(n ?1) ? 2n ? 2 ? bn ? 2n ? 2
(Ⅱ) 2

? 22 n ? 2 ? 4n ?1 b 由 2a1 ? 22 a2 ? 23 a3 ???? ? 2n?1 an?1 ? 2n an ? 2 n ??? ①
得 2a1 ? 22 a2 ? 23 a3 ????? 2n?1 an?1 ? 2 n?1 ????????? ②
b

① -②得 2n an ? 4n ?1 ? 4n ? 3 ? 4n , n ? 2 ? an ? 3 ? 2n n ? 2 , 又? a1 ?

?8 b1 ? 8 不符合上式 ? an ? ? n 2 ?3 ? 2

n ?1 n?2
22 1 ? 2n ?1 ? 3 ? 2n ?1 ? 4 1? 2

当 n ? 2 时, Sn ? 8 ? 3 ? 22 ? 23 ? ? ? ? ? 2n ? 8 ? 3 ?

?

?

?

?

? S1 ? 8 符合上式

? Sn ? 3 ? 2n ?1 ? 4 , n ? N *

13.解: (Ⅰ)列联表如下: 优秀 非 优 秀 甲班 乙班 合计 10 20 30 45 30 75 55 50 105 总计

(2)根据列联表的数据,得到

k2 ?

105? (10? 30 ? 20? 45) 2 ? 6.109 ? 3.841 55? 50? 30? 75

因此有 95﹪的把握认为“成绩与班级有关” . (3)设 “抽到 6 或 10 号” 为事件 A, 先后两次抛掷一枚均匀的骰子, 出现的点数为 (x, y) , 所有的基本事件有 36 个,事件 A 包含的基本事件有: (1,5) 、 (2,4) 、 (3,3) 、 (4,2) 、 (5,1) 、 (4,6) 、 (5,5) 、 (6,4)共 8 个,? P ( A) ?

8 2 ? . 36 9

14.解: (Ⅰ)记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A .

P( A) ?

1 1 A2 A3 3 ? . A52 10

(Ⅱ) X 的可能取值为 200,300, 400 .

P( X ? 200) ?

2 A2 1 ? . 2 A5 10

P( X ? 3 0 0? )

3 1 1 2 A3 ?C 2 CA 3 3 2 ? . 3 A5 10

P( X ? 400) ? 1 ? P( X ? 200) ? P( X ? 300) ? 1 ?
故 X 的分布列为

1 3 6 ? ? . 10 10 10

X P
EX ? 200 ?

200

300

400

1 10

3 10

6 10

1 3 6 ? 300 ? ? 400 ? ? 350 . 10 10 10

15.解: (Ⅰ)记事件 A1 ? {从甲箱中摸出的 1 个球是红球} , A2 ? {从乙箱中摸出的 1 个 球是红球} , , B2 ? {顾客抽奖 1 次获二等奖} , B1 ? {顾客抽奖 1 次获一等奖} ,由题意, A1 与 A2 相互独立, A1 A2 与 A1 A2 互斥, B1 与 B2 互 C ? {顾客抽奖 1 次能获奖} 斥,且 B1 ? A1 A2 , B2 ? A1 A2 ? A1 A2 , C ? B1 ? B2 , ∵ P ( A1 ) ?

4 2 5 1 ? , P( A2 ) ? ? , 10 5 10 2 2 1 1 2 1 2 1 1 ? ? , P( B2 ) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? , 5 2 5 5 2 5 2 2 1 1 7 ? ? ; 5 2 10
1 , 5

∴ P ( B1 ) ? P ( A1 A2 ) ? P ( A1 ) P ( A2 ) ?

故所求概率为 P (C ) ? P ( B1 ? B2 ) ? P ( B1 ) ? P ( B2 ) ?

(Ⅱ)顾客抽奖 3 次独立重复试验,由(I)知,顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 所以 X ~ B (3, ) . 于是

1 5

64 1 4 , 125 5 5 12 2 1 2 4 1 P(X=2)= C3 ( ) ( ) = , 5 5 125
0 0 3 P(X=0)= C3 ( ) ( ) =

48 1 4 , 125 5 5 1 3 1 3 4 0 P(X=3)= C3 ( ) ( ) = 125 5 5
1 1 2 P(X=1)= C3 ( ) ( ) =

故 X 的分布列为 X P 0 1 2 3

64 125

48 125

12 125

1 125

1 12 1 3 1 ? X 的数学期望为 E(X)=3 ? = ,X 的方差为 D(X)=3 ? ? (1 ? ) ? . 5 5 5 5 25
16.解: (Ⅰ) 记“抽取的两天送餐单数都大于 40”为事件 M ,则 P( M ) ? (Ⅱ) (ⅰ)设乙公司送餐员送餐单数为 a ,则 当 a ? 38 时, X ? 38 ? 4 ? 152 ; 当 a ? 39 时, X ? 39 ? 4 ? 156 ; 当 a ? 40 时, X ? 40 ? 4 ? 160 ;当 a ? 41 时, X ? 40 ? 4 ? 1? 6 ? 166 ; 当 a ? 42 时, X ? 40 ? 4 ? 2 ? 6 ? 172 . 所以 X 的所有可能取值为 152,156,160,166,172. 故 X 的分布列为:
2 C20 19 . ? 2 C100 495

X

152

156

160

166

172

1 1 1 2 1 5 5 10 5 10 1 1 1 2 1 所以E ( X ) ? 152 ? ? 156 ? ? 160 ? ? 166 ? ? 172 ? ? 162 . 10 5 5 5 10

P

(ⅱ)依题意, 甲公司送餐员日平均送餐单数为

38 ? 0.2 ? 39 ? 0.4 ? 40 ? 0.2 ? 41? 0.1 ? 42 ? 0.1 ? 39.5 . 所以甲公司送餐员日平均工资为 70 ? 2 ? 39.5 ? 149 元.
由(ⅰ)得乙公司送餐员日平均工资为 162 元. 因为 149 ? 162 ,故推荐小明去乙公司应聘. 17.解:(Ⅰ)抽取产品的质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 分别为
2

x ? 170 ? 0.02 ? 180 ? 0.09 ? 190 ? 0.22 ? 200 ? 0.33
?210 ? 0.24 ? 220 ? 0.08 ? 230 ? 0.02 ? 200,

s2 ? (?30)2 ? 0.02 ? (?20)2 ? 0.09 ? (?10)2 ? 0.22 ? 0 ? 0.33 ? 102 ? 0.24 ? 202 ? 0.08 ? 302 ? 0.02 ? 150.
(Ⅱ) (i)由(I)知, Z ~ N (200,150) ,从而

P(187.8 ? Z ? 212.2) =P(200 ?12.2 ? Z ? 200 ? 12.2) ? 0.6826.
(ii)由(i)知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.6826, 依题意知 X ~ B(100,0.6826) ,所以 EX ? 100 ? 0.6826 ? 68.26.

18.解: (Ⅰ)两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下: 中国 6 8 2 8 1 2 3 4 1 5 4 2 3 7 6 俄罗斯

通过茎叶图可以看出, 中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌 数的平均值; 俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中,中国代表团获得的金牌数比较分散。 (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1, 2,3 ,设事件 A、B、C 分别表示甲、乙、丙猜中国代表团,则

4 3 2 P( X ? 0) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) ? 5 5 125 4 4 3 4 3 19 1 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) 2 ? ? P( X ? 1) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC) ? C2 5 5 5 5 5 125 4 2 3 4 4 3 56 1 ? ? (1 ? ) ? ? P( X ? 2) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC) ? ( ) ? (1 ? ) ? C2 5 5 5 5 5 125 4 3 48 P( X ? 3) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? ( ) 2 ? ? 5 5 125
故 X 的分布列为

X
P

0

1

2

3
48 125

2 19 56 125 125 125 2 19 56 48 11 EX ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 3? ? . 125 125 125 125 5
证明如下:∵EF∥平面 ABCD,且 EF ? 平面 EFAB, 又∵平面 ABCD∩平面 EFAB=AB, ∴EF∥AB(线面平行的性质定理). 又 M,N 是平行四形 ABCD 两边 AD,BC 的中点, ∴MN∥AB,∴EF∥MN,∴E,F,M,N 四点共面. ∵FB=FC,∴BC⊥FN,又∴BC⊥MN,

19.解:(Ⅰ)存在,点 N 为线段 BC 的中点,使 BC⊥平面 EFN.



,∴BC⊥平面 EFNM.

(Ⅱ)在平面 EFNM 内,过点 F 作 MN 的垂线,垂足为 H, 则由(Ⅰ)知:BC⊥平面 EFNM,则平面 ABCD⊥平面 EFNM, 所以 FH⊥平面 ABCD, 又因为 FN⊥BC,HN⊥BC,则二面角 F﹣BC﹣A 的平面角为∠FNH, 在 Rt△ FNB 和 Rt△ FNH 中,FN= HN=FN?cos∠FNH= =2.FH=8, = ,

过 H 作边 AB,CD 的垂线,垂足为 S,Q,连接 FN,FS,FQ, 以 H 为坐标原点,以 HS,HN,HF 方向为 x,y,z 轴正方向, 建立空间直角坐标系, 则 F(0,0,8),S(2,0,0),N(0,2,0),B(2,2,0), 则 =(﹣2,0,8), =(0,2,0), =(x,y,z),

设平面 ABEF 的一个法向量为



,取 z=1,得

=(4,0,1),

同理可求得设平面 BCF 的一个法向量为

=(0,4,1),

于是有

=

=

=



二面角 B﹣EF﹣C 的平面角余弦值为

1 . 17
0

20.解: (Ⅰ)? 在Rt ?ABC中?ABC ? 90 , D为AC的中点,

? BD=AD.

? ?BAC=600 , ??ABD为等边三角形.
? AE ? BD于E. ? E为BD的中点,

?面ABD ? 面BCD,且交于BD, 在△ABD 中,AE⊥BD ? AE ? 面BCD .
(Ⅱ) 由结论 AE⊥面 BCD,∴AE⊥EF, 由题意知 EF⊥BD,又 AE⊥BD, 如图,以 E 为坐标原点,分别以 EF、ED、EA 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间

直角坐标系. 由(II)可得 AB=BD=DC=AD=2,BE=ED=1. 在等边三角形 ABD 中,AE= 、BC= 、BF= ,

则 E(0,0,0)、D(0,1,0)、B(0,-1,0)、A(0,0,

)、F( ,0,0)、C(

,2,0),



=(

,1,0)、

=(0,1,-

). =(0,1,0),

易知平面 AEF 的一个法向量为

设平面 ADC 的法向量为 n=(x,y,z), 则 ,则 ,则 n=( ,-1).





∴平面 AEF 与平面 ADC 所成的锐二面角的余弦值为



(Ⅲ) 设

,其中

,

,

,其中







,得

,解得 ? ?

3 ? [0,1] 4

∴在线段 AF 上存在点 M,使 EM//平面 ADC,且 AM:AF=3:4. 21.解: (Ⅰ)在 Rt?ABB1与Rt?DBA中,

由AD=

2 6 BD AB 2 ,BD= ,AB1 = 3,得 = = , 2 2 AB1 BC 2

??ABB1 ∽ ?DBA ,??BB1A=?ABD.

由于 ?BB1A+?BAB1 =900 , ??ABD+?BAO=900 , 所以 BD ? AD . 又 BC ? AB1,BD ? BC=B,

?AB1 ? 平面BDC,CD ? 平面BDC, ?CD ? AB1.
(Ⅱ)由于 OC ?

3 ,BC=1 , 3

6 ,所以?BOC是直角三角形,BO ? CO. 3 由(Ⅰ)知 CO ? AB1,则CO ? 平面ABB1A1. 以 O 为原点,OA,OD,OC 所在直线分别为 x 在?ABD中可得OB ?
轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,

3 6 3 2 3 ,0,0), B(0, ? ,0), C (0,0, ), B1 ( ? ,0,0). 3 3 3 3 ??? ? ? ???? 6 3 ??? 3 6 2 3 6 BC ? (0, , ), AB ? ( ? ,? ,0), BB1 ? ( ? , ,0) 3 3 3 3 3 3 ?? ?? ? 设平面 ABC,平面 BCB1 的法向量分别为 n1 ? ( x1, y1, z1 ), n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,
则 A(

? ?? ? ??? BC ? n1 ? ? ? 则? ? ?? ? ??? AB ? n1 ? ? ?

6 y1 ? 3 3 x1 ? 3

3 z1 ? 0 ?? 3 ,? n1 ? ( 2, ?1, 2) . 6 y1 ? 0 3

? ?? ? ? ??? 6 3 BC ? n2 ? y2 ? z2 ? 0 ? ?? ? ? 3 3 ,? n2 ? (1, 2, ?2) . ? ?? ? 2 3 6 ? ???? BB1 ? n2 ? ? x2 ? y2 ? 0 ? 3 3 ?
?? ?? ? 2 70 ? cos ? n1 , n2 ?? ? . 35 ?二面角余弦值为 ? 2 70 . 35

22.解: (Ⅰ)∵PD⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD∴PD⊥AC 又∵ABCD 是菱形,∴BD⊥AC,BD∩PD=D, ∴AC⊥平面 PBD,∵DE?平面 PBD, ∴AC⊥DE. (Ⅱ)连接 OE,在△PBD 中,OE//PD,所以 OE⊥面 ABCD,分别以 OA,OB,OE 方向为 x, y,z 轴建立空间直角坐标系,设 PD=t,则

由(I)知:平面 PBD 的法向量为



令平面 PAB 的法向量为

,则根据





因为二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值为

,则

,即





.∴

设 EC 与平面 PAB 所成的角为 θ, ∵ ∴ , .

所以 EC 与平面 PAB 所成角的正弦值为

15 . 5

23.解: (Ⅰ)? PC ? BC, PC ? AB, AB ? BC ? B ,

? PC ? 平面 ABC ,? AC ? 平面 ABC ,? PC ? AC .
(Ⅱ)在平面 ABC 内,过点 C 作 BC 的垂线,并建立空间直角坐标系,如图所示

设 P ? 0, 0, z ? ? CP ? ? 0, 0, z ? , AM ? ? 0,1, z ? ? ?

??? ?

???? ?

? 3 1 ? ? 3 3 ? , ? , 0 ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 , 2,z? ? 2 ? ? ? ?

???? ? ??? ? ???? ? ????? ? AM ? CP z2 ? cos 60? ? cos? AM ? CP ? ? ???? ? ??? ? ? ,且 z ? 0 , AM ? CP 3 ? z2 ? z

?

???? ? ? 1 3 3 ? ? ? z ? 1? AM ? ? ? , ,1? ? ?. z2 ? 3 2 ? 2 2 ? ? 设平面 MAC 的一个法向量为 n ? ? x, y,1? , z

? 3 3 ? ???? ? x ? y ?1 ? 0 ? 3 ?? ? ? ? ? n ? AM ? 0 3 ? ? 2 ?x ? ? 2 ? , ? 1,1 则由 ? ? ??? ?? ?? ? ? 3 ,? n ? ? ? 3 ?, n ? CA ? 0 3 1 ? ? ? ? ? y ? ?1 ? x? y ?0 ? ? ? 2 2 ??? ? ? 平面 ABC 的一个法向量为 CP ? ? 0,0,1? , ? ??? ? ? ??? ? n ? CP 21 , cos? n, CP? ? ? ??? ? ? 7 n ? CP
显然,二面角 M ? AC ? B 为锐二面角, 所以二面角 M ? AC ? B 的余弦值为

21 . 7

??? ? ? ??? ? BC ? n 2 21 ? ? (Ⅲ) BC ? (0, ?2,0) ,点 B 到平面 MAC 的距离 d ? . 7 n

24.解: (Ⅰ)解法一:连结 AB 、 A1B1 , ∵ C1 , C 分别是矩形 A1 ABB 1 边 A1 B1 、 A B 的中点, ∴ AC ? CC1 , BC ? CC1 , AC ? BC ? C , ∴ CC1 ? 面ABC . ∴ ?ACB 为二面角 A ? CC1 ? A1 的平面角, 则 ?ACB ? 60
O



∴ ?ABC 为正三角形,即几何体 ABC ? A1 B1C1 是正三棱柱. ∴四边形 ABB 1A 1 为正方形,∴ AB 1 ? A 1B . 取 BC 中点 O ,连结 AO ,则 AO ? BC . ∵正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,平面 ABC ⊥平面 BCC1 B1 交于 BC,

∴ AO ⊥平面 BCC1 B1 , ∵ BD ? 平面 BCC1 B1 ,∴ AO ⊥ BD , 在正方形 BCC1 B1 中,∴ B1O ? BD , ∵ AO ? B1O ? O ,∴ BD ⊥面 AB1O ,∴ BD ⊥ AB1 . BD ? A1B ? B ∴ AB1 ⊥平面 AB1 D .∴ AB1 ⊥ A1D . (Ⅰ)解法二:连结 AB 、 A1B1 , ∵ C1 , C 分别是矩形 A1 ABB 1 边 A1 B1 、 A B 的中点, ∴ AC ? CC1 , BC ? CC1 , AC ? BC ? C ,∴ CC1 ? 面ABC ∴ ?ACB 为二面角 A ? CC ? ? A? 的平面角,则 ?ACB ? 60
O



∴ ?ABC 为正三角形,即几何体 ABC ? A1 B1C1 是正三棱柱. 取 BC 中点 O ,连结 AO 则 AO ? BC , ∵正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,平面 ABC ⊥平面 BCC1 B1 , ∴ AO ⊥平面 BCC1 B1 ,取 B1C1 中点 O1 ,以 O 为原点,OB , OO1, OA 的方向为 x, y, z 轴的正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 不 妨 设 AA 1 ? 2 , 则 B(1,0,0) ,

D(?1,1,0) , A(0,0, 3) , A1 (0,2, 3) , B1 (1,2,0)
则 AB1 ? (1,2 ? 3) , A 1D ? (?1, ?1, ? 3) , ∴

????

???? ?

???? ???? ? AB1 ? A1D ? (?1, ?1, ? 3) ? (1,2 ? 3) ? ?1 ? 2 ? 3 ? 0
, ∴ AB1 ? A 1D ∴ AB1 ⊥ A1D . (Ⅱ)解: 设平面 B1 A1 D 的法向量为 n ? ( x, y, z) ∵ A1 B1 ? (1,0,? 3) , A1 D ? (?1,?1,? 3) ∵ n ? A1 B1 , n ? A1 D

????

???? ?

∴?

? ?n. A1 B1 ? 0

? ? ? ?? x ? y ? 3z ? 0, ? x ? 3z ?n. A1 D ? 0 ? 令 z ? 1 得 n ? ( 3, ?2 3,1) 为平面 B1 A1 D 的一个法向量.
由(Ⅰ)得 AB1 ? (1,2, ? 3) ,设 AB1 与平面 A1B1D 所成角为 ? ,

,∵ ?

? ? x ? 3z ? 0,

∴?

? ? y ? ?2 3z,

????

???? n· AB1 ? = sin ? ? ???? |n|AB1|

3?4 3? 3 4 3 6 ? = . 2 2.4 8 2 4

所以 AB1 与平面 A1B1D 所成角的正弦值为

6 . 4

25.解: (Ⅰ)设圆 F 的方程为(x-1)2+y2=r2(r>0) . 将 y2=4x 代入圆方程,得(x+1)2=r2,所以 x=-1-r(舍去) ,或 x=-1+r. 圆与抛物线有且只有一个公共点,当且仅当-1+r=0,即 r=1. 故所求圆 F 的方程为(x-1)2+y2=1. (Ⅱ)设过点 M (-1,0)与圆 F 相切的斜率为正的一条切线的切点为 T. 连结 TF,则 TF⊥MT,且 TF=1,MF=2,所以∠TMF=30°. 直线 MT 的方程为 x= 3y-1,与 y2=4x 联立,得 y2-4 3y+4=0. 记直线与抛物线的两个交点为 A (x1,y1)、B (x2,y2),则 y1+y2=4 3,y1y2=4,x1+x2= 3(y1+y2)-2=10. 从而 AB 的垂直平分线的方程为 y-2 3=- 3(x-5). 令 y=0 得,x=7.由圆与抛物线的对称性可知圆 E 的圆心为 E (7,0). |AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2]= (1+3)[(y1+y2)2-4y1y2]=8 2. 又点 E 到直线 AB 的距离 d= 7-0+1 =4,所以圆 E 的半径 R= (4 2)2+42=4 3. 2

因此圆 E 的方程为(x-7)2+y2=48. 26.解: (Ⅰ)连接 QF ,根据题意, | QP |?| QF | , 则 | QE | ? | QF |?| QE | ? | QP |? 4 ?| EF |? 2 3 ,

故动点 Q 的轨迹 ? 是以 E , F 为焦点,长轴长为 4 的椭圆.

设其方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,可知 a ? 2 , c ? 3 ,则 b ? 1 , a 2 b2 x2 ? y 2 ? 1. 4

所以点 Q 的轨迹 ? 的方程为为

(Ⅱ)存在最小值. (ⅰ)当 AB 为长轴(或短轴)时,可知点 C 就是椭圆的上、下顶点(或左、右顶点) , 则 S△ ABC ?

1 ? | OC | ? | AB |? ab ? 2 . 2

(ⅱ)当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,设斜率为 k ,则直线 AB 的方程为 y ? kx ,设点

A( xA , yA ) ,
? x2 2 4 4k 2 ? ? y ?1 2 2 , y ? , 联立方程 ? 4 消去 y 得 xA ? A 2 2 1 ? 4 k 1 ? 4 k ? y ? kx ?
由 | CA |?| CB | ,知△ ABC 是等腰三角形, O 为 AB 的中点,则 OC ? AB ,可知直线 OC 的方程为 y ? ?

1 x, k
2

同理可得点 C 的坐标满足 xC ?

4k 2 4 2 , yC ? 2 , 2 k ?4 k ?4

4 4k 2 4(1 ? k 2 ) ? ? , 则 | OA | ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
2

| OC |2 ?

4k 2 4 4(1 ? k 2 ) ? ? , k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4
4(1 ? k 2 ) 4(1 ? k 2 ) 4(1 ? k 2 ) ?| OA | ? | OC |? ? ? . 1 ? 4k 2 k2 ? 4 (1 ? 4k 2 )(k 2 ? 4)

则 S△ABC ? 2S△OAC

由于 (1 ? 4k )(k ? 4)?
2 2

(1 ? 4k 2 ) ? (k 2 ? 4) 5(1 ? k 2 ) = , 2 2

所以 S△ABC ? 2S△OAC…

4(1 ? k 2 ) 8 ? ,当且仅当 1 ? 4k 2 ? k 2 ? 4 ,即 k 2 ? 1 时取等号. 2 5(1 ? k ) 5 2

综合(ⅰ) (ⅱ) ,当 k ? 1 时,△ ABC 的面积取最小值
2

8 , 5

此时 xC ?
2

4k 2 4 2 4 4 ? , yC ? 2 ? , 2 k ?4 5 k ?4 5

即 xC ? ?

2 5 2 5 , yC ? ? , 5 5

所以点 C 的坐标为

(

2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 , ),( ,? ),(? , ),(? ,? ) 5 5 5 5 5 5 5 5
(a>b>0) ,则

27.解: (Ⅰ)由题意可设椭圆方程为





所以,椭圆方程为



(Ⅱ)由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0, 故可设直线 l 的方程为 y=kx+m(m≠0) ,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,



消去 y 得

(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0, 则△ =64k2b2﹣16(1+4k2b2) (b2﹣1)=16(4k2﹣m2+1)>0, 且 , .

故 y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2. 因为直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列, 所以 =k2,



+m2=0,又 m≠0,

所以 k2= ,即 k=



由于直线 OP,OQ 的斜率存在,且△ >0,得 0<m2<2 且 m2≠1. 设 d 为点 O 到直线 l 的距离, 则 S△ OPQ= d|PQ|= |x1﹣x2||m|= 所以 S△ OPQ 的取值范围为(0,1) . 28.解: (Ⅰ)点 P 的坐标为 ? x, y ? , k AP ? 由题意可知 ,

y y , k BP ? , x?2 x?2

y y 3 ? ?? , x?2 x?2 4

化简得点 P 的轨迹方程为

x2 y 2 ? ? 1 , ? x ? ?2? . 4 3

(Ⅱ)以 BD 为直径的圆与直线 PQ 相切. 证明如下:由题意可设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 2) (k ? 0) . 则点 D 坐标为 (2, 4k ) , BD 中点 E 的坐标为 (2, 2k ) .

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ?12 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4
设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ?2 x0 ? 所以 x0 ?

16k 2 ? 12 . 3 ? 4k 2

12k 6 ? 8k 2 y ? k ( x ? 2) ? , . 0 0 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

因为点 Q 坐标为 (1, 0) , 当k ? ?

1 3 时,点 P 的坐标为 (1, ? ) ,点 D 的坐标为 (2, ? 2) 2 2

直线 PQ ? x 轴,此时以 BD 为直径的圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 与直线 PQ 相切. 当k ? ?

y0 4k 1 ? 时,则直线 PF 的斜率 k PF ? . x0 ? 1 1 ? 4k 2 2
4k ( x ? 1) . 1 ? 4k 2

所以直线 PQ 的方程为 y ?

点 E 到直线 PQ 的距离 d ?

8k 4k ? 2k ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 16k 2 ?1 (1 ? 4k 2 ) 2

2k ? 8k 3 1 ? 4k 2 ? ? 2|k | 1 ? 4k 2 |1 ? 4k 2 |
又因为 | BD |? 4 | k | ,所以 d ?

1 | BD | ,故以 BD 为直径的圆与直线 PQ 相切. 2

综上得,当直线 AP 绕点 A 转动时,以 BD 为直径的圆与直线 PQ 相切. e x(x 2-mx + 1-2x + m) e x(x-1)(x-m-1) = (x 2-mx + 1) 2 (x 2-mx + 1) 2

29.解: (Ⅰ)函数定义域为 R,f '(x) =

① 当 m + 1 = 1,即 m = 0 时,f '(x)≥0,此时 f (x) 在 R 上单调递增 ② 当 m + 1 > 1,即 0 < m < 2 时,x∈(-?,1) 时,f '(x) > 0,此时 f (x) 单调递增,x∈(1,m + 1) 时,f '(x) < 0,此时 f (x) 单调递减,x∈(m + 1,+?) 时,f '(x) > 0,此时 f (x) 单调递增. ③ 当 m + 1 < 1,即-2 < m < 0 时,x∈(-?,m + 1) 时,f '(x) > 0,此时 f (x) 单调递增,x∈ (m + 1,1) 时,f '(x) < 0,此时 f (x) 单调递减,x∈(1,+?) 时,f '(x) > 0,此时 f (x) 单调递增. 综上所述,① 当 m = 0 时,f (x) 在 R 上单调递增, ② 当 0 < m < 2 时,f (x) 在 (-?,1) 和 (m + 1,+?) 上单调递增,f (x) 在 (1,m + 1) 上单调 递减, ③ 当-2 < m < 0 时,f (x) 在 (-?,m + 1) 和 (1,+?) 上单调递增,f (x) 在 (m + 1,1) 上单 调递减 1 (Ⅱ) 当 m∈(0, ] 时,由(Ⅰ)知 f (x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1,m + 1) 上单调递 2 减. 令 g(x) = x. ① 当 x∈[0,1] 时,f (x)min = f (0) = 1,g(x)max = 1,所以函数 f (x) 图象在 g(x) 图象上方. ② 当 x∈[1,m + 1]时,函数 f (x) 单调递减,所以其最小值为 f (m + 1) = e m+1 ,g(x) 最大 m+2

值为 m + 1,所以下面判断 f (m + 1) 与 m + 1 的大小,即判断 e x 与 (1 + x) x 的大小, 3 其中 x = m + 1∈(1, ] 2 令 m(x) = e x-(1 + x) x,m '(x) = e x-2x-1,令 h(x) = m '(x),则 h '(x) = e x-2 3 因 x = m + 1∈(1, ],所以 h '(x) = e x-2 > 0,m '(x) 单调递增; 2 3 3 ' ' 3 ∴ m (Ⅰ) = e-3 < 0,m ( ) = e 2 -4 > 0 故存在 x0∈(1, ] 2 2 使得 m '(x0) = e x0-2x0-1 = 0 3 ∴ m(x)在 (1,x0) 上单调递减,在 (x0, ) 单调递增 2 ∴ m(x)≥m(x0) = e x0-x02-x0 = 2x0 + 1-x02-x0 = -x02 + x0 + 1 3 ∴ x0∈(1, ] 时,m(x0) = -x02 + x0 + 1 > 0 即 e x > (1 + x) x 也即 f (m + 1) > m + 1 2

所以函数 f (x) 的图象总在直线 y = x 上方. 30.解: (Ⅰ) f (x) 的图象与 x 轴异于原点的交点为 M(a,0),f ' (x) = 2x-a g(x-1) 的图象与 x 轴的交点 N(2,0),g’(x-1) = 由题意可得 kl1 = kl2,即 2a-a = 1,所以 a = 1 ∴ f (x) = x 2-x,f (Ⅱ) = 2 2-2 = 2 (Ⅱ)当 x [1,e] 时,u’(x) = ln x + 1 > 0 ∴ u(x) 在 [1,e] 上单调递增,所以 u(x)max = u(e) = e,u(x)min = u(Ⅰ) = 0, 即 u(x) 的取值范围是 [0,e] y = f [xg(x) + t] = [x ln (x + t)] 2-(x ln x + t) = (x ln x) 2 + (2t-1) (x ln x) + t 2-t 令 u = x ln x,在 x [1,e] 时,u’ = ln x + 1 > 0, ∴ u = x ln x 在 [1,e] 上单调递增,0≤u≤e, y = u 2 + (2t-1) u + t 2-t 图象的对称轴为 u = ①当 ②当 1-2t ,抛物线开口向上, 2 1 x-1

1-2t 1 ≤0 即 t≥ 时,ymin = y | u=0 = t 2-t, 2 2 1-2t 1-2e ≥e 即 t≤ 时,ymin = e 2 + (2t-1) e + t 2-t, 2 2 1-2t 1-2e 1 < e,即 < t < 时, 2 2 2 1-2t 2 1-2t 1 + t 2-t = - 1-2t = ( 2 ) + (2t-1)· 2 4 u= 2 x-1 1 1 1 ,F’(x) = - 2 = ≥0,x≥1, x x x x2

③当 0 < ymin = y |

(Ⅲ) F(x) = g(x) + g’(x) = ln x +

∴ F(x) 在区间 (1,+?) 上单调递增, 所以当 x≥1 时,F(x)≥F(Ⅰ) > 0. ①当 m ? (0,1) 时,有? = mx1 + (1-m) x2 > mx1 + (1-m) x1 = x1,? = mx1 + (1-m) x2 < mx2 + (1-m) x2 = x2,得 ? ? (x1,x2),同理 ? ? (x1,x2), 由 F(x) 的单调性知 0 < F(x1) < F(?) < F(x2),0 < F(x1) < F(?) < F(x2) ∴ | F(?)-F(?) | < | F(x1)-F(x2) |,符合题设. ② 当 m≤0 时, 有? = mx1 + (1-m) x2≥mx2 + (1-m) x2 = x2, ? = (1-m) x1 + mx2≤(1-m) x1 + mx1 = x1 由 F(x) 的单调性知 0 < F(?)≤F(x1) < F(x2)≤F(?) ∴ | F(?)-F(?) |≥| F(x1)-F(x2) |,与题设不符. ③当 m≥1 时,同理可得 ?≤x1,?≥x2,得 | F(?)-F(?) |≥| F(x1)-F(x2) |,与题设不符. 综上所述,得 m ? (0,1)

cos x-sin x 31.解: (Ⅰ) f’(x) = = ex

2cos (x + e
x

?
4

) ,

x∈(0,

?
4

) 时,f’(x) > 0;x∈(

? ?

, ) 时,f’(x) < 0. 4 2

∴ f (x) 的增区间为 (0,

?
4

),f (x) 的减区间为 ( 2cos (x +

? ?
)

, ). 4 2

?
4

(Ⅱ)设 g(x) = f (x)-x,则 g’(x) = -2sin (x + g”(x) = ex

ex

-1,

?
2

) =

-2cos x < 0, ex

∴ g’(x) 在 [0,

?
2

] 上递减,∴ g’(x)≤g’(0) = 0, ∴g(x)在 [0,

?
2

] 上递增,

sin x g(x)≤g(0) = 0, ∴ x -x≤0,即 f (x)≤x. e (Ⅲ)不妨设 0≤x1≤x2≤ 则 F(x) =

?
2

,构造函数 F(x) = f (px + qx2)-[pf (x) + qf (x2)] ,x∈ [0,x2]

sin (px + qx2) psin x sin x2 - x -q· , px + qx e 2 e e x2 p[cos (px + qx2)-sin (px + qx2)] p(cos x-sin x) F’(x) = - , ex e px+qx2 F”(x) = p 2[-2cos (px + qx2)] p(-2cos x) -2p[e xpcos (px + qx2)-e px+qx2 cos x] - = . ex e px+qx2 e xe px+qx2

∵ px + qx2-x = qx2-(1-p) x = q(x2-x)≥0, ∴ 2 ≥px + qx2≥x≥0,∴cos (px + qx2)≤cos x.

又 ∵0 < p < 1,∴0≤p cos (px + qx2) < cos x≤1. 又 0 < e x≤e px+qx2 , ∴ e x· p cos (px + qx2) < e px+qx2 cos x, ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ F”(x)≥0, ∴F’(x) 在 [0,x2] 上增, F’(x)≤F’(x2) = 0, F(x) 在 [0,x2] 上减,∴F(x)≥F(x2) = 0, f (px + qx2)≥pf (x) + qf (x2)?x∈[0,x2], f (px1 + qx2)≥pf (x1) + qf (x2). e ax 在 [1,+?)上为增函数, x

32.解: (Ⅰ) 由题知 y =

e ax(ax-1) e ax 1 故 ( )’= ≥0 在 [1,+?)上恒成立, 故 ax-1≥0 在 [1,+?)上恒成立, 即 a≥ x x2 x 在 x∈[1,+?)上恒成立,而 1 ≤1, ∴a≥1. x

x e2 1 f (x) (Ⅱ) 当 a = 时, g(x) = = , x > 2, 2 x x 当 x > 2 时, g’(x) > 0,即 g(x)在 [2,+?)上单调递增; 当 x < 2 且 x≠0 时, g’(x) < 0,即 g(x)在 (0,2),(-?,0)上单调递减; 又 m > 0, ∴m + 1 > 1, m e 2 故当 m≥2 时,g(x)在 [m,m + 1]上单调递增,此时 g(x)min = g(m) = ; m m+1 e 2 当 0 < m≤1 时, m + 1≤2, g(x)在 [m,m + 1]上单调递减, 此时 g(x)min = g(m + 1) = ; m+1 当 1 < m < 2 时, g(x)在 [m,2]上单调递减,在 [2,m + 1] 单调递增, 故此时 g(x)min = g(Ⅱ) = e ; 2

m+1 e 2 综上有:当 0 < m≤1 时, g(x)min = g(m + 1) = ; m+1 当 1 < m < 2 时, g(x)min = g(Ⅱ) = m e 2 当 m≥2 时, g(x)min = g(m) = . m (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 x > 0 时, g(x)在 (0,2)上单调递减,在 (2,+?)上单调递增, x e2 e e 故 g(x)≥g(Ⅱ) = ,即 ≥ , 2 x 2 故当 x > 0 时,总有 x 2 ≤ 成立, x e e2 e ; 2

取 x = n 时有 故 <

n 2 1 n 1 2 , n ≤e , n = 2 n ≤n 2 · e ( e) n( e) n ( e)

1 1 1 1 2 1 1 1 + 2 + 3 + ? + n ≤e (1 + 2 2 + 3 2 + ? + n 2 ) e 2( e) 3( e) n( e) 2 5 1 1 1 2 5 1 1 7 ( + + + ? + )= ( + - )< . e 4 e 4 2 n 2e 2×3 3×4 (n-1)n

2x 2-(a-2)x-a (2x-a)(x + 1) a 33.解: (Ⅰ) 由已知得,f’(x) = 2x-(a-2)- = = (x > 0) x x x 当 a≤0 时, f’(x) > 0,∴ 函数 f (x)的单调递增区间为 (0,+ ); 当 a > 0 时,由 f’(x) < 0,得 0 < x < a a ;由 f’(x) > 0,得 x > , 2 2

a a 函数 f (x)的单调递减区间为 (0, ),单调递增区间为 ( ,+ ). 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,若函数有两个零点,则 a > 0 且 f (x)的最小值 f ( 即-a 2 + 4a-4a ln a a < 0,∵ a > 0, ∴ a-4 + 4ln >0 2 2 a ,显然 h(a)在 (0,+ )为增函数, 2 3 81 -1 = ln -1 > 0 2 16

a ) < 0, 2

令 h(a) = a-4 + 4 ln

且 h(Ⅱ) =-2 < 0,h(Ⅲ) = 4ln

∴ 函数 h(a)在 (2,3)上存在一个零点 a0, 即 0 < a < a0 时 h(a) < 0; a > a0 时 h(a) > 0, ∴ 满足条件的最小正整数 a = 3, 又当 a = 3 时, f (Ⅲ) = 3(2-ln 3) > 0,f (Ⅰ) = 0, 综上所述,满足条件的最小正整数 a = 3. (Ⅲ) 证明:由(Ⅰ)知 若方程 f (x) = c 的两个不相等的实数根,则 a > 0, 不妨设 0 < x1 < x2,则 x12-(a-2) x1-a ln x1 = c,x22-(a-2) x2-a ln x2 = c,. 两式相减得 [x12-(a-2) x1-a ln x1]-[x22-(a-2) x2-a ln x2] = 0,, 即 x12 + 2x1-x2 2-2x2 = ax1 + a ln x1-a ln x2-ax2 = a(x1 + ln x1-x2-ln x2), ∴ a= x12 + 2x1-x22-2x2 x1 + ln x1-x2-ln x2

a a 又当 x ∈(0, )时, f’(x) < 0; 当 x ∈( ,+ )时, f’(x) > 0, 2 2 故只要证 x12 + 2x1-x22-2x2 x1 + x2 a > 即可,即证明 x1 + x2 > . 2 2 x1 + ln x1-x2-ln x2 1 2x1-2x2 x1 x1 < ;设 t = (0 < t < 1), x2 x1 + x2 x2

即证明 x12-x22 + (x1 + x2)· (ln x1-ln x2) < x12 + 2x1-x22-2x2, 即证明 ln

2t-2 令 g(t) = ln t- t+1 则 g’(t) = (t-1) 2 1 4 - ,∵t > 0,∴g(t)≥0. 2 = t (t + 1) t(t + 1) 2

∴ g(t) 在 (0,+ )上是增函数. 又 ∵g(Ⅰ) = 0,∴当 0 < t < 1 时, g(t) < 0 总成立. ∴ ln ∴ f’( x1 2x1-2x2 x1 + x2 a < 成立,即 > 成立, x2 x1 + x2 2 2 x1 + x2 ) > 0. 2

1 m 2 1 34.解: (Ⅰ) f (x)≤mx- ? x + (m-1)x-ln x≥ , 2 2 2 令 g(x) = m 2 x + (m-1)x-ln x, 2

(x + 1)(mx-1) 1 则 g’(x) = mx + (m-1)- = ( x> 0) x x

1 1 ∵ m > 0,令 g’(x) < 0,得 0< x< ,令 g’(x) > 0,得 x> m m 1 1 ∴ g(x) 在 (0, ) 上单减,在 ( ,+?) 上单增,故 g(x) 的最小值为 m m g( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) = 1- -ln ,由题知 1- -ln ≥ ,即 + ln ≤ , m 2m m 2m m 2 2m m 2 1 1 1 x + ln x,显然 h(x) 在 (0,+?) 上单增,又 h(Ⅰ) = ,故 h(x)≤ ? x≤1, 2 2 2

令 h(x) = ∴ 0<

1 ≤1,从而 m≥1 m 1 2 1 x + x1 + ln x2 + x22 + x2 = 0 2 1 2

∴ m 的取值范围是[1,+?). (Ⅱ) m = -1 时,f (x1) + f (x2) = 0 ? ln x1 + ? ln x1x2 +

1 1 (x1 + x2) 2 + (x1 + x2)-x1x2 = 0 ? (x1 + x2) 2 + (x1 + x2) = x1x2-ln x1x2 2 2

1 设 F(x) = x-ln x,则 F’(x) = 1- x ∴ F(x) 在 (0,1)上单减,在 (1,+?)上单增, ∴ F(x)≥F(Ⅰ) = 1,即 x1x2-ln x1x2≥ 1 ∴ 1 (x + x ) 2 + (x1 + x2)≥1,解得 x1 + x2≥ 3 -1 或 x1 + x2≤- 3 -1 2 1 2

又 x1 > 0,x2 > 0,故 x1 + x2≥ 3 -1 35.解: (I)证明: EA , EB 为圆的割线,所以 ED ? EA ? EC ? EB , 又 EC=ED, 所以 EA ? EB ,所以 ?EAB ? ?EBA , 又 A,B,C,D 四点共圆, 所以 ?EAB ? ?DCB ? 180 ,
?

所以 ?EBA ? ?DCB ? 180 ,
?

所以 CD∥AB; (II)证明:连接 FA,GB, 因为 EF=EG,所以 ?EFG ? ?EGF , 又 ?FDE ? ?ADC ? ?BCD ? ?GCE ,所以 ?FED ? ?GEC , 由(Ⅰ)知 EA ? EB ,所以 ?EAF ? ?EBG ,所以 ?EAF ? ?EBG , 又 ?EAB ? ?EBA ,所以 ?FAB ? ?GBA , 因为 CD∥AB,所以 ?GFA ? ?FAB ? 180 ,
?

所以 ?GFA ? ?GBA ? 180 ,
?

所以 A,B,G,F 四点共圆.

36.解: (Ⅰ)连接 AF ,因 EF 切圆 O 于 F ,故

?EFB ? ?FAB ,
因 AB 是圆 O 的直径,弦 CD ? AB 于点 M , 故 ?AFB ? ?AMG ? 90? , 故 ?FAB ? ?MGF ? 180? , 又 ?FGE ? ?MGF ? 180? , 所以 ?FAB ? ?FGE , 所以 ?EFG ? ?FGE , 所以 ?EFG 为等腰三角形; (Ⅱ)因 AB 是圆 O 的直径,弦 CD ? AB 且 AB ? 10 , CD ? 8 , 所以圆 O 的半径 R ? 5 ,

1 CD ? 4 , OM ? R2 ? MD2 ? 52 ? 42 ? 3 ,又 3ED ? 4OM , 2 4OM ? 4, 所以 ED ? 3 MD ?
因 EF 切圆 O 于 F ,所以 EF 2 ? ED ? EC ? 4 ?12 ? 48 , 由(Ⅰ)知 EF=EG, 所以 EF ?

48 ? 4 3 ? EG ,

所以 MG ? EM ? EG ? 4 ? 4 ? 4 3 ? 8 ? 4 3 , 故 MG ? 8 ? 4 3 . 37.证明: (Ⅰ)因为 PM 是圆 O 的切线, NAB 圆 O 的割线, N 是 PM 的中点, 所以 NM ? PN ? NA ? NB ,
2 2

所以

PN BN ? , NA NP

又 ?PNA ? ?BNP ,所以 ?ANP ∽ ?PNB , 所以 ?APN ? ?PBN ,即 ?APM ? ?PBA , 又 MC ? BC ,所以 ?MAC ? ?BAC , 所以 ?MAP ? ?PAB , 所以 ?APM ∽ ?ABP . (Ⅱ)因 ?ABD ? ?ACD , ?ABD ? ?ABP ? ?APM , 所以 ?ACD ? ?APM ,

所以 MP // DC .因 PM 是圆 O 的切线, 所以 ?PMA ? ?MCA , 又 ?APM ∽ ?ABP , 所以 ?PMA ? ?BPA , 所以 ?BPA ? ?MCA , 所以 MC // PD , 所以四边形 PMCD 是平行四边形. 38.解、(Ⅰ)由 ? ? 2 cos ? ,得 ? 2 ? 2? cos? , 可得 C 的直角坐标方程: x2 ? y 2 ? 2 x .

? 3 x? t?m ? ? 2 直线 L 的参数方程是 ? ,( t 为参数), ?y ? 1 t ? ? 2
消去参数 t 可得 x ? 3 y ? m .

? 3 x? t?m ? ? 2 (Ⅱ)把 ? ( t 为参数),代入 x2 ? y 2 ? 2 x , ?y ? 1 t ? ? 2
得 t 2 ? ( 3m ? 3)t ? m2 ? 2m ? 0 , 由 ? ? 0 ,解得 ?1 ? m ? 3 . ∴ t1t2 ? m2 ? 2m . ∵ | PA | ? | PB |? 1 ? t1t2 ,∴ m ? 2m ? ?1 ,
2

解得 m ? 1 ? 2 或 1.又满足 ? ? 0 .∴实数 m ? 1 ? 2 或 1.
2 39.解: (Ⅰ)由 ? ? 2cos ? 得 ? ? 2? cos? ,

得普通方程为 x ? y ? 2 x(0 ? y ? 1)
2 2
2 即 ? x ? 1? ? y ? 1(0 ? y ? 1) . 2

故 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? (? 为参数,? ?[0, ? ]) . ? y ? sin ?

(Ⅱ)设 D(1 ? cos ? ,sin ? ) ,

由(Ⅰ)知 C 是以 G (1, 0) 为圆心,1 为半径的上半圆.因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂 直, 所以直线 GD 与 l 的斜率相同, 故 tan ? ? 3 , ? ?

?
3



故 D 的直角坐标为 ?1 ? cos

? ?

?
3

,sin

??

?3 3? ? ,即 ? ?2, 2 ? ? . 3? ? ?

40.解: (Ⅰ)由 f ( x) ? 0 得 x ? 2 ? x ?1 , 两边平方得 x ? 4 x ? 4 ? x ? 2 x ? 1 ,
2 2

解得 x ?

3 3 ,故实数 x 的取值范围为 ( ?? , ) . 2 2

(Ⅱ) ?b ? R , a ? b ? a ? b ? f ( x) 恒成立等价于 ( a ? b ? a ? b )min ? f ( x)max 恒成立.

a ? b ? a ? b ?| a ? b ? a ? b |? 2 | a | ,当且仅当 (a ? b)(a ? b) ? 0 时等号成立,
即 a ? b ? a ? b 的最小值为 2 | a | ;

x ? 2 ? x ?1 ?| x ? 2 ?1? x |? 1 ,当且仅当 x ? 1 时等号成立,
即 f ( x) ? x ? 2 ? x ?1 的最大值为 1

??1, x ? 2 ? (或通过分类讨论得 f ( x ) ? x ? 2 ? x ? 1 ? ??2 x ? 3,1 ? x ? 2 ,进而得到最大值为 1; ?1, x ? 1 ?
|1 ? , 或通过绝对值的几何意义得到 f ( x) ? x ? 2 ? x ?1 的最大值为 1), 故 2| a 解得 a ?
或a ? ?

1 2

1 1 1 ,故 a 的取值范围是 (?? ,? ] ? [ ,?? ) . 2 2 2

41.解:(Ⅰ)当 m ? 5 时, f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ?5 ? 0 得 | x ? 2 | ? | 2 x ? 1|? 5 , ①当 x ? ?2 时,不等式为: ?3 x ? 1 ? 5 ,即 x ? ?2 ,满足;

1 时,不等式为: ? x ? 3 ? 5 ,即 x ? ?2 ,不满足; 2 1 4 ③当 x ? 时,不等式为: 3 x ? 1 ? 5 ,即 x ? ,满足. 2 3
②当 ?2 ? x ? 综上所述,不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? x | x ? ?2或x ?

? ?

4? ?. 3?

(Ⅱ)设 g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ,若 f ( x ) ? 即 g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1|? m ?

3 对于任意 x ? R 恒成立, 2

3 对于任意 x ? R 恒成立, 2

? ??3x ? 1( x ? ?2), ? 1 ? g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1|? ?? x ? 3(?2 ? x ? ), 2 ? 1 ? 3x ? 1( x ? ), ? ? 2
由图可看出,当 x ? 所以 m ?

5 1 时, g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| 的最小值是 , 2 2

3 5 ? ,∴ m ? 1 ,即 m 的取值范围是 (??,1] . 2 2


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