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2.2.2事件的相互独立性(1)


例1:将三颗骰子各掷一次 ,记事件A表示 一个3点”,则概率 P(A B )等于?

“三个点数都不相同” ,事件B表示“至少出现

例2:某地区空气质量监测 资料表明,一天的空气 质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的概 率是 0.6,已知某天的空气质量 为优良,则随后一天的 空气 质量为优良的概率为?

例3,有一批种子的发芽率 为0.9,出芽后的 幼苗成活率为 0.8,在这批种子中,随机 抽取一粒, 则这粒种子能成长为幼 苗的概率为?

例4,从编号为 1, 2 ?, 10的10个大小相同的球中 任取4个,在选出 4号球的条件下,选出球 的 最大号码为 6的概率为?

例 5 在某次考试中, 从 20 道题中随机抽 取 6 道题, 若考生至少能答对其中的 4 道 即可通过; 若至少能答对其中 5 道就获得 优秀.已知某考生能答对其中 10 道题, 并且知道他在这次考试中已经通过, 求他 获得优秀成绩的概率.

例6,把一副扑克(不含大 小王)的52张随机均分给 赵、钱、孙、李四家, A ? 赵家得到6张梅花,

B ? 孙家得到3张梅花。
(1)计算P(B A ) (2)计算P(AB )

高二数学 选修2-3

2.3.2独立事件

复习回顾
①什么叫做互斥事件?什么叫做对立事件?
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件;如果两个互斥 事件必有一个发生,这样的两个互斥事件叫对立事件.

②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是 什么? P(A+B)=P(A)+(B) ③若A与A为对立事件,则P(A)与P(A)关 系如何?

P(A)+P(?)=1

问题探究:
我们知道,当事件A的发生对事件B的发生有影 响时,条件概率P(B|A)和概率P(B)一般是不相等的, 但有时事件A的发生,看上去对事件B的发生没有影 响,比如依次抛掷两枚硬币的结果(事件A正面朝上)对抛
掷第二枚硬币的结果(事件B反面朝上)没有影响,这时 P(B|A)与P(B)什么关系?

下面看一例
在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋,2个白皮 蛋,每次取一个,有放回地取两次,求在已知第一 次取到红皮蛋的条件下,第二次取到红皮蛋的概率。

相互独立事件及其同时发生的概率
1、事件的相互独立性 设A,B为两个事件,如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事 件A与事件B相互独立。 即事件A(或B)是否发生,对事件B(或A)发生的 概率没有影响,这样两个事件叫做相互独立事件。

注:
①区别:互斥事件和相互独立事件是两个不同概念:
两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生; 两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件 发生的概率没有影响。

②如果事件A与B相互独立,那么A与B,A与B,A与B是不是 相互独立的 相互独立

2、相互独立事件同时发生的概率公式:

两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A?B发生的概 率为:

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率, 等于每个事件的概率的积。 一般地,如果事件A1,A2……,An相互独立,那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即

P(A1· A2……An)=P(A1)· P(A2)……P(An)

试一试

判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件?

1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”, 事件B表示“第2球罚中”. A与B为互独事件 2.篮球比赛 “1+1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”, 事件B表示 “第2球罚中”. A与B不是互独事件 3.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球. 事件A:“取出的是白球”.事件B:“取出的是黑球” ( 不放回抽取) A与B为非互独也非互斥事件 4.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球. 事件A为“取出的是白球”.事件B为“取出的是白 球”. A与B为互独事件 ( 放回抽取)

巩固练习
1、分别抛掷2枚质地均匀的硬币,设A是事件“第1 枚为正面”,B是事件“第2枚为正面”,C是事件 “2枚结果相同”。问:A,B,C中哪两个相互独立?

例1 甲、乙二人各进行1次射击比赛,如果2人
击中目标的概率都是0.6,计算:
(1)两人都击中目标的概率;

(2)其中恰由1人击中目标的概率 (3)至少有一人击中目标的概率

解:(1) 记“甲射击1次,击中目标”为事件A.“乙 射 击1次,击中目标”为事件B.且A与B相互独立, 又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同 时发生, 根据相互独立事件的概率的乘法公式,得到
P(A?B)=P(A) ?P(B)=0.6×0.6=0.36 答:两人都击中目标的概率是0.36

例1甲、乙二人各进行1次射击比赛,如果2人击
中目标的概率都是0.6,计算: (2) 其中恰有1人击中目标的概率? 解:“二人各射击1次,恰有1人击中目标”包括两种 情况:一种是甲击中, 乙未击中(事件 另一种是 A? B ) 甲未击中,乙击中(事件??B发生)。 根据题意,这两 种情况在各射击1次时不可能同时发生,即事件??B与 根据互斥事件的概率加法公式和相互独立 A? B互斥, 事件的概率乘法公式,所求的概率是
P( A ? B) ? P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( A) ? P( B) ? 0.6 ? (1 ? 0.6) ? (1 ? 0.6) ? 0.6 ? 0.24 ? 0.24 ? 0.48

答:其中恰由1人击中目标的概率为0.48.

例1 甲、乙二人各进行1次射击比赛,如果2人击中
目标的概率都是0.6,计算: (3)至少有一人击中目标的概率. 解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是
P ? P( A ? B) ? [ P( A ? B) ? P( A ? B)] ? 0.36 ? 0.48 ? 0.84

解法2:两人都未击中的概率是 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? (1 ? 0.6) ? (1 ? 0.6) ? 0.16,
因此,至少有一人击中 目标的概率 P ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? 0.16 ? 0.84 答:至少有一人击中的概率是0.84.

跟踪训练 1

1 甲、 乙两人独立地破译密码的概率分别为 、 3

1 .求: 4 (1)两个人都译出密码的概率; (2)两个人都译不出密码的概率; (3)恰有一人译出密码的概率; (4)至多一人译出密码的概率; (5)至少一人译出密码的概率.

例2 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关,只
要其中有1个开关能够闭合,线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.

解:分别记这段时间内开关 J A、J B、J C 能够闭合为事 件A,B,C. 由题意,这段时间内3个开关是否能够闭合相 互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法式这 段时间内3个开关都不能闭合的概率是

P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? [1 ? P( A)][ 1 ? P( B)][ 1 ? P(C )] ? (1 ? 0.7)(1 ? 0.7)(1 ? 0.7) ? 0.027
所以这段事件内线路正常工作的概率是

1 ? P( A ? B ? C) ? 1 ? 0.027 ? 0.973
答:在这段时间内线路正常工作的概率是0.973

4 例3某班甲、乙、丙三名同学竞选班委,甲当选的概率为 , 5 3 7 乙当选的概率为 ,丙当选的概率为 。 5 10 (1)求恰有一名同学当选的概率;
(2)求至多有一名同学当选的概率。

1.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次. 14 则甲,乙同时射中同一目标的概率为_______ 25

2.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白). 3 从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是___ 5
3.甲,乙二人单独解一道题, 若甲,乙能解对该题的概率 m+n- mn 分别是m, n . 则此题被解对的概率是_______
P(A+B)=P(A· B)+P(A· B) +P(A· B)=1- P(A· B)

4.有一谜语, 甲,乙,丙猜对的概率分别是1/5, 1/3 , 1/4 . 13 则三人中恰有一人猜对该谜语的概率是_____
30

(1-a)(1-b)

5.加工某产品须经两道工序, 这两道工序的次品率分别 为a, b. 且这两道工序互相独立.产品的合格的概率是__. 6.某系统由A,B,C三个元件组成, 每个元件正常工作概率为P. P+P2- P3 则系统正常工作的概率为____
A B

C

C 42 7.在100件产品中有4件次品. C 41· C 31 2 C100 ①从中抽2件, 则2件都是次品概率为___ C1001· C991 ②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___ (不放回抽取)

③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取) C 4 1· C 41 C1001· C1001

例4(05,全国)盒中有大小相同的球10个,其中
标号为1的球有3个,标号为2的球有4个,标号为5的 球有3个,第一次从盒中取1个球,放回后第二次再 取1个球,(假设取到每个球的可能性都相同),记 第一次与第二次取到球的标号之和为 ? ,求 ? 的 分布列。

例5(06,四川)某课程考核分理论与实验两部分进
行,每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”,两 部分都合格则该课程考核合格。甲、乙、丙三人在理 论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7;在实验考 核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9。所有考核是否 合格相互之间没有影响。

(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合 格的概率;
(2)求这三人该课程考核都合格的概率。(结果保 留三位小数)

例3 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知
甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的

1 概率为 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件 4 1 2 品的概率为 。 9

不是一等品的概率为 12 ,甲丙两台机床加工的零件都是一等

(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的 概率;
(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一 个一等品的概率。

( 互斥事件)

求 较 复 杂 事 件 概 率

分类
正向 分步

P(A+B)= P(A) + P (B) P(A· B)= P(A) ·P (B)
( 互独事件)

反向

对立事件的概率

独立事件一定不互斥. 互斥事件一定不独立.


2.2.2事件的相互独立性_学案1 (2)

②若 A 与 B 是相互独立事件,则 也相互独立 2.相互独立事件同时发生的概率: P( AB) ? 王新敞奎屯 新疆 2.2.2 事件的相互独立性学习目标 1、理解两个...

2.2.2事件的相互独立性_学案1

2.2.2 事件的相互独立性设计人: 设计人:张志明 【学习目标】 1、理解两个事件相互独立的概念。 2、能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 【学习重点】独立...

2.2.2事件的相互独立性

2.2.2 事件的相互独立性一、课前自主预习 1.相互独立事件的概念 设 A,B 为两个事件,如果 P(AB)=___,则称事件 A 与事件 B 相互独立. 2.相互独立事件...

2.2.2事件的相互独立性

2.2.2 事件的相互独立性学习目标: 1.通过实例了解相互独立事件的概念 2.相互独立事件与互斥事件之间的区别 3.掌握相互独立事件概率的乘法公式 4.应用公式解决...

§2.2.2事件的相互独立性

§2.2.2 事件的相互独立性知识目标:理解两个事件相互独立的概念 能力目标:能...相互独立事件的概念 (1)设 A、B 是两个事件,如果 P( AB) ? ___,则称...

2.2.2事件的相互独立性

2.2.2 事件的相互独立性 教材分析概率论是研究随机现象的一个数学学科, 研究...课时分配本节内容用 1 课时的时间完成,主要讲解相互独立事件,相互独立事件同时...

2[1].2.2事件的相互独立性_学案1

王新敞奎屯 新疆 .事件的相互独立性 概念: 1.相互独立事件的定义: 设 A, B 为两个事件, 如果 , 则称事件 A 与事件 B 相互独立。 事件 A (或 B )...

2.2.2事件的相互独立性_学案

§2.2.2 事件的相互独立性设计人:刘记乾 【学习目标】 1、理解两个事件相互独立的概念。 2、能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 【学习重点】独立事件同...

《2.2.2事件的相互独立性》导学案

2.2.2事件的相互独立性2.2.2事件的相互独立性隐藏>> 高一数学必修 2-3 2...【学习目标】 (1)理解两个事件相互独立的概念。 (2)能进行一些与事件独立有...

§2.2.2 事件的相互独立性

§2.2.2 事件的相互独立性 【学习要求】 1.在具体情境中,了解两个事件相互独立的概念. 2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题. 【...