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近几年活跃在高考中的二次函数绝对值问题探究


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1 O?  

中学教研 ( 数 学)  

近 几 年 活 跃 在 高 考 中 的二 次 函 数 绝 对 值 问题 探 究 
●何官 勇  ( 鲁迅中学柯桥校区   浙江绍兴 3 1 2 0 2 8 )  
3 ) 若方程  ) I =   —l 在 区间 ( 0 , +∞) 上 有 

/>
绝对 值是 中学 数学 中 的一 个重 要概 念 , 贯 穿于  整个 中学 数学 教学之 中. 综 观 近几年 全 国各地 的数 

2个不 相 等实根 , 求 口的取 值 范围.   ( 2 0 1 5年 浙 江省绍 兴 市高三期 末考 试试题 )  
分析 第 1 ) 小 题 考 查 二 次 函数 的基 本 问题 ,   易得 0=± 2   . 而第 2 ) 和第 3 ) 小题重 点考 查 函数 

学高考试卷 , 可以发现“ 绝对值与二次 函数结合 的  
问题 ” 备 受命题 者 青 睐. 因其 不 仅具 有 绝 对值 本 身 
“ 起 点低 、 人手 易 ” 的特点 , 更 能体 现学 生 对 函数 综 

合 问题 的处理 能力 , 是 考 查转 化 化 归 、 数 形结 合 与  分类 讨论 思想 的好 素材. 笔者将 对二 次 函数绝 对值 
问题 作一 些探 讨.  
1   形如 . 厂 (  )=I   n  +   +c   I 或 f(   )=a   I  I  +   西 I x l + c ( 其 中 a不 为 0 ) 问题 探 究 

Y=i f (  ) I 的 图像 问题 , 运 用 数形 结 合 较 容 易得 到 

解答. 对于第 2 ) 小题 , 因为. 厂 ( 0 ) = 1 > 0 , 所 以只需 
  l I  

要 比  0 ) , I 1   、  厶 一 导 1 ,   I   l ( f 口 1 ) 之 问 的 大 小 即 可 .  
解 得 
2 a  + 1.   1,  
1  

这 是高 中数学 教学 中的一 类基 本 问题 , 其 图像 

Ⅱ >0:  


可由图像翻折变换或者绝对值零点正负讨论得到 ,  
这 里 不再赘 述.  

2   4 2 ≤n< 0 :  

解 决此类 问题 的基 本策 略 :  



4 

一’  

0<一2   2. 4  

1 ) 作 出 函数 图像 , 结 合 图像 并 比较 图像 之 间  的关 系 , 往往 需要 关注 单调 区 间的转折 点 与定 义域 
区间 的关 系 ;  

对 于第 3 ) 小题 , 只需要 考虑 函数 Y=I f (  ) l 与 

函数 Y=  一1的图像 交点 关 系 : 当 0> 0时 , 如图 1  
2  

2 ) 若题 中含 参数 , 则分 类讨论 解题 .  
例1   已知 函数 f (  )=  。 +似 +1 , 其 中 Ⅱ∈  
R。 且 。≠O .  

可 得 2个 函 数 没 有 交 点 ; 当 0<0 , 1一   ≥0 , 即 
斗  


2 ≤0<0时 , 结合 图 2 , 可得 一 2 ≤0<1— 2√ 2 ; 当 

1 ) 若. 厂 (  ) 的最 小值为 一1 , 求 口的值 ;  

n<一 2时 , 结合图 3 , 可 得必 满足 题意.  

2 ) 求Y 一. 厂 (  ) l 在 区间[ 0 , I n I ] 上的最大值 ;  
偶 函数 的性 质 写 出 f (  ) 的表 达 式 , 借 助 平 移 变 换  写 出厂 (   一1 ) 的 表达式 . 由于其 为分段 函数 , 因此分 

综 上可 得 o∈(一∞ , 1— 2 √ 2 ) .  

除; 二是选择 = ÷, 因其满足 , 故选 A .  
叶  

3种 解法 的思 维训 练 , 既有 解 法 1的逻 辑推 理 

段求解厂 (  一 1 ) ≤ ÷, 过程详细, 思维严谨, 但不宜   思维 训练 , 明 白算 理 , 培养运算能力 ; 又有 解 法 2 、  
作 为应 试解法 . 解 法 2首 先 画 出_ 厂 (  ) 的 图像 , 平 移  得至   一1 ) 的图像 , 由   一1 )=   1…  4 I   4个点 的  解法 3的应试训 练 , 选 择 捷径 , 节 约 时 间. 3种解 法  都必 须 具 备 基 本 功 , 计 算 能力 、 分析能力 、 画 图 能  力、 变换 能力. 不 同思维 能力 的人 , 在上 述 问题解 法 

横坐标 , 快速寻找到问题的解. 解法 3寻找恰 当科 

串设计 中至少能找到一种是可接受的或有效的, 使 
教 学 的有效性 得 以实 现.  
参 考 文 献 

学的点是关键, 选准 = ÷进行检验, 排除选项 B ,  
D; 然 后 分 析 选 项 A, C, 在 数 轴 上 画 出 区 间 

[ ÷ ,   】 , [ ÷ , ÷ 】 , 特 殊 值 选 择 有 2 种 方 案 : 一 是  [ 1 ]   章建跃. 发挥数 学的 内在 力量为学生谋取长 
选择 = ÷, 因其满足, 故还要检验  = + J 矗 才能排 
期利 益 [ J ] . 中 国数 学教 育 , 2 0 1 3 ( 1 / 2 ) : 3 - 6 .  

第 5期 

何官 勇: 近几年活跃在 高考 中的二次 函数 绝对值 问题探 究 

?1 l?  

‘  

y -I . 『 { 柚  

  l

① 当 。>b时 , 如 图 7所 示 ;  
旷 。  

// /    
/ 

|  

②当口 ≤6 时, 如图8 所示.  

\ / ' A/ -  
0   / 

0   / 

0   /  
图3  
图  7   图8  

图 1  

图 2  

2   形如 . 厂 (  )= , , l ( x—b) I   —a   I +   +t ( 其中 J , l  

不为 O ) 问题 探 究 

情形 3 若 m >0 , q<0 , 则 讨 论 图像 时 , 只 需 

这 是一 类局 部绝 对值 问题 , 是 目前 试题 中经 常  出现 的题 型. 其 本 质 是 分段 函数 , 且其 中一 段 开 口   向上 , 另一 段开 口向下. 我们 先研 究这 类 函数 图像 ,  
原 函数 可转 化 为 


将 对 称轴 1 1 , ,  的位 置交 换 , 再 作 图 即可.   ①当 n ≤6+卫 <b 一旦 时 , 如图 9所示 ;  
l| L   I I  

②当 b +旦 <口 ≤6 一旦 时 , 如图 1 0所示 ;  
I I   I l l ,  

{  
=  
,、

③当 b + 卫< b — q< 0时, 如图 1 1 所示.  
,  

式( 1 ) , 式( 2 ) 的对称 轴分 别 为  =m a+mb -q



原题 转 化为讨 论 分段 二 次 函数 的对称 

轴 与绝 对 值零 点 。之 间 的关 系. 为 了便 于讨 论 , 先 
考虑 m> 0 , q > 0的情 形 .   情 形 1 易 得 u<  , 具 体如 下 :   对于式( 1 ) , 当 n<b一旦 时 , “>  ; 当 口=b一  
图9   图1 0   图1 1  

情 形 4 若 m <0 , 则 讨 论 方 式 与 上 述 情 形 一 
样, 只需 要开 口方 向 向上 换成 向下 即 可 ( 此 处不 再 
探究) .  

旦时 ,  :  ; 当 口>b 一旦 时 ,  < 口 .  
对于式( 2 ) , 当 n<b+旦 时 , 即  >口 ; 当 0=   b+旦 时 ,  =0 ; 当 口>b+ 卫时 ,  < 0 .   可得 函数 的 可能 图像 如下 :  

由上述 分析 , 可得 此类 图像 可能 的单 调 区间为 
1个或 3个 , 解题 基 本策 略 :   1 ) 比较分 段 函数 的 2条对 称 轴 与 绝 对值 零 点  之 间 的关 系 ;  

2 ) 确定 函数 类 型 , 弄 清 属 于 哪 种 图像 , 有 1 个  还 是 3个 单 调 区间 , 以及相 应 的单调 区 间转折 点 ;  
3 ) 比较 函数 图像 的几 个单 调 性 转 折 点 与所 给  函数定 义域 端 点 之 间 的位 置 关 系 , 若 题 中带 有 参  数, 则进 行参 数讨 论.  

① 当 口< b—q <b +卫 时 , 如 图 4所示 ;   ② 当 b一旦 ≤Ⅱ ≤6 +旦 时 , 如 图 5所 示 ;   ③ 当 b一旦 ≤6+ 卫 < 口时 , 如 图 6所示 .  

例 2 已知 函 数 f (  )=  l   ~0I + 2   . 若存 在  口∈[ 0, 4 ] , 使 得关 于  的方程 f (  )=t f ( 口 ) 有 3个 
不 相等 的实 数根 , 则 实数 t 的取 值范 围是  (   )  

A . (   , 詈 )   B . ( 1 , 吾 )   c . ( 詈 , 寻 )   D . (   , 寻 )  
图4   图5   图6  

( 2 0 1 5年 浙 江省杭 州 市学军 中学模 拟题 )  
分析 由题 意知 ,  

情 形 2 若 q=0 , 可 得 u=  , 即 分段 函数 对 称 

轴相等. 此时函数图像转化为 :  

?

l 2?  

中学教研 ( 数 学)  

2 0 1 5. 年 

f ( x   :  ?   ,  
对 称 轴 分 别 为   :   },   :   , 显 然   <   . 当 0 ≤  
。 ≤2时 , 可 得  <o ≤   , 函数 图像 同情 形 1  
图 1 2   图 1 3   图 l 4  

中的② , 显 然 函数 是单 调递 增 的 , 故 不 存 在这 样 的 
。满 足题 意 当 2<口 ≤4时 , 可得  <   <n ,  

情 形 2 若 q= 0 , 可得 u=  , 即分 段 函数 对 称  轴相等 , 即  <u= V <  2 , 如图 1 4所 示.  

情形 3 若 q < 0 , 讨论 图像时, 只需将对称轴 
u ,  的位置交 换 , 再作 图 即可 .   由上述 分析 , 可 得这类 图像 可能 的单 调 区间为 
2个 或 4个 , 解 题基 本策 略 :  

函数图像同情形 l 中的③ , 可得方程f (  )= t f ( a )  
有 3个 不 相 等 的 实 数 根 , 即 转 化 为 存 在 a满 足 

f ( a ) < f t ( a ) <   孚) , 可 解 得   ∈ ( 1 , 詈 ) . 故 选 A .  
例3   已知 函数, (   ) =I  — mI 和函数 g (   ) =  
I x—mI +m  一 7 m . 若 对 任意 的 1 ∈(一∞ , 4 ] , 均  存在  ∈( 3 , +∞ ] 使得 f (   )>g (  ) 成立 , 求 实 
数 m 的取值 范 围.  

1 ) 判 断绝 对值 内二 次 函数值 是 否 恒 大 于等 于 
0;  

2 ) 若 绝对 值 内的 二 次 函 数 有 2个 零 点 , 则 比  较 分段 函数 的 2条 对称 轴 与 绝 对值 内二 次 函数 2  
个 零点 之 间的关 系 ;  

分析

本 题 函数 g (  ) 的 图像 同情 形 2, 结 合 
f m   一1 0 m+ 9 , m< 3 ;  
, 

3 ) 确 定 函数 类 型 , 弄 清 楚 属 于 哪种 图像 , 有2   个 还是 4个 单 调 区 间 , 以及 相 应 的单 调 区 间转 折 
点;  

图像 即可 分析 得 出 g ( x ) 的最 小值 
、 

g ( X 2 ) m i n  I l     m  z7 一  m  .  
从 而  1 <   < 4+ 2  

m> m  1 3. ,  

4 ) 比较 函数 图像 的几 个单 调 性 转 折点 与 所 给 

函数定义域端点之 间的位 置关系 , 若题 中带有参 
数, 则 进行参 数讨 论.   例4   已知 函数 f (  )=l   a 2 x  一1   I +a x ( 其 中 
a∈R, 且 a ≠0) .  

3 形如 f { x) =l a x  +   +c I +   + f ( 其 中 口>0 )  
问题 探究 

这 是一类 二 次 函数 整体 放在 绝对值 内的问题 .   若b  一 4 a c ≤0 , 则厂 (  )=似  +   +c +q x+t , 是 二  次 函数 问题 , 这 里 不 作 研 究. 当b  一4 a c> 0时 , 记 
_   1  二 —  —=  


1 ) 当a < 0 时, 若函数 Y =   ) 一 C 恰有  ,  ,   求 l +  2 +   3 +   4的值 ;   3,   4 这 4个 零点 ,
2 ) 当  ∈[一1 , 1 ] 时, 求 函数 Y- _ f (  ) ( 其 中 
a< 0 ) 的最大值   ( a ) .   ( 2 0 1 5年 浙江省 丽水 市 高考模拟题 )   分析 第 1 ) 小 题 可 转 化 为 
a 

二   一

:下 - b + v/ b 2-4a c

,   2   —— 
,  



,I 下 、 面 L 且 J 对  刈 


该类 问题 的 图像进行 讨论 : 原 函数 可转化 为 


a x e 2 ( b +


q ) x+  

3 ;  

a 

函数 - 厂 (  )=I   a 2 x  一1   I +麟 的 图 

\/   E  

“  

该 函数是 分段 函数 , 其 中一 段 开 口 向上 , 另 一段 开  口向下. 对称 轴分 别为 “=   ,  =  
Z a 

像 与 直线 Y =c的交 点 问题 , 由上 

。V   【 l  
图 1 5  

{  

, 原题 

述 图像探 究 , 可得图 1 5 .  

转化为讨论分段二次函数 的对称轴与定义域分割 
点 。 ,   : 之间的关系解决.   情 形 1 为 了便 于讨 论 , 先 考 虑 q> 0的情形 .  

显 然 当1 < c < } 时 , y =  

)一 c有 4个 零点 , 依次 设 为  ,   : ,   , ,  , 则 . ,  
札 是方 程 0 。   +a x一1 =c 的 2个 根 , 从 而 l + ‰=  
一  

分析可得 u <  ,   1 <  且 u <   2 . 若 ̄ / 6   一 4 a c ≤q , 则 
M ≤   1 <   2 ≤  , 如图 1 2所示 ; 若 ̄ / 6   - 4 a c >q , 则 




a 

由 2 ,   3 是方 程 一0   + a x+1= c的 2个 根 ,  

知戈   +   =   , 从而  +   : +  , +   = 0 .   第2 ) 小题中,  

≤M<  ≤  2 , 女 口 图1 3所示 .  

第 5期 

何 官 勇: 近几年活跃在 高考 t - 的二 次函数绝 对值 问题探 究 

?1 3?  

f - O . , 2  ̄ . 2 +  + 1 ,  

≥一  ;  

i 。 z   z + n   一   ,  t   一 < 一   ,  
转 化 为情 形 3中 的 图像 H题 . 结 合 图形 分 析 可 得 

) 在( 一 ∞ ,   】 , [   1 , 一   】 上 单 调 递 减 , 在  

【   1 ,   1 ] ' [ 一   1 , + ∞ ) 上 单 调 递 增 .  

分 类 讨 论 如 下 : 1 ) 当   ≤ 一 1 , 即 。 ≥ 一 号 时 ,  
g ( x ) 在 [一1 , 1 ] 上单 调 递减, 此 时 M( n )=  
g (一1 ) = 一0   一0+1 .  

2 ) 当  ≤ 口  一 1 <  , 口   即一 1 ≤ Ⅱ < ÷ 时 , g (   ) 在  

【 一 l ,  】 上 单 调 递 增 , 在 [  , 1 】 上 单 调 递 减 , 此 时  

, (   )   { 2 + 2 a x - 0 , 2   )   < 口 . ’
r 一

( n ) = g (   1 ) :   5 .  
3)当 一 1 <A


即 。 < 一1时 , g(   )在 

2。  ,  

。≥ O;  

0 

[ 一 1 ,   】 , [   1 , 一   1 ] 上单调 递减 , g (   ) 在  
[  ,   】 , [ 一   1 , 1 】 上 单 调 递 增 , 此 时  

) m - n   { 孚,   口 < 0 .  

( Ⅱ ) : m a x { g ( 一 1 ) , g (   ) , g ( 1 ) ) =   { Ⅱ 2 一   5 口   +  ) =   { 口   一  哥 ) =  
m ax

m ax

n   一0 — 1.  

。≤ 

;  

i   x 2   +   a x   -   a -   1 ,   ,  兰  
<  ;  


5  
4 ’  

二   !  <n< 2   ‘、  


1  

综 上所 述 ,  


号 ≤ 。 < o ;  


M( 0)=  4

5  
’  

专.  
.  

n≤ 

4 其他 常考 问题 

形女 Ⅱ f ( 戈 )=, n (   一b )I   一n   I + p x  +q x+t ,  
)=l 僦 +6  +c   I +   +q x+t , f (  )=I   O , X 。+  


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