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2.3.2抛物线的简单几何性质第1课时


第2章

2.3.2

第 1 课时

一、 选择题(每小题 5 分, 20 分) 共 1.下列说法中,正确的是( A. 平面内与定点 )

?p ? ? ? F?2,0?和定直线 ? ?

p x=- 的距离相等的点的轨迹是抛物 2 线 B.抛物线 x2=2my 的焦点坐标为

r />? m? ? 0, ?,准线方程为 ? 2? ? ?

m y=- 2

C. 准线方程为 x=-4 的抛物线的 标准方程为 y2=8x
-1-

D.焦准距(焦点到准线的距离)为 p(p>0)的抛物线的标准方程为 y2=± 2px 2.边长为 1 的等边三角形 AOB, O 为原点,AB⊥x 轴,以 O 为顶点且 过 A、B 的抛物线方程是( 3 A.y = x 6
2 2

)

3 B.y =± x 6 3 D.y =± x 3
2

3 C.y =- x 6
2

3.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦 点为 F,直线 y=2x 交抛物线于 O、A 两点,直线 AF 交抛物线于另一点 B, 则 tan∠AOB=(
-2-

)

A.2 4 C. 3

B.-2 4 D.- 3

4.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于 点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积 为 4,则抛物线方程为( A.y2=± 4x C.y2=4x )

B.y2=± 8x D.y2=8x

二、 填空题(每小题 5 分, 10 分) 共 5.若抛物线 y2=x 上一点 P 到准 线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的坐标为________.
-3-

6.抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M 的纵坐标为-4 2,这点到准线的距离 为 6,则抛物线方程为________. 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.若抛物线的顶点在原点,开口 向上,F 为焦点,M 为准线与 y 轴的交 点,A 为抛物线上一点,且|AM|= 17, |AF|=3,求此抛物线的标准方程及准 线方程. 8.已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的弦长为 36,求弦所在的直线方程.
-4-

四、创新探究 9.(10 分)已知直线 l 经过抛物线
-5-

y2=4x 的焦点 F, 且与抛物线相交于 A、 B 两点.

(1)若|AF|=4,求点 A 的坐标; (2)求线段 AB 的长的最小值.

-6-

1、答案:

B

2、解析: 当抛物线开口向右时, 可设抛物线方程为 y2=2px(p>0).
? ∵A? ? ?
2

1 3 3 1? ? ∴ 即 , ?, 4= 3p, p= 12 . 2 2?

3 ∴y = x. 6 同理,当抛物线开口向左时,抛物 3 线标准方程为 y =- x. 6
2
-7-

答案: 3、 解析:

B
?y=2x ? 由? 2 ?y =2px ?



?p ? ? A?2,p?, ? ? ?

?p ? ?p ? ? ? ? F?2,0?,∴B?2,-p?, ? ? ? ? ?

∴∠AOB=2∠AOF, tan∠AOF= 2, 2tan∠AOF 4 tan∠AOB= =- . 2 3 1-tan ∠AOF 答案: D

4、解析: y2=ax(a≠0)的焦点坐
?a ? ? 标为?4,0?. ? ? ?

过焦点且斜率为 2 的直线

-8-

方程为

? a? ? y=2?x-4?, ? 令 ? ?

a x=0, y=- . 得 2

1 |a| |a| ∴ × · =4, 2 4 2 ∴a2=64,∴a=± 8, 所以抛物线方程为 y2=± 8x,故选 B. 答案: B

5、解析: 设 P(m2,m),准线为 1 x=- ,顶点为(0,0), 4
? ? ?? ? 2 ? 1 ?? ∴?m -?-4??= ? ? ??

?m2?2+m2,m2=

1 . 8
-9-

?1 2? ? ∴P? ,± ? 4? ?8 ?

答案:

?1 2? ? ? ? ,± ? 4? ?8

6、解析:

设所求抛物线的标准

方程为 x2=2py(p>0),设 A(x0,y0),
? p? ? M?0,-2?, ? ? ?

p ∵|AF|=3,∴y0+ =3, 2 ∵|AM|= p ?2 ? 2 17, 0+?y0+ ? =17, ∴x
? ? ?

2?

∴x2=8 代入方程 x2=2py0 得,8 0 0
? p? ? =2p?3-2?,解得 ? ? ?

p=2 或 p=4.
- 10 -

∴所求抛物线的标准方程为 x2= 4y 或 x2=8y, 其准线方程为 y=-1 或 y=-2. 7、解析: ∵焦点的弦长为 36,

∴弦所在的直线的斜率存在且不 为零. 故可设弦所在直线的斜率为 k, 且与抛物线交于 A(x1,y1),B(x2, y2)两点. ∵抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0). ∴直线的方程为 y=k(x-1).

- 11 -

?y=k?x-1? ? 由? 2 ?y =4x ?

整理得 k2x2 -(2k2

+4)x+k2=0(k≠0). 2k2+4 ∴x1+x2= . k2 ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2= 2k2+4 +2. k2 2k2+4 又|AB|=36,∴ 2 +2=36,∴ k 2 k=± . 4 2 ∴所求直线方程为 y= (x-1)或 4
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2 y=- (x-1). 4 8、解析: 16 点 M 的横坐标为 p ,

16 p ∴ p + =6,解得 p=4 或 p=8, 2 故抛物线方程为 y2=8x 或 y2=16x. 答案: y2=8x 或 y2=16x 由 y2=4x,得 p=2,

9、解析:

其准线方程为 x=-1,焦点 F(1,0). 设 A(x1,y1),B(x2,y2). (1)由抛物线的定义可知.
- 13 -

p |AF|=x1+ ,从而 x1=4-1=3. 2

代入 y2=4x,解得 y1=± 3. 2 ∴点 A 的坐标为(3,2 3)或(3,- 2 3). (2)当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y=k(x-1). 与 抛 物 线 方 程 联 立 , 得
?y=k?x-1? ? ? ?y2=4x ?



消去 y,整理得 k2x2-(2k2+4)x+
- 14 -

k2=0, 因为直线与抛物线相交于 A、B 两 点, 则 k≠0,并设其两根为 x1,x2, 4 则 x1+x2=2+ 2. k 由抛物线的定义可知, 4 |AB|=x1+x2+p=4+ 2>4, k 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=1,与抛物线交于 A(1,2), B(1,-2),此时|AB|=4. 所以|AB|≥4, 即线段 AB 的长的最
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小值为 4.

- 16 -


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