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【教师专用】2015高考数学专题辅导与训练配套课件:专题一 选择题的解题方法


答题策略·方法指导 1.选择题的解题方法

【题型解读】 1.阅卷简捷,评分客观,在一定程度上提高了试卷的 有效度与可信度 题型 2.侧重于考查学生是否能迅速选出正确答案,解题手 特点 段不拘常规,有利于考查学生的选择、判断能力 3.选项中往往包括学生常犯的概念错误或运算、推 理错误,所以具有较大的“迷惑性”

1.能定性判断的,就不再

使用复杂的定理计算 2.能使用特殊值判断的,就不必采用常规解法 解题 3.能使用间接法解的,就不必采用直接法解 策略 4.对于明显可以否定的选项及早排除,以缩小选择的 范围 5.对于具有多种解题思路的,选最简解法 常用 1.直接法 2.排除法 3.特例法 方法 4.数形结合法 5.估算法

方法一

直接法

1.方法诠释:直接从题设的条件出发,利用已知条件、相关公式、
公理、定理、法则,通过准确的运算、严谨的推理、合理的验

证得出正确的结论,然后对照题目所给出的选项“对号入座”
作出相应的选择,从而确定正确选项的方法. 2.适用范围:涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用 直接法.

【典例1】(1)(2014·天津高考)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|

>b|b|”的

(

)
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

(2)(2014·上海高考)如图,四个边长为1的小正方形排成一个 大正方形,AB是大正方形的一条边,Pi(i=1,2,?7)是小正方形 的其余顶点,则 AB APi (i=1,2,?7)的不同值的个数为 ( )

A.7

B.5

C.3

D.2

【思路点拨】(1)构建函数,根据函数的单调性判断. (2)根据向量数量积的定义,分情况讨论求解.

? x2, x ? 0 ? 【自主解答】(1)选C.设f(x)=x|x|,则f(x)= ? 2 ,所以 ? ?-x , x ? 0

f(x)是R上的增函数,“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件.

(2)选C.当Pi取P2,P5时, AB APi =0,
当Pi取P1,P3,P6时,AB APi ?| AB | | APi | cos?BAPi ?| AB | | APi |
| AP1 | ?| AB | | AP1 |? 2, | APi |

当Pi取P4,P7时,AB AP ?| AB | | AP | cos?BAP ?| AB | | AP | i i i i
| AB | ?| AB |2 ? 4. | APi |

所以取值共有三个.

方法二

排除法

1.方法诠释:排除法也叫筛选法或淘汰法,使用排除法的前提条 件是答案唯一,具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选 答案进行“筛选”,将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除,从 而获得正确结论.

2.适用范围:这种方法适用于直接法解决问题很困难或者计算
较烦琐的情况.

3.解题规律:(1)对于干扰项易于淘汰的选择题,可采用筛选法, 能剔除几个就先剔除几个. (2)允许使用题干中的部分条件淘汰选项. (3)如果选项中存在等效命题,那么根据规定——答案唯一,等 效命题应该同时排除. (4)如果选项中存在两个相反的或互不相容的判断,那么其中至 少有一个是假的. (5)如果选项之间存在包含关系,要根据题意才能判断.

?? x ? a ?2 , x ? 0, 【典例2】(1)(2014·上海高考)设f(x)= ? 若 ? 1 ? x ? ? a, x ? 0. x ?

f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为( A.[-1,2] C.[1,2] B.[-1,0] D.[0,2]

)

(2)(2014·新课标全国卷I)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定 点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P 作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函 数f(x),则y=f(x)在[0,π ]上的图象大致为 ( )

【思路点拨】(1)本题求参数a的取值范围,可以根据选项特征,

分别选取a=-1和a=0进行排除,得出正确选项.
(2)根据图象特征,并结合条件,选取x= ? 或x= 3? 时的函数值进
4 4

行排除,找出正确选项.

【自主解答】(1)选D.若a<0,取a=-1,则f(x)=(x+1)2的最小值

应为f(-1)而非f(0),不符合题意.可排除选项A,B.
? x 2 , x ? 0, 若a≥0,取a=0,则 f ? x ? ? ? ? 1 x ? , x>0, ? x ?

此时f(x)的最小值为f(0)=0,符合题意,排除C,选D.

(2)选B.如图所示,

当0≤x≤ ? 时,在Rt△OPM中,OM=OPcos x=cos x,

在Rt△OMD中,MD=OMsin x=cos xsin x= 1 sin 2x;
当x= ? 时,f(x)max= 1 ,排除A,C.
4 2 2

2

当 ? ≤x≤π时,在Rt△OPM中,OM=OPcos(π-x)=
2

-cos x,在Rt△OMD中,MD=OMsin(π-x)=-cos xsin x= - 1 sin 2x. 当x= 3? 时,f(x)max= 1 ,排除D.只有B选项符合.
4 2 2

所以当0≤x≤π时,y=f(x)的图象为选项B.

方法三

特例法

1.方法诠释:从题干(或选项)出发,通过选取特殊情况代入,将 问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置,进行 判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略,要注意在怎样的情 况下才可使用,特殊情况可能是:特殊值、特殊点、特殊位置、 特殊数列等. 2.适用范围:适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择 题.

3.注意点:(1)取特例尽可能简单,有利于计算和推理. (2)若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符,则应 选另一特例情况再检验,或改用其他方法求解.

【典例3】(1)(2014·衡水模拟)已知等比数列{an}满足an>0, n=1,2,3?,且a5·a2n-5=22n(n≥3),当n≥1时,log2a1+log2a3+ ?+log2a2n-1= ( A.n(2n-1) C.n2 ) B.(n+1)2 D.(n-1)2

2 2 x y (2)(2014·银川模拟)如图,点P为椭圆 ? ?1 25 9

上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上 顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C, 过点P引BC,AC的平行线交AC于点N,交BC于点M,交AB于D,E 两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则 S1∶S2=( A.1 ) B.2 C. 1
2

D. 1

3

【思路点拨】(1)由于n≥3,所以可取n=3,由a5·a2n-5=22n,用常 数列an=23即可得解. (2)由点P是椭圆上的任意一点,且S1∶S2为定值,解答时可以选
2 b 择特殊点 (c, ),直接求解. a

【自主解答】(1)选C.因为a5·a2n-5=22n(n≥3), 所以令n=3,代入得a5·a1=26,再令数列为常数列,得每一项为8, 则log2a1+log2a3+log2a5=9=32. (2)选A.不妨取点 P(4, 9 ), 则可计算S1= (3- 9 ) ? ? 5 ? 4 ? ? 6 , S 2= 1 ? ? 4 ? 2 ? ? ( 9 ? 3 ) ? 6 , 所以S1∶S2=1.
2 5 5 5 5 5 5

方法四

数形结合法

方法诠释:根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形,借
助几何图形的直观性作出正确的判断,习惯上也叫数形结合法.

有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义,作出函
数的图象或几何图形,借助于图象或图形的作法、形状、位置、 性质等,综合图象的特征,得出结论.图形化策略就是以数形结 合的数学思想为指导的一种解题策略.

【典例4】(1)(2014·湖北高考)已知函数f(x)是定义在R上的 奇函数,当x≥0时,f(x)= 1 (|x-a2|+|x-2a2|-3a2),若?x∈
2

R,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为(
1 1 A.[? , ] 6 6 1 1 C.[? , ] 3 3 B.[? 6 , 6 3 D.[? , 3 6 ] 6 3 ] 3

)

(2)(2014·江西高考)在平面直角坐标系中,点A,点B分别是x

轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,
则圆C面积的最小值为(
4 A. ? 5 C. 6 ? 2 5 ? 3 B. ? 4 5 D. ? 4

)

?

?

【思路点拨】(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,由x≥0 时的解析式画出函数f(x)的图象,利用图象平移得到f(x-1)的 图象,结合图象确定实数a的取值范围. (2)画出以AB为直径的圆C及切线方程2x+y-4=0,结合图形判断 半径取得最小值的情形.

【自主解答】(1)选B.因为当x≥0时,f(x)= 1 (|x-a2|+|x2a2|-3a2),所以当0≤x≤a2时,f(x)= 1 (a2-x+2a2-x-3a2)=-x. 当a2<x<2a2时,f(x)= 1 (x-a2+2a2-x-3a2)=-a2. 当x≥2a2时,f(x)= 1 (x-a2+x-2a2-3a2)=x-3a2.
2 2 2 2

综上,函数f(x)= 1 (|x-a2|+|x-2a2|-3a2)在x≥0时的解析式等
2

? ? x,0 ? x ? a 2 , 2 2 2 价于f(x)= ? ? ?a ,a <x<2a , ? x ? 3a 2 , x ? 2a 2 . ?

因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数 f(x)在R上的 大致图象如下:

观察图象可知,要使?x∈R,f(x-1)≤f(x),则需满足2a2(-4a2)≤1,解得 ? 6 ? a ? 6 .
6 6

(2)选A.由题意得圆C过坐标原点, 当原点到已知直线的距离恰为圆的直径时,圆的面积最小, 此时圆的半径为 1 ? 2 ? 0 ? 0 ? 4 ? 2 ,
2 5 5

圆的面积为 S ? ?( 2 )2 ? 4? .
5 5

方法五

估算法

方法诠释:估算法就是把复杂问题转化为较简单的问题,求出 答案的近似值,或把有关数值扩大或缩小,从而对运算结果确 定出一个范围或作出一个估计,进而作出判断的方法.

【典例5】(1)(2014·广州模拟)设a=log32,b=ln 2,c= 5 ,

?

1 2

则a,b,c的大小关系是(
A.a<b<c B.c<b<a

)

C.c<a<b

D.b<c<a

(2)(2014·南昌模拟)已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的 距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球面面积是(
A. 16 ? 9 8 B. ? 3 C.4 ? D. 64 ? 9

)

【思路点拨】(1)结合对数函数的性质,找出一个中间量进行比 较. (2)本题涉及球的表面问题,可先求出△ABC的外接圆的面积,然 后与所求球的面积进行比较.

【自主解答】(1)选C.a=log32= ln 2 ? ln 3 ? 1 , 且a=log32= ln 2 ? ln 2 ? b ,
ln 3

ln 3

ln 3

2

而 c ? 5 ? 5 ? 1 ,所以c<a<b.
?

1 2

5

2

(2)选D.球的半径R不小于△ABC的外接圆半径 r ? 2 3 , 则S球=4πR2≥4πr2= 16 ? ? 5?, 故选D.
3

3


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