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【教师专用】2015高考数学专题辅导与训练配套课件:专题一 选择题的解题方法

时间:2015-01-27


答题策略·方法指导 1.选择题的解题方法

【题型解读】 1.阅卷简捷,评分客观,在一定程度上提高了试卷的 有效度与可信度 题型 2.侧重于考查学生是否能迅速选出正确答案,解题手 特点 段不拘常规,有利于考查学生的选择、判断能力 3.选项中往往包括学生常犯的概念错误或运算、推 理错误,所以具有较大的“迷惑性”

1.能定性判断的,就不再

使用复杂的定理计算 2.能使用特殊值判断的,就不必采用常规解法 解题 3.能使用间接法解的,就不必采用直接法解 策略 4.对于明显可以否定的选项及早排除,以缩小选择的 范围 5.对于具有多种解题思路的,选最简解法 常用 1.直接法 2.排除法 3.特例法 方法 4.数形结合法 5.估算法

方法一

直接法

1.方法诠释:直接从题设的条件出发,利用已知条件、相关公式、
公理、定理、法则,通过准确的运算、严谨的推理、合理的验

证得出正确的结论,然后对照题目所给出的选项“对号入座”
作出相应的选择,从而确定正确选项的方法. 2.适用范围:涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用 直接法.

【典例1】(1)(2014·天津高考)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|

>b|b|”的

(

)
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

(2)(2014·上海高考)如图,四个边长为1的小正方形排成一个 大正方形,AB是大正方形的一条边,Pi(i=1,2,?7)是小正方形 的其余顶点,则 AB APi (i=1,2,?7)的不同值的个数为 ( )

A.7

B.5

C.3

D.2

【思路点拨】(1)构建函数,根据函数的单调性判断. (2)根据向量数量积的定义,分情况讨论求解.

? x2, x ? 0 ? 【自主解答】(1)选C.设f(x)=x|x|,则f(x)= ? 2 ,所以 ? ?-x , x ? 0

f(x)是R上的增函数,“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件.

(2)选C.当Pi取P2,P5时, AB APi =0,
当Pi取P1,P3,P6时,AB APi ?| AB | | APi | cos?BAPi ?| AB | | APi |
| AP1 | ?| AB | | AP1 |? 2, | APi |

当Pi取P4,P7时,AB AP ?| AB | | AP | cos?BAP ?| AB | | AP | i i i i
| AB | ?| AB |2 ? 4. | APi |

所以取值共有三个.

方法二

排除法

1.方法诠释:排除法也叫筛选法或淘汰法,使用排除法的前提条 件是答案唯一,具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选 答案进行“筛选”,将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除,从 而获得正确结论.

2.适用范围:这种方法适用于直接法解决问题很困难或者计算
较烦琐的情况.

3.解题规律:(1)对于干扰项易于淘汰的选择题,可采用筛选法, 能剔除几个就先剔除几个. (2)允许使用题干中的部分条件淘汰选项. (3)如果选项中存在等效命题,那么根据规定——答案唯一,等 效命题应该同时排除. (4)如果选项中存在两个相反的或互不相容的判断,那么其中至 少有一个是假的. (5)如果选项之间存在包含关系,要根据题意才能判断.

?? x ? a ?2 , x ? 0, 【典例2】(1)(2014·上海高考)设f(x)= ? 若 ? 1 ? x ? ? a, x ? 0. x ?

f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为( A.[-1,2] C.[1,2] B.[-1,0] D.[0,2]

)

(2)(2014·新课标全国卷I)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定 点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P 作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函 数f(x),则y=f(x)在[0,π ]上的图象大致为 ( )

【思路点拨】(1)本题求参数a的取值范围,可以根据选项特征,

分别选取a=-1和a=0进行排除,得出正确选项.
(2)根据图象特征,并结合条件,选取x= ? 或x= 3? 时的函数值进
4 4

行排除,找出正确选项.

【自主解答】(1)选D.若a<0,取a=-1,则f(x)=(x+1)2的最小值

应为f(-1)而非f(0),不符合题意.可排除选项A,B.
? x 2 , x ? 0, 若a≥0,取a=0,则 f ? x ? ? ? ? 1 x ? , x>0, ? x ?

此时f(x)的最小值为f(0)=0,符合题意,排除C,选D.

(2)选B.如图所示,

当0≤x≤ ? 时,在Rt△OPM中,OM=OPcos x=cos x,

在Rt△OMD中,MD=OMsin x=cos xsin x= 1 sin 2x;
当x= ? 时,f(x)max= 1 ,排除A,C.
4 2 2

2

当 ? ≤x≤π时,在Rt△OPM中,OM=OPcos(π-x)=
2

-cos x,在Rt△OMD中,MD=OMsin(π-x)=-cos xsin x= - 1 sin 2x. 当x= 3? 时,f(x)max= 1 ,排除D.只有B选项符合.
4 2 2

所以当0≤x≤π时,y=f(x)的图象为选项B.

方法三

特例法

1.方法诠释:从题干(或选项)出发,通过选取特殊情况代入,将 问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置,进行 判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略,要注意在怎样的情 况下才可使用,特殊情况可能是:特殊值、特殊点、特殊位置、 特殊数列等. 2.适用范围:适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择 题.

3.注意点:(1)取特例尽可能简单,有利于计算和推理. (2)若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符,则应 选另一特例情况再检验,或改用其他方法求解.

【典例3】(1)(2014·衡水模拟)已知等比数列{an}满足an>0, n=1,2,3?,且a5·a2n-5=22n(n≥3),当n≥1时,log2a1+log2a3+ ?+log2a2n-1= ( A.n(2n-1) C.n2 ) B.(n+1)2 D.(n-1)2

2 2 x y (2)(2014·银川模拟)如图,点P为椭圆 ? ?1 25 9

上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上 顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C, 过点P引BC,AC的平行线交AC于点N,交BC于点M,交AB于D,E 两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则 S1∶S2=( A.1 ) B.2 C. 1
2

D. 1

3

【思路点拨】(1)由于n≥3,所以可取n=3,由a5·a2n-5=22n,用常 数列an=23即可得解. (2)由点P是椭圆上的任意一点,且S1∶S2为定值,解答时可以选
2 b 择特殊点 (c, ),直接求解. a

【自主解答】(1)选C.因为a5·a2n-5=22n(n≥3), 所以令n=3,代入得a5·a1=26,再令数列为常数列,得每一项为8, 则log2a1+log2a3+log2a5=9=32. (2)选A.不妨取点 P(4, 9 ), 则可计算S1= (3- 9 ) ? ? 5 ? 4 ? ? 6 , S 2= 1 ? ? 4 ? 2 ? ? ( 9 ? 3 ) ? 6 , 所以S1∶S2=1.
2 5 5 5 5 5 5

方法四

数形结合法

方法诠释:根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形,借
助几何图形的直观性作出正确的判断,习惯上也叫数形结合法.

有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义,作出函
数的图象或几何图形,借助于图象或图形的作法、形状、位置、 性质等,综合图象的特征,得出结论.图形化策略就是以数形结 合的数学思想为指导的一种解题策略.

【典例4】(1)(2014·湖北高考)已知函数f(x)是定义在R上的 奇函数,当x≥0时,f(x)= 1 (|x-a2|+|x-2a2|-3a2),若?x∈
2

R,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为(
1 1 A.[? , ] 6 6 1 1 C.[? , ] 3 3 B.[? 6 , 6 3 D.[? , 3 6 ] 6 3 ] 3

)

(2)(2014·江西高考)在平面直角坐标系中,点A,点B分别是x

轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,
则圆C面积的最小值为(
4 A. ? 5 C. 6 ? 2 5 ? 3 B. ? 4 5 D. ? 4

)

?

?

【思路点拨】(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,由x≥0 时的解析式画出函数f(x)的图象,利用图象平移得到f(x-1)的 图象,结合图象确定实数a的取值范围. (2)画出以AB为直径的圆C及切线方程2x+y-4=0,结合图形判断 半径取得最小值的情形.

【自主解答】(1)选B.因为当x≥0时,f(x)= 1 (|x-a2|+|x2a2|-3a2),所以当0≤x≤a2时,f(x)= 1 (a2-x+2a2-x-3a2)=-x. 当a2<x<2a2时,f(x)= 1 (x-a2+2a2-x-3a2)=-a2. 当x≥2a2时,f(x)= 1 (x-a2+x-2a2-3a2)=x-3a2.
2 2 2 2

综上,函数f(x)= 1 (|x-a2|+|x-2a2|-3a2)在x≥0时的解析式等
2

? ? x,0 ? x ? a 2 , 2 2 2 价于f(x)= ? ? ?a ,a <x<2a , ? x ? 3a 2 , x ? 2a 2 . ?

因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数 f(x)在R上的 大致图象如下:

观察图象可知,要使?x∈R,f(x-1)≤f(x),则需满足2a2(-4a2)≤1,解得 ? 6 ? a ? 6 .
6 6

(2)选A.由题意得圆C过坐标原点, 当原点到已知直线的距离恰为圆的直径时,圆的面积最小, 此时圆的半径为 1 ? 2 ? 0 ? 0 ? 4 ? 2 ,
2 5 5

圆的面积为 S ? ?( 2 )2 ? 4? .
5 5

方法五

估算法

方法诠释:估算法就是把复杂问题转化为较简单的问题,求出 答案的近似值,或把有关数值扩大或缩小,从而对运算结果确 定出一个范围或作出一个估计,进而作出判断的方法.

【典例5】(1)(2014·广州模拟)设a=log32,b=ln 2,c= 5 ,

?

1 2

则a,b,c的大小关系是(
A.a<b<c B.c<b<a

)

C.c<a<b

D.b<c<a

(2)(2014·南昌模拟)已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的 距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球面面积是(
A. 16 ? 9 8 B. ? 3 C.4 ? D. 64 ? 9

)

【思路点拨】(1)结合对数函数的性质,找出一个中间量进行比 较. (2)本题涉及球的表面问题,可先求出△ABC的外接圆的面积,然 后与所求球的面积进行比较.

【自主解答】(1)选C.a=log32= ln 2 ? ln 3 ? 1 , 且a=log32= ln 2 ? ln 2 ? b ,
ln 3

ln 3

ln 3

2

而 c ? 5 ? 5 ? 1 ,所以c<a<b.
?

1 2

5

2

(2)选D.球的半径R不小于△ABC的外接圆半径 r ? 2 3 , 则S球=4πR2≥4πr2= 16 ? ? 5?, 故选D.
3

3


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