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第9讲 柯西不等式


第九讲 柯西不等式 一、知识概要 定理: 设 a1 , a2 ,
an , b1 , b2 ,
n n ? n ? bn 是两组实数,则有 ? ai 2 ? bi 2 ? ? ? ai bi ? ,其中等号成立当且仅 i ?1 i ?1 ? i ?1 ? 2

当 ai ? ? bi ,( i ? 1, 2, 3 推 论1:设 a1 , a

2 , 且仅当 a1 ? a2 ?

n .),其中 ? 是常数.

an 是正实数,则 (a1 ? a2 ?
? an .

? an )(

1 1 ? ? a 1 a2

?

1 ) ? n2 , an

其中等号成立当

推 论 2 : 设 a1 , a2 ,
a1 ? a2 ?
n

n ? n ? an 是 实 数 , 则 有 n? ai 2 ? ? ? ai ? , 其 中 等 号 成 立 当 且 仅 当 i ?1 ? i ?1 ?

2

? an ,( i ? 1, 2, 3
n

n .).
2

变形1: ? ai bi ?
i ?1 i ?1 n n

ai ? n ? ? ? ? ai ? . bi ? i ?1 ?
2

a2 ? n ? 变形 2: ? bi ? i ? ? ? ai ? . i ?1 i ?1 bi ? i ?1 ?

变形 3 :

?a ?b ? ?
i ?1 i i ?1 i i ?1

n

n

n

ai b i .

二、解题指导 例 1.已知 a, b, c, d , e 是实数,满足 a ? b ? c ? d ? e ? 8 , a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? e2 ? 16 ,试确定 e 的最 大值

1x ? 2x ? 例 2 .设定义在 R 上的函数 f ( x) ? lg(

? (n ? 1) x ? anx 若 0 ? a ? 1 ,n ? N * ,n ? 2 求 ), n

证: f (2 x) ? 2 f ( x) .

例 3.设 P 1, P 2, 求证:

Pn 是 1, 22 ,

n 任意的排列,

1 1 ? ? P ? P P ? P3 1 2 2

?

1 1 n ?1 ? ? . Pn ? 2 ? Pn ?1 Pn ?1 ? Pn n ? 2

例 4.若 x, y, z ? 0 ,且 x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ,求

1 1 1 ? 2 ? 2 的最小值. 2 x y z

1

例 5.求 y 1 ? x2 ? x 1 ? y 2 的最大值.

例 6.解方程组 ?

9 ? 2 2 2 ? x ?y ?z ? 4 ? ? 8 x ? 6 y ? 24 z ? 39 ?

例 7. P 为三角形 ?ABC , 内一点,它到三边 BC , CA, AB 的距离分别为 d1 , d2 , d3 ,S 为 ?ABC 的 面积,求证:
a b c (a ? b ? c) 2 ? ? ? ,其中 a, b, c 分别表示三边 BC , CA, AB 的长 d1 d 2 d 3 2s

1 1 1 例 8.设 a, b, c 为正数 ,且 a ? b ? c ? 1 ,求 (a ? )2 ? (b ? )2 ? (c ? )2 的最小值. a b c

三、习题演练 1.设 a, b, c, x, y, z 为实数,且 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 25 , x2 ? y 2 ? z 2 ? 36, ax ? by ? cz ? 30 求:
a?b?c 的值. x? y?z

2.解方程组: ?

2 x ? 3 y ? z ? 13 2 ?4 x ? 9 y ? z ? 2 x ? 15 y ? 3z ? 82 ?
2 2

3. P 为三角形 ?ABC , 内一点,点 D,E,F 分别为 P 到 BC , CA, AB 各边所引的垂线的垂足, 求使
BC CA AB 取到最小值的 P 点. ? ? PD PE PF

2

4.设 a1 , a2 ,

an 为正数,且 a1 ? a2 ?

? an ? 1 ,

求证: (a1 ?

1 2 1 ) ? ( a2 ? ) 2 ? a1 a2

? ( an ?

1 2 (n 2 ? 1) 2 ) ? an n

5.已知实数 a, b, c, d 满足 a ? b ? c ? d ? 3 , a 2 ? 2b 2 ? 3c 2 ? 6d 2 ? 5 ,求 a 的最小值.

6.利用柯西不等式证明:点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离为 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

.

7 . 设 a1 , a2 , a3 ,
a1 ? a2 2
2

,a n 为互不相等的正整数,求证:对于任意的正整数 n ,有不等式

?

a3 3
2

?

?

1 1 ? 1? ? ? 2 3 n
2

an

?

1 . n

8.已知 a, b, c 是正实数,且

3 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 ,求证: ab ? bc ? ac ? . 2 a ?1 b ?1 c ?1
2

9. 已知 a, b, c 是不小于 1 的正实数,证明:

a b c ? ? ?1 2c ? b 2a ? c 2b ? a

10.已知 a ? 0, b ? 0 ,求证:

1 1 ? ? a ? b a ? 2b

?

1 ? a ? nb

n b 2n ? 1 (a ? )(a ? b) 2 2

3


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