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【数学】1.2.1 任意角的三角函数(人教A版必修4)2


1.锐角三角函数
在Rt△ABC中,∠A是锐角,∠C是直角 ,则:

想一想:如果现在把锐角A改成是任意大小的 正角、负角或零角,那你觉得还能在直角三角 形中求解吗?为什么?你有什么好的办法吗?

设α是任意大小的角,以它的顶点为原点,以它 的始边为x轴的非负半轴,建立直角坐标系。 (想一想:它的终边可能会在哪里?)

>
注:角α的终边也可以在其它象限或坐标轴上。

在角α的终边上任取一点P(x,y),它到原点的距离 为r (r>0) 想一想:(1)能不能用P点的坐标来表示α角的三角函数 呢?

(2).如果把P点在α角终边上移动,那么,x、y、 r是否随之改变?这三个比值是否也随之改变?为 什么?

由此可见,三个比值都是由角α完全决定,而 与点p在α的终边上的位置无关。

2.任意角的三角函数

y r o x y x

y
y r x o x

注意: 其中点p不是原点,当角α的终边不在y轴上时,tanα才 有意义! 对应的函数分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数, 统称为三角函数。

3.概念辨析
任意角的三角函数定义与锐角三角函数的定义,有 什么区别和联系? 联系: 任意角的三角函数是锐角三角函数的推广;
锐角三角函数是任意角的三角函数的特例。

区别: 锐角三角函数是以边长的比来定义的,都是
正值;
任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与 坐标的比来定义的,不一定是正值。

4、任意角的三角函数定义

y

P(x,y)


?的终边

y x sin ? ? , cos ? ? , tan ? ? r r r r csc ? ? , sec ? ? , cot ? ? y x
三角函数 sin ? cos ?

y x x y
R R

r
o x
2 2

r? x ?y
定义域

tan

?

{

? ? ? k? ?

? , (k ? Z })
2

例1.已知角α的终边上一点p(-4,-3) , 分别求sinα,cosα,tanα. ? 演练反馈: 已知角α的终边上一点p(-1,2), 分别求sinα,cosα,tanα.

例2.已知角α= ,分别求sinα, cosα,tanα.
在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单 位长度为半径的圆为单位圆(unit circle).
?AOB的终边与单位圆的交点坐标为
O A
? 1 3? ?? , ? ? 2 2 ? ? x ?

4? ? 3

y B
1

? sin( ? 4? ) ?

3 3 2 4? 1 cos( ? ) ? ? 2 3

4? tan( ? ) ? ? 3 3

例3.已知角α=π ,分别求sinα, cosα,tanα. y

B

1

O

x A

? 演练反馈: 已知角α=π/2 ,分别求sinα,cosα, tanα.


弧 度
sin ?

0 0 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600

0 ?
1 2

? ? ? 2? 3? 5?
4 3
2 2 2 2

6
3 2 3 3

2

3 4 6
1 ? 2
3 2

?

3? 2

2?

cos ?
tan ?

0 1 0

1 2

3 2

1 0

1

3

? 3

?1

1 2 2 2 2 3 ? ? 2 2 3 ? 3

0 ?1 0 ?1 0 1 0 0

三角函数值在各象限的符号是怎样的?
y y y

+
o

+
x

-

+ o
+

-

x

+

+ o x

y sin ? ? r

sin ?

y o

x cos ? ? r
全为+ x

y tan ? ? x
记法: 一全正 二正弦 三正切 四余弦

tan ? cot ?

cos ?

例4 判断满足以下条件的角的终边所在的位置: ①sinθ<0 且 tanθ>0

②cosθ<0 且 tanθ<0
③cosθ>0 且 sinθ<0 ④cosθ≤0 且 tanθ≥0

回答下列问题:
1.角?与角?+2k?的终边有何关系?

?+2k? y

?

sin? o cos?

2.角?与角?+2k?的三角函数值有何关系?
诱导公式一:

x

sin( ? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos ? , tan(? ? 2k? ) ? tan ? , 其中k ? Z .

公式的作用:

可以把任意角的三角函数值分别转化为0到2?的 角的同一三角函数值.

(1). 若sinα=1/3,且α的终边经过点p(—1,y), 则α是第几象限的角?并求cosα,tanα的值。

2 3 2 y? ,r ? 4 4
(2)下列四个命题中,正确的是 A.终边相同的角都相等 B.终边相同的角的三角函数相等 C.第二象限的角比第一象限的角大 D.终边相同的角的同名三角函数值相等

思考题
1.若点p(-8,y)是角α终边上一点,且sinα=3/5 ,则y的值是__________. 6 2.已知角α的终边经过点p(-4a,3a),(a≠0),求 sinα,cosα,tanα.

3、

1 y? (1)求函数 1 ? sin x

的定义域。

解:∵1+sinx≠0, ∴ sinx≠-1 即角x的终边不能在y轴的负半轴上。 3? ∴ x ? 2k? ? ,k∈Z, 2 故函数的定义域是
3? {x|x∈R,且 x ? 2k? ? ,k∈Z} 2 (2)求 y ? ? cos x ? tan x 的定义域.
sin x ? lg cos x (3)求 y ? 的定义域. tan x

5、设角? 属于第二象限角,且 cos 则角
?
2

?
2

? ? cos

?
2



属于第 C 象限角?

A.一 B.二

C.三 D.四

任意角的三角函数定义

y

P(x,y)


?的终边

y x sin ? ? , cos ? ? , tan ? ? r r r r csc ? ? , sec ? ? , cot ? ? y x
三角函数 sin ? cos ?

y x x y
R R

r
o x
2 2

r? x ?y
定义域

tan ?

{ ?? }

? k? ?

? , (k ? Z )
2

小结

小结 三角函数值的符号:

“第一象限全为正,二正三切四余弦”

sinx

Tanx cotx

cosx

sin( ? ? k ? 2? ) ? sin ?
诱导公式一

cos(? ? k ? 2? ) ? cos ? tan( ? ? k ? 2? ) ? tan ?


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