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椭圆试题


“椭圆”复习专题
题组一:标准方程的求法以及椭圆性质的应用
1、“ ?3 ? m ? 5 ”是“
A、充分不必要条件 2、若椭圆

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆”的( ) 5?m m?3
B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

1 x2 y2 ? 2 =1的焦点在 x 轴上,

过点(1, )作圆 x2 ? y 2 ? 1的切线,切点分别为 A,B,直线 2 2 a b

AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程式_______________ 3、已知椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 的上焦点为 F,直线 x ? y ? 1 ? 0 和 x ? y +1 ? 0 与椭圆分别相交于点 A, 3 4 B 和 C,D,则 AF ? BF ? CF ? DF 等于( )
A、 2 3 B、 4 3 C、4 D、8

4、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,弦 AB 过 F1 ,若 ?ABF2 的内切圆周长为 ? ,A,B 两 25 16 点的坐标分别为( x1 , y1 ),( x1 , y1 ),则 y1 ? y2 的值为( )
A、

5 3

B、

10 3

C、

20 3

D、

5 3

5、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的做左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆焦点相交于点 A、B,当 ?FAB 的周长最大时, 4 3 ?FAB 的面积是_______________

6、方程 x2 sin a ? y 2 cos a ? 1(0< a <

? )表示焦点在 Y 轴上的椭圆,则 a 的取值范围是( 2
C、(



A、(0,

? ) 4

B 、(0,

? ] 4

? ? , ) 4 2

D、[

? ? , ] 4 2

题组二:焦点三角形问题 1、
已知椭圆

x2 y2 ? =1 (a > b > 0) 的 两 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 若 椭 圆 上 存 在 一 点 P , 使 得 a 2 b2 ?F1PF2 ? 120? ,求椭圆的离心率 e 的取值范围。

1

2、

已知 F1 , F2 为椭圆

x2 y 2 ? =1 (0<b<10)的左、右焦点,P 是椭圆上一点。 100 b 2
的最大值; 且 ?F 1PF 2 的面积为

(1) 求 PF1 ? PF2

(2) 若 ?F1PF2 ? 60?

64 3 ,求 b 的值。 3

题组三:离心率的求法
1、设 F1 , F2 是椭圆
1 2
E

为 30 ? 的等腰三角形,则 E 的离心率为( A、 B、

3a x2 y2 ? 2 =1 (a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x ? 上一点, ?F2 PF 1 是底角 2 2 a b
) D、

2 3

C、

3 4

4 5

x2 y2 2 、 若 点 P 是 以 F1 , F2 为 焦 点 的 椭 圆 2 ? 2 =1 (a > b > 0) 上 一 点 , 且 PF 1 ? PF 2 ?0 , a b 1 tan ?PF1 F2 ? ,则此椭圆的离心率 e =( ) 2
A、

5 3

B、

2 3

C、

D、

1 2

3、已知椭圆

x2 y2 ? =1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF ? x 轴,直线 AB a 2 b2 交 y 轴于点 P,若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是( )
A、

3 2

B、

2 2

C、

1 3

D、

1 2

4、椭圆

x2 y2 ? =1 (a > b > 0) 的 左 、 右 顶 点 分 别 是 A 、 B , 左 、 右 焦 点 分 别 是 F1 , F2 , 若 a 2 b2

AF1 , F1 F2 , F1 B 成等比数列,则此椭圆的离心率为____________________。
x2 y2 5、过椭圆 2 ? 2 =1 (a>b>0)的左顶点 A 作斜率为 1 的直线,与椭圆的另一个交点 为 M,与 y 轴 a b
的交点 B,若 AM=MB,则该椭圆的离心率为_______________

2

6、已知椭圆

x2 y2 ? =1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1 (?c,0) , F2 (c,0) ,若椭圆上存在一点 P 使, a 2 b2 a c 则此椭圆的离心率的取值范围为_____________ ? sin ?PF1F2 sin ?PF2 F1 ,

题组四:点、直线与椭圆的位置关系
1、已知对 k ? R ,直线 y ? kx ? 1 ? 0 与椭圆 A、(0,1) B、(0,5)

x2 y 2 ? ? 1 恒有公共点,则实数 m 的取值范围是( ) 5 m
D、[1,5)

C、 [1,5) ? (5, ??)

x2 y2 2、已知椭圆E: 2 ? 2 =1 (a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点F的直线交椭圆与A,B 两点。若 a b
AB的中点坐标为(1,—1),则椭圆E的方程为( A、 ) D、

x2 y 2 ? =1 45 36

B、

x2 y 2 ? =1 36 27

C、

x2 y 2 ? =1 27 18

x2 y2 ? =1 18 9

x2 ? y 2 =1 AB 3、斜率为 1 的直线 L 与椭圆 4 相交于 A,B 两点,则 的最大值(



A、2

4 5 B、 5

4 10 C、 5
x2 ?

8 10 D、 5

4、设直线 L: 2 x ? y ? 2 ? 0

与椭圆

y2 ?PAB =1 4 的交点为 A、B,点 P 是椭圆上的动点,则使

1 面积为 3 的点 P 的个数为(
A、1 B、2

) C、3 D、4

5、设 P,Q分别为圆 A, 5 2 6、椭圆

x2 ? ( y ? 6)2 =2 和椭圆

x2 ? y 2 =1 上的点,则P,Q两点间的最大距离是 10
D, 6 2

B, 46+ 2

C, 7+ 2

x2 y2 ? =1 上有相异两点关于直线 y ? 4 x ? m 对称,求M的取值范围。 4 3

3

7、已知椭圆C:

x2 y2 5 ? 2 =1 (a>b>0)的一个焦点为 ( 5, 0) ,离心率为 2 a b 3

(1) 求椭圆C的标准方程。 (2) 若动点P (x0, y 0) 为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方 程。

8、已知椭圆C 形;

x2 y2 ? =1 (a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角 a 2 b2

(1) 求椭圆C的标准方程。 (2) 设 F 为椭圆C的左焦点,T为直线 x ? ?3 上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆 C 于点 P,Q ※证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点) ※当

TF PQ

最小时,求点 T 的坐标。

题组五:定点、定值问题
1、椭圆C:

x2 y2 3 ? 2 =1 (a>b>0)的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,离心率为 ,过 F1 且垂直于 X 轴的 2 a b 2

直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P 是椭圆C上除长轴端点外任意一点,连接 PF1 , PF2 ,设 ?F1PF2 的角平分线PM交C的长轴 于点M(m,0),求m的取值范围;

4

(3)在(2)的条件下,过点P做斜率为K的直线L,使得L与椭圆C有且只有一个公共点,设 直线 PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k2 ,若 k ? 0 ,试证明

1 1 ? =1 为定值,并求出这个定值。 kk1 kk2

( 1,) 2、椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 X 轴上,该椭圆经过点 P 且离心率为
(1)求椭圆 C 的标准方程;

3 2

1 2

(2)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交 A,B 两点(A,B 不是左右顶点)且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标。

3、已知椭圆

x2 y2 ? 2 =1(a>0,b>0)的左焦点 F 为圆 x2 ? y 2 ? 2x=0 的圆心,且椭圆上的点到点 F 的 2 a b 距离最小值为 2 ? 1

(1)求椭圆方程

(— , 0) (2)已知经过点F的动直线 l 与椭圆交于不同的两点A,B,点 M ,证明: MA ? MB 为定值

5 4

题组六:最值与范围问题
1、 F1

x2 y2 ? =1 的左焦点,P 是椭圆上的动点,A(1,1)为定点,则 PA + PF 是椭圆 1 的最小值 9 5

是______________

5

2、椭圆

x2 y2 ? =1 (a>b>0)的内接矩形的最大面积为__________________ a 2 b2 x2 y2 ? =1 (a>b>0)上点B(0,b),过 B 作椭圆割线交椭圆与另一点 P,则 PB 最 a 2 b2

3、已知椭圆

大值为___________________ 4、已知椭圆 4 x2 ? y 2 ? 1 及直线 y ? x ? m (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数 M 的取值范围 (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程

5、过点 P 作直线与椭圆 3x2 ? 4 y 2 ? 12 交于A,B 两点,O 为坐标原点 (— 3,0) (1)求 ?AOB 面积的最大值; (2)求 ?AOB 面积达到最大值时直线的倾斜角

6、在椭圆

x2 y2 ? =1 上求一点 P(x,y),使它们到直线 l : 3x ? 4 y ? 50 ? 0 的距离最大或最小,并求 16 9

出这个最大或最小值。

6


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