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直线与平面垂直的判定导学案


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§2.3.1
【学习目标】

直线与平面垂直的判定

1. 掌握直线与平面垂直的定义. 2. 理解直线与平面垂直的判定定理. 3. 会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系.
课堂六环节 一. 导-----引入新课(3 分钟) 二. 思-----自主学习.阅读课本 P64-67 页,认真完成以

下内容. 1.直线与平面垂直的定义是什么? 2.直线与平面垂直的判定定理,符号语言怎样表示? 注意:1)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; 2)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学 思想.? 3.什么是直线与平面所成的角?直线和平面所成角的取值范围? 规定:(1)直线与平面垂直时,所成的角为?(2)直线与平面平行或在平面内,所 成的角为? 4.求直线与平面所成的角的基本步骤?

【自主检测】?
1.若三条直线 OA,OB,OC 两两垂直,则直线 OA 垂直于( A.平面 OAB A. l ? m A.a⊥ ? B. B.平面 OAC B.l 可能和 m 平行 C.平面 OBC ). C.l 和 m 相交 D. l 和 m 不相交 ). 2.若直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? ? ,则( ). D.平面 ABC

3.直线 a⊥直线 b,b⊥平面 ? ,则 a 与β 的关系是(

a∥β .

C. a ? ?

D.a ? ? 或 a∥ ? a b
? n ??

【典例分析】
例 1.如右图所示:已知 a∥b,a⊥α ,求证:b⊥α .

α
PB 例 2.三棱锥 P ? ABC 中, PA ? BC, ? AC , PO ? 平面

m

ABC,垂足为 O,求证:O 为底面△ABC 的垂心.
?

?

1

?

变式为“已知 PA ? BC, ? AC ,求证 PC ? AB PB

例 3.已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 A1B1 的中点,求直线 AE 与在平面 ABC1D1 所成的角的正弦值.

三、议——小组起立热烈讨论,组员对对答案,C 提出问题,B 解决问 题,A 下结论,把难点、疑点报给老师。 (时间 9 分钟) 四、展——激情展示,每个学生都踊跃参加,把讨论的最佳结果展示给大家,组内尽可能 让 C 参与。(8 分钟) 五、评——老师总结知识点,对照答案,点评学生讨论过程中出现的难点。(9 分钟) 六、检——学习效果检测(时间 3 分钟)

1.(2008 全国卷)已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面
ABC 内的射影为 △ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于( )

A.

1 3

B.

2 3

C.

3 3

D.

2 3

2 .设三棱锥 P ? ABC 的顶点 P 在平面 ABC 上的射影是 H ,给出以下说法:

①若 PA ? BC , PB ? AC ,则 H 是 ?ABC 垂心; ②若 PA, PB, PC 两两互相垂直,则 H 是 ?ABC 垂心; ③若 ?ABC ? 90? , H 是 AC 的中点,则 PA ? PB ? PC ; ④若 PA ? PB ? PC ,则 H 是 ?ABC 的外心. 其中正确说法的序号依次是
3. 如图, PA ? 平面ABC , BC

.

? AC , 求证: BC ? 平面PAC.

?

2

?

【总结提升】:
1. 直线和平面垂直的定义:一条直线和平面内的任意一条直线都垂直,则这条直线和平面 垂直。 2. 直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直 线与该平面垂直. 3. 直线和平面所成角的取值范围为 ?0, ? ? 2?

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??

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3


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