nbhkdz.com冰点文库

2006全国数学联赛江苏夏令营


二○○六年江苏省数学夏令营(高中)测试卷
一.选择题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.答案填下第二页表格内. 1.已知 0 ? a ? ? ,则函数 f ? a ? ? 1 ? sin a ? 1 ? sin a 是

? A? 奇函数 ? C ? 既是奇函数又是偶函数

? B ? 偶函数
? D?

既不是奇函数又不是偶函数

解: D . 定义域关于原点不对称,既不是奇函数又不是偶函数. 2.已知 ? ??0, 2? ? ,集合 A ? ?sin ? ,sec? ? , B ? { , cos ? } .当 A ? B ? ? 时,

? 可取值的个数为

1 2

? A? 1
解: D . ∵ sec? ≥ 1,

? B? 2

?C ? 4

? D? 6

∴由 A ? B ? ? 可以得到一下情况:

① sec ? ? cos ? ,即 cos ? ? ?1 , ? ? 0, ? ; ② sin ? ?

1 ? 5? ,即 ? ? , ; 2 6 6

③ sin ? ? cos ? ,即 tan ? ? 1 , ? ? 共六个,选 D .

?
4



5? . 4

3.已知函数 y ? ax2 ? bx ? c 与 xy ? a ( ac ? 0 ,b ? 0 ) .它们在同一直角坐标系 中的图像可能是

? A?

? B?

?C ?

? D?

解: D . 由 a 、 c 同号可排除 C .由 a 的符号可排除 A .而 B 选项中 a ? 0 , b ? 0 ,排除. 4.?1 ? x ? 的展开式中有连续四项,其中前三项的系数成等差数列,后二项的系数
n

第 1 页 共 7 页

相等,这个展开式共有

? A? 6 项

? B? 7 项

?C ? 8 项
??? ? ??? ?

? D? 9 项
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

5.已知 O 是三角形 ABC 内一点,且满足 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则点 O 是三角形的

? A? 内心
解: C .

? B ? 重心

? C ? 垂心

? D? 旁心

k 设展开式各项的系数 ak ? Cn , k ? 0,1, 2,?, n .
n ?1 n ?1

由题知, 其中存在相连两项系数相等, ∴ n 为奇数. 此时 an?1 ? Cn 2 ? C2 2 ? a n?1 .
2 2

从而成等差数列的三项为 an?5 , an?3 , a n ?1 .
2 2 2

3 5 1 另 n ? 5,7 ,验证可得 C7 ? 35 ,C7 ? 21 成等差数列.∴ n ? 7 ,共 8 项. ? 7 ,C7

6. 使方程组 ? 的个数有

? ax ? by ? 1
2 2 ? x ? y ? 50

至少有一解, 且所有的解都是整数解的有序实数对 ( a, b)

? A? 78
解: 72 .

? B ? 66

? C ? 72

? D? 60

由于方程组所有的解都是整数解,所以直线过圆 x2 ? y 2 ? 50 上的两个整点,或者 是过某一个整点的切线. 由于圆 x2 ? y 2 ? 50 上的整点共 12 个,即 ? ?1, ?7 ? , ? ?7, ?1? , ? ?5, ?5? .
2 过这 12 个点之间两点的直线共 C12 ? 66 条直线.其中有 6 条直线是过原点的,不

能表示成 ax ? by ? 1的形式.所以过两点且满足条件的直线有 60 条. 另外过这 12 个点的切线有 12 条.这样总共有 72 条直线. 显然每一条直线都可以唯一确定一组有序实数对 ( a, b) .共 72 个有序实数对.

第 2 页 共 7 页

二○○六年江苏省数学夏令营(高中)测试卷
一.选择题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分. 题号 答案 1 D 2 D 3 D 4 C 5 C 6 C

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 9 分,共 54 分.答案填在题中横线上. 7. 从 6 双不同鞋子中任取 4 只, 使其中至少有 2 只鞋配成一双的概率是 解: .

17 . 33

4 16 17 C6 ? 24 240 16 先求不能配成一双的概率,为 ? ? .所以所求概率为1 ? ? . 4 33 33 C12 495 33
2 8.已知二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的判别式的值为 1,两实根之积为 4,

则动点 ? b, c ? 的轨迹方程为 解: x 2 ? y 2 ? 1( y ? 0 ) .



9.已知 a 、 b 是两个相互垂直的单位向量,而 c ? 13 , c ? a ? 3 , c ? b ? 4 .则对 于任意实数 t1 、 t 2 , c ? t1 a ? t1 b 的最小值是 解: 12 .

?

?

?

? ?

? ?

?

?

?



? ? ? 2 ?2 ? 2 2 ?2 ? ? ? ? ? ? c ? t1 a ? t2 b ? c ? t12 a ? t2 b ? 2t1 c ? a ? 2t2 c ? b ? 2t1t2 a ? b
2 ? 169 ? t12 ? t2 ? 6t1 ? 8t2 ? (t1 ? 3)2 ? (t2 ? 4)2 ?144≥ 144 .

10. 黑白蚂蚁同时从棱长为 a 的正方体的顶点 A 以相同的速度, 沿正方体的棱爬行,

i 若黑蚂蚁沿路线 AA 1 ? A 1D 1 ? ? 爬行,满足爬行的第 i ? 2 段与第 段互为异面直线;
白蚂蚁沿路线 AA 满足爬行的第 i ? 2 段与第 i 段互为异面直线, 则 1 ? A 1B 1 ? ? 爬行, 黑、白蚂蚁爬过 2006 段后彼此相距为 解: 2a . 11. 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且 Sn?1 ? 4an ? 2 , 则 an ? a1 ? 1 ,
第 3 页 共 7 页





解: (3n ? 1) ? 2n?2 . 由 Sn?1 ? 4an ? 2 得 Sn?2 ? 4an?1 ? 2 ,两式相减得 an?2 ? 4an?1 ? 4an . ∴ an?2 ? 2an?1 ? 2 ? an?1 ? 2an ? . 由 a1 ? 1 及 S2 ? a1 ? a2 ? 4a1 ? 2 得 a2 ? 3a1 ? 2 ? 5 .所以 a2 ? 2a1 ? 3 . 所以数列 ?an?1 ? 2an ? 是以 3 为首项, 2 为公比的等比数列, ∴ an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,从而 所以 {

an ?1 an a1 ? n ? 2 ? 3 .而 1? ? 2. n ?1 2 2 2 2

12.机器人根据指令在平面上至多能完成下列两步骤:先从原点 O 沿正东偏北 ? ( 0?≤? ≤90? )方向行走一段时间后,再向正北方向行走一段时间,但何时改变方向 不定,假定机器人行走速度为每分钟 10 米,则行走 2 分钟时,机器人所在位置的可能 范围的面积是 平方米. 解: 100? ? 200 . 三.解答题:本大题共 3 小题,每小题 20 分,共 60 分.解题必须写出必要步骤. 13.设△ ABC 的外接圆、内切圆半径分别为 R 、r .外心到重心的距离为 e ,

an ?1 } 是以 2 为首项, 3 为公差的等差数列. 2n ?1 a ? 3n ? 1 ,从而 an ? (3n ?1)2n?2 . 所以 n n 2 ?2

内心到重心的距离为 f .求证: R2 ? e2 ≥ 4(r 2 ? f 2 ) .

第 4 页 共 7 页

第 5 页 共 7 页

14.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )与双曲线 xy ? 1 仅有两个公共点,在 a 2 b2

第一象限内的公共点为 P ,设点 A ( a 2 ? b2 ,0 ) ,试用 a 表示△ OAP 的面积 S , 当 a 变化时,求 S 的取值范围.

第 6 页 共 7 页

15.在一张矩形纸上画有一个圆.米老鼠在圆内选中了 n 个点(但不在纸上标注出 来) ,称为“米氏点” .唐老鸭试图猜出这 n 个“米氏点” .在每一次尝试中,唐老鸭(在 圆内或圆外)指出一个点,米老鼠则告诉他,该点离最近的尚未被猜出的“米氏点”的 距离是多少.如果该距离为 0,则算他猜中一个“米氏点” .唐老鸭会在纸上标注点,会 累加距离,还会运用圆规和直尺作图.试问,唐老鸭是否一定可在少于 (n ? 1) 2 次尝试 后,猜出所有“米氏点”?

第 7 页 共 7 页


2006全国数学联赛江苏夏令营

2006全国数学联赛江苏夏令营_学科竞赛_高中教育_教育专区。二○○六年江苏省数学夏令营(高中)测试卷一.选择题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.答案...

2006-2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及答案全

2006-2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及答案全_学科竞赛_高中教育_教育专区。最新江苏数学竞赛试题2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 2006.4.2 8:00...

2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及解答

2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2005...2005年全国高中数学联赛... 9页 3下载券 2006-2013年全国高中数学... 57页...

2006年全国高中学生化学竞赛(江苏省赛区)夏令营选拔赛试题

2006年全国高中学生化学竞赛(江苏省赛区)夏令营选拔赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。“南京工业大学· 扬子石化杯” 2006年全国高中学生化学竞赛(江苏省赛区)夏令...

2006~2011年全国高中数学联赛_江苏赛区 初赛试卷(精华版)

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题小题, 要求直接将答案写在横线上) 一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上)...

2006年全国高中学生化学竞赛(江苏省赛区)夏令营选拔赛试题

“南京工业大学 扬子石化杯 南京工业大学·扬子石化杯 南京工业大学 扬子石化杯” 2006年全国高中学生化学竞赛 江苏省赛区 夏令营选拔赛试题 年全国高中学生化学竞赛(...

【联赛试题集】2003年江苏省数学夏令营数学竞赛题

2006新客贡献于2011-01-19 0.0分 (0人评价)暂无...第五届全国大学生数学夏令... 2页 1财富值 ...2003年江苏省数学夏令营数学竞赛题2003年江苏省数学夏令营...

2016年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案及评分细则

2016年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案及评分细则_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案及评分细则 ...

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题汇编2005~2010含答案细则

4 为所求的最小值. 2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 2006.4.2 8:00~11:00 本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分,共 150 分第Ⅰ...

我爱数学夏令营计算竞赛_试题(1993-2006)

我爱数学夏令营计算竞赛_试题(1993-2006)_数学_小学教育_教育专区。我爱数学夏令营计算竞赛 试题(1993-2006) 1993 年我爱数学夏令营计算竞赛 1.91.5+88.8+90....