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双曲线及其标准方程


2.3.1 双曲线及其标准方程

双曲线及其标准方程

双曲线能给我们人生什么样的启示呢?

回顾 1、椭圆是如何定义的?及标准方程如何? ?平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹是椭圆. ?其标准方程:
焦点在x轴上:
2 2 y x x 2 y2 焦点在y轴

上: ? 2 ? 1 (a>b>0) ? ? 1 2 2 2 a b a b

2、椭圆标准方程中字母b与a、c的关系如何?

b ? a ?c
2 2

2

问题探索研究
椭圆的定义?
Y

平面内与两个定点F1、F2的 距离的和等于常数2a(大于 |F1F2|)的点轨迹叫做椭圆。

M ? x, y ?

F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

思考:如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距 离之差”,那么点的轨迹是怎样的曲线? 即“平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 的点的轨迹 ”是什么? 学习在不断探索中进步

双曲线的定义
平面内与两定点F ,F 的距离的差的绝对值等 于常数2a(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
1 2

F1,F2 -----焦点 |F1F2| -----焦距记为2c
| |MF1| - |MF2| | = 2a
(这里c>a)
F1

M

F2

思考:
(1) 若2a=2c,则轨迹是什么? 两条射线 (2) 若2a>2c,则轨迹是什么?
不表示任何轨迹

(3) 若2a =0,则轨迹是什么?
线段F1F2的垂直平分线

如何求这优美的曲线的方程? 1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴, 线段F1F2的中点o为原点建立直角 坐标系 2.设点. 设M(x , y),双曲线的焦 距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0)
F1

y
M O F2 x

常数为2a
3.列式. |MF1|
2

|

- |MF2||= 2a
2 2 2
2 y - 2= 1 b

即 ( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? ? 2 a.
2 x 4.化简.得 a2

c ? a ?b
2 2

2

? 想一想
焦点在y轴上的双曲线 的标准方程是什么?
F1 (0,-c) , F2 (0,c)

y
M F2

x
F1

| ( y ? c ) ? x ? ( y ? c ) ? x |? 2 a .
2 2 2 2

化简为:

c ? a ?b
2 2

2

***问题*** 如何判断双曲线的焦点在哪个 轴上?
根据二次项系数的正负判断,谁的系 数为正焦点就在哪个轴上

? 例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲 线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6,则 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______ 3 5 4

(2) 双曲线的标准方程为______________
(3)双曲线上一点P, | |PF1| - |PF2| | = 6

例2 已知方程

x 2? m

2

?

y2 m ?1

?1

表示焦点在y轴的

m<-2 双曲线,则实数m的取值范围是______________ 变式: 上述方程表示双曲线,则m的取值范围是 m<-2或m>-1 __________________

? 课堂练习
? 求下列双曲线的标准方程:
答案: x
2

? 1.a=5,b=4且焦点在x轴上. ? 2.a=4,c=6且焦点在y轴上.
y 答案:
2

25
2

y ?
?

2

16
2

? 1;

y 答案:

16

20

x

? 1;

? 3.a=3,焦点坐标是(0,-5)和(0,5).
9 ? 16

x

2

? 1.

课时小结:
1、双曲线及其焦点,焦距的定义,双曲线的标准方程 以及方程中的a,b,c之间的关系 2、焦点位置的确定方法 3、双曲线标准方程对应图像

作业 :P51 练习A

双曲线虽然有些忧伤,但我们的人生是积极 快乐的,我们的人生由我们自己书写,同学们把 握住今天,为明天努力奋斗吧!


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