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2014 年最新编辑 巧用函数思想解数列题


2014 年最新编辑 巧用函数思想解数列题 从函数观点看,数列是定义域为正整数集或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的函数, 当自变量从小到大取值时相应的一列函数值,因此,用函数思想解数列题,思路自然,方 法简捷。 1. 利用周期性解题 例 1. 在数列 {an} 中,已知 a 1 ? 1,a 2 ? 5,a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ( n ? N * )

,则 a 2002 等于 ( ) A. -1 B. -5 C. 1 D. 5 解:因为 a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ( n ? N * ) 所以 a n ? 3 ? a n ? 2 ? a n ?1 两式相加,得 a n ? 3 ? ? a n 从而有 a n ? 6 ? ? a n ? 3 ? a n 即{an}是周期为 6 的数列,所以 a 2002 ? a 6? 333? 4 ? a 4 ? ? a 1 ? ?1 选A 2. 利用单调性解题 1 1 1 1 例 2. 设 n ? N * ,且 n>1,求证 (1 ? )(1 ? )(1 ? )? (1 ? )? 3 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2 1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )(1 ? )? (1 ? ) 3 5 7 2 n ? 1 ( n ? 2,3, ? ) 证明:令 a n ? 2n ? 1 1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )? (1 ? )(1 ? ) 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 3 (1 ? 1 ) 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 则 a n ?1 a 于是 n ?1 ? an ? 2n ? 2 (2 n ? 1)(2 n ? 3) ? 2( n ? 1) 4( n ? 1) 2 ? 1 ?1 所以 a n ?1 ? a n 即 an 是 n 的单调递增函数,其中 n=2,3,4,… 又 a2 ? 1? 1 3 ? 16 ? 16 ? 1 45 64 2 5 所以当 n=2,3,4,…时,都有 a n ? 1 2 2n ? 1 2 1 1 1 1 故 (1 ? )(1 ? )(1 ? )? (1 ? )? 3 5 7 2n ? 1 3. 利用图象解题 例 3. 已知数列{an}的通项公式 a n ? 项与最小项分别为( ) n ? 97 n ? 98 ( n ? N * ) ,则数列{an}的前 30 项中最大 A. a1,a10 解:因为 a n ? B. a1,a9 C. a10,a30 D. a10,a9 n ? 97 n ? 98 ?1? 98 ? 97 n ? 98 ,由图象,知选 D。 4. 分离参数解题 例 4. 已 知 a>0 且 a ≠ 1 , 数 列 {an} 是 首 项 为 a , 公 比 为 a 的 等 比 数 列 , 设 b n ? a n lg a n ( n ? N * ) ,若 b n ? b n ?1 对任意 n ? N * 恒成立,求实数 a 的取值范围。 解:依题意,得 a n ? a ? a n ?1 ? a n ,所以 b n ? a n lg a n ? a n lg a n ? na n lg a 于是 b n ? b n ?1 ? b n ? b n ?1 ? 0 ? na n lg a ? ( n ? 1)a n ?1 lg a ? 0 (1)当 a>1 时, lg a ? 0 所以 a ? n ,故 a ? l( n

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