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导数专题理科


1.函数 f ( x) ? 2 ? 4 x ? 3 的零点所在区间是(
x



1 1 ( , ) A. 4 2

1 ( ? ,0) B. 4

1 (0, ) 4 C.

1 3 ( , ) D. 2 4

?0, π? 上单调递减”的 2.

“ ? ? 1 ”是“ 函数 f ( x) ? cos ? x 在区间
A.充分不必要条件 C.充分必要条件
3

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A ? 0,16? 3.已知函数 f ( x) ? x ? 3x ,若过点 且与曲线 y ? f ( x ) 相切的切线方程为
y ? ax ? 16 ,则实数 a 的值是(
A. ?3 B. 3 ) C.6 D.9

x1 ? x 2 f ( x 1) ? f (x 2 ) )? , 则称 2 2 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 若 ?x1 , x2 ? I , 都有 f ( 1 , 则称 f ( x ) f ( x) 是区间 I 的向上凸函数; 2 2 是区间 I 的向下凸函数. 有下列四个判断:
4. 设 f ( x ) 在 区间 I 上 有定 义 , 若 ?x1 , x2 ? I , 都有 f ( ①若 f ( x ) 是区间 I 的向上凸函数,则 ? f ( x) 是区间 I 的向下凸函数; ②若 f ( x ) 和 g ( x) 都是区间 I 的向上凸函数, 则 f ( x) ? g ( x) 是区间 I 的向上凸函数; ③若 f ( x ) 在区间 I 的向下凸函数且 f ( x) ? 0 ,则

1 是区间 I 的向上凸函数; f ( x)
x1 ? x2 ? x3 ? x4 ) 4

④若 f ( x ) 是区间 I 的向上凸函数, ?x1 , x2 , x3 , x4 ? I , 则有 f (

?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 ) 4
) C.3 D.4 .

其中正确的结论个数是( A.1 B.2
ax

5.设曲线 y ? e 在点 (0, 1) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? 6.(本题满分 14 分)

(x + ) ? ax ,其中 a ? R 且 a ? 0 . 已知函数 f ( x) ? ln
(1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2) 若不等式 f ( x ) ? ax 恒成立,求实数 a 取值范围; (3)若方程 f ( x ) ? 0 存在两个异号实根 x1 , x2 ,求证: x1 ? x2 ? 0

1 a

7.(本小题满分 14 分) 已知定义在实数集上的函数 f n ( x) ? xn , n ? N ? ,其导函数记为 f n?( x) , (1)设函数 g ( x) ? f 2 n?1 ( x) ? f n (1 ? x) ,求 g ( x) 的极大值与极小值; (2)试求关于 x 的方程

f n?(1 ? x) 2n ? 1 在区间 (0,1) 上的实数根的个数. ? n ?1 f n??1 (1 ? x) 2 ? 1

8. (本小题满分 14 分) 9x 已知函数 f ( x)? (a ? 0) . 1 ? ax2
1 (1)求 f ( x)在[ ,2]上的最大值; 2

(2)若直线 y ? ? x ? 2a 为曲线 y ? f ( x)的切线,求实数 a 的值;
?1 ? ? ,x14 ? ? , 2 ? , 且 x1 + x 2 + ? + x 1 ? ( 3 ) 当 a ? 2 时 , 设 x1 ,x2 , 4 14 , 若 不 等 式 ?2 ?
f ( x1 )+ f ( x2 )+ ?+f ( x14 )? ? 恒成立,求实数 ? 的最小值.

9. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? x ln x ? b 是奇函数,且图像在点 (e, f (e)) 处的切线斜率为 3 ( e 为自然对数的底数) . (1)求实数 a 、 b 的值; (2)若 k ? Z ,且 k ?

f ( x) 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值; x ?1

(3)当 m ? n ? 1 (m, n ? Z ) 时,证明: nm

?

m n

? ? ? mn ?

n m



2 10.(本小题满分 14 分)已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c,(a ? 0) ,且不等式 f ( x) ? 2 x 的

2) .(1) 方程 f ( x) ? 3a ? 0 有两个相等的实根,求 f ( x) 的解析式. 解集为 (?1 ,
(2) f ( x) 的最小值不大于 ?3a ,求实数 a 的取值范围. (3) a 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? ( x ? ax ? m) ( | m |? 1 )存在零点,并求出零点.
2

11. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln ? 2ax ? 1? ? (1)若 x ? 2 为 f ( x ) 的极值点,求实数 a 的值;

x3 ? x 2 ? 2ax ? a ? R ? . 3

(2)若 y ? f ( x) 在 ?3 , ? ?? 上为增函数,求实数 a 的取值范围;

1 ?1 ? x ? + b 有实根,求实数 b 的最大值。 (3)当 a ? ? 时,方程 f ?1 ? x ? ? 2 3 x
3

12. (本小题满分 14 分) 已知三次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? a, b, c ? R ? .
3 2

( 1 )若函数 f ( x ) 过点 (? 1, 2)且在点 1 , f ? 1? 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 ,求函数

?

?

f ? x ? 的解析式;
(2)当 a ? 1 时,若 ?2 ? f (?1) ? 1, ?1 ? f (1) ? 3 ,试求 f (2) 的取值范围; (3) 对 ?x ?? , ?1 的表达式. 13. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln(1 ? x2 ) (1)当 a ? 都有 ?, 试求实数 a 的最大值, 并求 a 取得最大值时 f ? x ? f ?( x) ? 1 ,

4 时,求函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上的极值; 5 1 1 1 )(1 ? 4 )? (1 ? 4 ) ? e (n ? N ? , n ? 2, e为自然对数的底数) . 4 2 3 n
x

(2)证明:当 x ? 0 时, ln(1 ? x2 ) ? x ; (3)证明: (1 ?

14. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ? kx, x ? R . (1)若 k ? e ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f (| x |) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证: F (1) F (2) ??? F (n) ? (e
n ?1

? 2) (n ? N * ) .

n 2

1、A 2.A 3.C 4、D 6. (本题满分 14 分) 解:(1) f ( x ) 的定义域为 ( ?

5. 2

1 ,?? ) . a

其导数 f ( x) =

'

1 x+ 1 a

- a= -

a2 x ???????????????????2 分 ax + 1
1 ,?? ) 上是增函数; a

①当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,函数在 ( ? ②当 a ? 0 时,在区间 (所以, f ( x ) 在 (-

1 , 0) 上, f '( x) ? 0 ;在区间(0,+∞)上, f '( x) ? 0 . a

1 , 0) 是增函数,在(0,+∞)是减函数. ????????????4 分 a 1 (2)当 a ? 0 时, 则 x 取适当的数能使 f ( x) ? ax ,比如取 x ? e ? , a 1 1 1 能使 f (e ? ) ? 1 ? a (e ? ) ? 2 ? ae ? 0 ? ae ? 1 ? a (e ? ) , 所以 a ? 0 不合题意?6 分 a a a 1 当 a ? 0 时,令 h( x) ? ax ? f ( x) ,则 h( x) ? 2ax ? ln( x ? ) a
问题化为求 h( x) ? 0 恒成立时 a 的取值范围.

? 1 x? a 1 1 1 ) 上, h' ( x) ? 0 ;在区间 ( ? ,?? ) 上, h' ( x) ? 0 . ????8 分 ? 在区间 (- , a 2a 2a 1 1 ? h( x) 的最小值为 h(? ) ,所以只需 h(? ) ? 0 2a 2a 1 1 1 1 e ) ? ln(? ? ) ? 0 ,? ln ? ?1 ,? a ? ????????????10 分 即 2a ? ( ? 2a 2a a 2a 2 1 ( 3 ) 由 于 f ( x ) ? 0存 在 两 个 异 号 根 x1 , x2 , 不 仿 设 x1 ? 0 , 因 为 ? ? x1 ? 0 , 所 以 a
'

由于 h ( x) ? 2a ?

1

2a ( x ?

1 ) 2a 1 x? a

a ? 0 ????????????????????????????????11 分
构造函数: g ( x) ? f (? x) ? f ( x) ( ?

1 ? x?0) a

1 1 ? g ( x) ? ln( ? x) ? ln( x ? ) ? 2ax a a

g ' ( x) ?

1 x? 1 a

?

1 x? 1 a

? 2a ?

2ax 2 ?0 1 2 x ? 2 a

所以函数 g ( x) 在区间 (?

1 1 , 0) 上为减函数. ? ? ? x1 ? 0 ,则 g ( x1 ) ? g (0) ? 0 , a a

于是 f (- x1 ) - f ( x1 ) > 0 , 又 f ( x1 ) ? 0 , f (- x1 ) > 0 = f ( x2 ) , 由 f ( x ) 在 (0, ??) 上为减 函数可知 x2 ? ? x1 .即 x1 ? x2 ? 0 ?????????????????14 分 7.(本小题满分 14 分) 已知定义在实数集上的函数 f n ( x) ? xn , n ? N ? ,其导函数记为 f n?( x) , (1)设函数 g ( x) ? f 2 n?1 ( x) ? f n (1 ? x) ,求 g ( x) 的极大值与极小值; (2)试讨论关于 x 的方程

f n?(1 ? x) 2n ? 1 ? n ?1 在区间 (0,1) 上的实数根的个数. f n??1 (1 ? x) 2 ? 1

解: (1)令 y ? g ( x) ? f 2n?1 ( x) ? f n (1 ? x) ? (1 ? x)n ? x2n?1 ,则

y? ? ?n(1 ? x)n?1 ? x2n?1 ? (2n ? 1) x2n?2 ? (1 ? x)n ? x2n?2 ? (1 ? x)n?1[(2n ? 1) ? (3n ? 1) x] ,?3 分 2n ? 1 令 y ? ? 0 ,得 x1 ? 0, x 2 ? , x3 ? 1 ,且 x1 ? x2 ? x3 , 3n ? 1 当 n 为正偶数时,随 x 的变化, y? 与 y 的变化如下:
x
y?

(??,0)

0

(0,

?

0

2n ? 1 ) 3n ? 1 ?

2n ? 1 3n ? 1
0 极大值

(

2n ? 1 ,1) 3n ? 1 ?

1
0

(1, ??)

?

y
所以当 x ?

极小值

(2n ? 1) 2 n ?1 ? n n 2n ? 1 时, y 极大= ;当 x ? 1 时, y 极小=0.????4 分 (3n ? 1)3n ?1 3n ? 1

当 n 为正奇数时,随 x 的变化, y? 与 y 的变化如下:

x
y?

(??,0)

0

(0,

?

0

2n ? 1 ) 3n ? 1 ?

2n ? 1 3n ? 1
0 极大值

(

2n ? 1 ,1) 3n ? 1 ?

1
0

(1, ??)

?

y
所以当 x ? (2)?

(2n ? 1) 2 n ?1 ? n n 2n ? 1 时, y 极大= ;无极小值.????8 分 (3n ? 1)3n ?1 3n ? 1

f n?(1 ? x) 2n ? 1 n(1 ? x)n ?1 2n ? 1 ? n ?1 ? n ?1 ( x ? ?1) , ,即 n f n??1 (1 ? x) 2 ? 1 (n ? 1)(1 ? x) 2 ?1 n 1 2n ? 1 ? ? n ?1 ( x ? ?1) ,????9 分 (n ? 1) 1 ? x 2 ? 1

所以方程为

?x ?

n(2n ?1 ? 1) ? (n ? 1)(2n ? 1) 1 ? (n ? 1)2n ? ? 0 ,????10 分 (n ? 1)(2n ? 1) (n ? 1)(2n ? 1)

又 x ?1 ?

n ? 2 ? 2n ?1 1 n?1 ,由二项式定理知: 2n?1 ? (1 ? 1)n?1 ? 1? Cn ?1 ? ? Cn?1 (n ? 1)(2n ? 1)

故对于 n ? N ? ,有 2n ?1 ? n ? 2 ,? x ? 1 ????13 分 综上,对于任意给定的正整数 n ,方程只有唯一实根,且总在区间 (0,1) 内,所以原方程在 区间 (0,1) 上有唯一实根.????14 分 8. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x)?
9x (a ? 0) . 1 ? ax2

1 (1)求 f ( x)在[ ,2]上的最大值; 2

(2)若直线 y ? ? x ? 2a 为曲线 y ? f ( x)的切线,求实数 a 的值;
?1 ? ? ,x14 ? ? , 2 ? , 且 x1 + x 2 + ? + x 1 ? ( 3 ) 当 a ? 2 时 , 设 x1 ,x2 , 4 14 , 若 不 等 式 ?2 ?
f ( x1 )+ f ( x2 )+ ?+f ( x14 )? ? 恒成立,求实数 ? 的最小值.

解: (1) f ?( x) ?

9[1? (1 ? ax 2 ) ? x ? 2ax] 9(1 ? ax 2 ) ,??????????2 分 ? (1 ? ax 2 )2 (1 ? ax 2 )2
a (负值舍去) , a

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?



1 1 a ? ? 2 ,解得 ? a ? 4 . 4 2 a

1 1 时,由 x ? [ , 2] ,得 f ?( x) ? 0 , 2 4 18 1 .?????????????3 分 ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值为 f (2) ? 4a ? 1 2 1 (ⅱ)当 a ? 4 时,由 x ? [ , 2] ,得 f ?( x) ? 0 , 2 1 18 1 .??????????????4 分 ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值为 f ( ) ? 2 a?4 2
(ⅰ)当 0 ? a ? (ⅲ) 当

1 1 a a ? a ? 4 时, 时, f ?( x) ? 0 , 在 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , ?在 ? x ? 4 2 a a

1 a 9 a .?????????????5 分 f ) = ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值为 ( 2 a 2a
? f ?(t ) ? ?1, (2)设切点为 (t , f (t )) ,则 ? ? f (t ) ? ?t ? 2a.

???????????6 分

由 f ?(t ) ? ?1 ,有

9[1 ? at 2 ] ? ?1,化简得 a 2t 4 ? 7at 2 ? 10 ? 0 , 2 2 (1 ? at )

即 at 2 ? 2 或 at 2 ? 5 , ???????????① 由 f (t ) ? ?t ? 2a ,有

9t ? 2a ? t ,?????② 1 ? at 2

由①、②解得 a ? 2 或 a ? (3)当 a ? 2 时, f ( x) ?

53 4 . 4

?????????????????9 分

9x , 1 ? 2x2

由(2)的结论直线 y ? 4 ? x 为曲线 y ? f ( x) 的切线,

? f (2) ? 2 ,? 点 (2, f (2)) 在直线 y ? 4 ? x 上,
根据图像分析,曲线 y ? f ( x) 在直线 y ? 4 ? x 下方. 下面给出证明:当 x ? [ , 2] 时, f ( x) ? 4 ? x . ??????????10 分

1 2

? f ( x) ? (4 ? x) ?

2 9x 2 x3 ? 8 x 2 ? 10 x ? 4 ( 2 x ? 1) ( x ? 2) ? 4 ? x ? ? , 2 2 1? 2x 1? 2x 1 ? 2x2

1 ? 当 x ? [ , 2] 时, f ( x) ? (4 ? x) ? 0 ,即 f ( x) ? 4 ? x .?????????12 分 2

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( x14 ) ? 4 ?14 ? ( x1 ? x2 ? ? ? x14 ) ,
? x1 ? x2 ? ? ? x14 ? 14 , ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?? f ( x14 ) ? 56 ?14 ? 42 .
? 要使不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?? f ( x14 ) ? ? 恒成立,必须 ? ? 42 .?????13 分
又? 当 x1 ? x2 ? ? ? x14 ? 1 时,满足条件 x1 ? x2 ? ? ? x14 ? 14 , 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( x14 ) ? 42 , 因此, ? 的最小值为 42 . 9. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ( x) 是奇函数,所以 f (? x) ? ? f ( x) ,即 ???????????????????14 分

a(? x) ? (? x) ln | ? x ? b |? ?(ax ? x ln | x ? b |)
所以 ln | ? x ? b |? ln | x ? b | ,从而 b ? 0
/ 此时 f ( x) ? ax ? x ln | x | , f ( x) ? a ? 1 ? ln | x | / 依题意 f (e) ? a ? 2 ? 3 ,所以 a ? 1

??1 分, ??2 分, ??3 分, ??4 分

(2)当 x ? 1 时,设 g ( x ) ? 则 g ( x) ?
/

f ( x) x ? x ln x ? , x ?1 x ?1
??5 分

x ? 2 ? ln x ( x ? 1) 2
/

设 h( x) ? x ? 2 ? ln x ,则 h ( x) ? 1 ?

1 ? 0 , h( x) 在 (1 , ? ?) 上是增函数 x

因为 h(3) ? 1 ? ln 3 ? 0 , h(4) ? 2 ? ln 4 ? 0 , 所以 ?x0 ? (3 , 4) ,使 h( x0 ) ? 0 ??7 分

x ? (1 , x0 ) 时, h( x) ? 0 , g / ( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 (1 , x0 ) 上为减函数;
同理 g ( x) 在 ( x0 , ? ?) 上为增函数 从而 g ( x) 的最小值为 g ( x0 ) ?

x0 ? x0 ln x0 ? x0 x0 ? 1
??9 分。

所以 k ? x0 ? (3 , 4) , k 的最大值为 3

(3)要证 (nmm ) n ? (mnn ) m ,即要证 n ln n ? mn ln m ? m ln m ? mn ln n ??10 分, 即证 n(1 ? m) ln n ? m(1 ? n) ln m , n ? 1 ? m ? 1 设 ? ( x) ?
/

n ln n

m ln m

??11 分,

x ln x ,x ?1 x ?1

??12 分,

则 ? ( x) ?

x ? 1 ? ln x ( x ? 1) 2
/

设 g ( x) ? x ? 1 ? ln x ,则 g ( x ) ? 1 ? x ? 0 , g ( x) 在 (1 , ? ? 0 ) 上为增函数,

1

?x ? 1 , g ( x) ? g (1) ? 1 ? 1 ? ln1 ? 0 ,
/ 从而 ? ( x) ? 0 , ? ( x) 在 (1 , ? ?) 上为增函数

因为 m ? n ? 1 ,所以 ? (n) ? ? (m) , 所以 (nm ) ? (mn )
m n n m

n ln n m ln m ? , n ?1 m ?1
??14 分

2) , 10.解:∵ f ( x) ? 2 x 的解集为 (?1 ,
2 2) , (b ? 2)x ? c ? 0 的解集为 (?1 , ∴ ax ?

????????1 分

2 (b ? 2)x ? c ? 0 的两根为 ?1 和 2 ∴ a ? 0 ,且方程 ax ?

?a ? b ? 2 ? c ? 0 ?b ? 2 ? a ?? ? 4 a ? 2 b ? 4 ? c ? 0 ?c ? ?2a ,∴ 即?

f (x) ?ax 2 ?(2 ?a)x ?2a ,(a ? 0)
2

??2 分

(1)∵

方程 f ( x) ? 3a ? 0 有两个相等的实根,即 ax ? (2 ? a) x ? a ? 0 有两个相等的实根 ∴ ? ? (2 ? a) ? 4a ? 0 ? 3a ? 4a ? 4 ? 0 ,
2 2 2

∴ a ? ?2 或

a?

2 3

2 a? 3, ∵ a ? 0 ,∴

????3 分 2 4 4 f ( x) ? x 2 ? x ? 3 3 3 ∴

????4 分

2 ? a 2 ?8a 2 ? (2 ? a) 2 f ( x) ? ax 2 ? (2 ? a) x ? 2a ? ( a x? )? 2a 4a (2)

?8a 2 ? (2 ? a) 2 4a ∵ a ? 0 ,∴ f ( x) 的最小值为 ,
?8a 2 ? (2 ? a) 2 ? ?3a 2 4a 则 , 3a

????????5 分

? 4a ? 4 ? 0 ,解得

?2 ? a ?

2 3,

????7 分

∵ a ? 0 ,∴ (3)由

0?a?

2 3

?????????8 分 ,得 (a ?1) x ? 2 x ? (2a ? m) ? 0
2

y ? f (x) ? (x 2 ? ax ? m) ? 0,(a ? 0, m ? 1)

(※)

①当 a ? 1 时,方程(※) 有一解

x?

m ?1 2 , x? m ?1 2 ; ????????9 分

函数 y ? f ( x) ? ( x ? ax ? m) 有一零点
2

2 ? ? 4? ? 2a ? (m ? 2)a ? (1 ? m) ? ? ②当 a ? 1 时, 2 ? ? ? 4? ? 2a ? (m ? 2)a ? (1 ? m) ? ??0

方程(※)有一解

,

2 令 ?1 ? 4m ? 4m ? 4 ? 0

| m |? 1 即m ? 1或m ? ?1 , 得 m ? 2 2 ? 2或m ? ?2 2 ? 2 , ?

? i)当 m ? 1 ,

a?

2 ? m ? 4m 2 ? 4m ? 4 2 ? m ? 4m 2 ? 4m ? 4 a? 4 4 时, ( (负根舍去) ) ,函数

y ? f ( x) ? ( x2 ? ax ? m) 有一零点

x?

1 1? a .

?????10 分

ii) 当 m ? ?2 2 ? 2 时, a 的两根都为正数,? 当
a? 2 ? m ? 4m 2 ? 4m ? 4 4 时,函数

a?

2 ? m ? 4m 2 ? 4m ? 4 4 或

y ? f ( x) ? ( x2 ? ax ? m) 有一零点

x?

1 1 ? a .11 分

2 ⅲ) 当 ?2 2 ? 2 ? m ? ?1 时, ?1 ? 4m ? 4m ? 4 ? 0 ,?? ? 0
2 ? ? ? 4? ? 2a ? (m ? 2)a ? (1 ? m) ? ??0

③方程(※)有二解 i) (
a?

,

若 m ? 1 , ?1 ? 4m ? 4m ? 4 ? 0 ,
2

a?

2 ? m ? 4m 2 ? 4m ? 4 4 时,

2 ? m ? 4m 2 ? 4m ? 4 4 (负根舍去) ) ,函数

y ? f ( x) ? ( x2 ? ax ? m)

有两个零点 ii)

x

1, 2

?

2 2 ?2 ? 4 ? ?2a ? (m ? 2)a ? (1 ? m) ? ? ?1 ? 2a ? (m ? 2)a ? (1 ? m) ? 2 ? a ? 1? a ?1

; ?12 分

2 当 m ? ?2 2 ? 2 时, ?1 ? 4m ? 4m ? 4 ? 0 , a 的两根都为正数,

?当

a?

2 ? m ? 4m 2 ? 4m ? 4 2 ? m ? 4m2 ? 4m ? 4 0?a? 4 4 或 时,
?1 ? 2a 2 ? (m ? 2)a ? (1 ? m) a ?1 。??13 分

2 x1, 2 ? 函数 y ? f ( x) ? ( x ? ax ? m) 有两个零点

2 ⅲ) 当 ?2 2 ? 2 ? m ? ?1 时, ?1 ? 4m ? 4m ? 4 ? 0 ,?? ? 0 恒成立,

2 ? a 取大于 0( a ? 1 )的任意数,函数 y ? f ( x) ? ( x ? ax ? m) 有两个零点

x

1, 2

?

?1 ? 2a 2 ? (m ? 2)a ? (1 ? m) a ?1

?14 分

11. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ?( x) ?

x? 2ax 2 ? ?1 ? 4a ? x ? 4a 2 ? 2 ? 2a 2 ? ? .??1 分 ? x ? 2 x ? 2a ? 2ax ? 1 2ax ? 1 因为 x ? 2 为 f ? x ? 的极值点,所以 f ? ? 2? ? 0 .?????????????2 分


?

?

2a ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 . 4a ? 1

????????????????3 ?????4

分 又当 a ? 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ,从而 x ? 2为f ( x) 的极值点成立. 分 (2)因为 f ? x ? 在区间 ?3, ?? ? 上为增函数, 所以 f ? ? x ? ? 分

2 2 ? x? ? 2ax ? ?1 ? 4a ? x ? ? 4a ? 2 ? ?

2ax ? 1

? 0 在区间 ?3, ?? ? 上恒成立.???5

? ?) 上为增 ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ? 0 在 [3, ??) 上恒成立,所以 f ( x)在[3 ,
函数,故 a ? 0 符合题意.????????????????6 分

②当 a ? 0 时,由函数 f ? x ? 的定义域可知,必须有 2ax ? 1 ? 0 对 x ? 3 恒成立,故只能

a ? 0, 所以 2ax2 ? (1 ? 4a) x ? (4a2 ? 2) ? 0对x ?[3 , ? ?) 上恒成立.
分 令 g ( x) ? 2ax2 ? (1 ? 4a) x ? (4a2 ? 2) ,其对称轴为 x ? 1 ? 分

????????7 ????8

1 , 4a

1 ? 1 ,从而 g ( x) ? 0在[3 , ? ?) 上恒成立,只要 g (3) ? 0 即可, 4a 2 因为 g ? 3? ? ?4a ? 6a ? 1 ? 0 ,解得
因为 a ? 0 所以 1 ?

3 ? 13 3 ? 13 . ?a? 4 4 3 ? 13 因为 a ? 0 ,所以 0 ? a ? . 4 ? 3 ? 13 ? ?. 综上所述, a 的取值范围为 ?0 , 4 ? ?
分 (3)若 a ? ?

??????????????9 分

???????????10

b 1 (1 ? x)3 b + 可化为, ln x ? (1 ? x) 2 ? (1 ? x) ? . 时,方程 f (1 ? x) ? 2 x 3 x 2 2 3 问题转化为 b ? x ln x ? x(1 ? x) ? x(1 ? x) ? x ln x ? x ? x 在 ? 0 , ? ?? 上有解,
即求函数 g ( x) ? x ln x ? x ? x 的值域.
2 3

????????????11



以下给出两种求函数 g ? x ? 值域的方法:
2 方法 1:因为 g ? x ? ? x ln x ? x ? x ,令 h( x) ? ln x ? x ? x2 ( x ? 0) ,

?

?

则 h?( x) ? 分

1 (2 x ? 1)(1 ? x) ? 1 ? 2x ? , x x

????????????12

所以当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 ,从而 h( x)在(0 , 1) 上为增函数, 当 x ?1 时, h?( x) ? 0 ,从而 h( x)在(1,??) 上为减函数, 分 因此 h( x) ? h(1) ? 0 . 而 x ? 0 ,故 b ? x ? h( x) ? 0 , 因此当 x ? 1 时, b 取得最大值 0. 分 ???????????????14 ??????13

2 2 方法 2:因为 g ? x ? ? x ln x ? x ? x ,所以 g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2x ? 3x .

?

?

设 p( x) ? ln x ? 1 ? 2 x ? 3x ,则 p?( x) ?
2

1 6 x2 ? 2 x ?1 . ? 2 ? 6x ? ? x x 1? 7 1? 7 当0 ? x ? 时, p? ? x ? ? 0 ,所以 p ? x ? 在 (0 , ) 上单调递增; 6 6 1? 7 1? 7 , ? ?) 上单调递减; 当x? 时, p? ? x ? ? 0 ,所以 p ? x ? 在 ( 6 6

因为 p ?1? ? 0 ,故必有 p ? ? 因此必存在实数 x0 ?(

? 1? 7 ? ? 0 ,又 p ? 1 ? ? ?2 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? 3 ? 0 , ? ? ? 2? e2 e4 e4 ? 6 ? ?e ?

1 1? 7 , )使得 g '( x0 ) ? 0 , e2 6 ? ) ? ,所以 ?当0 ?x ?x 0 g ( x)在? 0 , x0 ? 上单调递减; 0时,g ( x
当 x0 ? x ? 1 时, g?( x) ? 0 ,所以 g ( x)在? x0 ,1? 上单调递增; 当 x ?1 时, g '( x) ? 0 , 所以g( x)在?1, ? ?? 上单调递减; 又因为 g ( x) ? x ln x ? x ? x ? x(ln x ? x ? x ) ? x(ln x ? ) ,
2 3 2

1 4

ln x ? 当 x ? 0时 ,

因此当 x ? 1 时, b 取得最大值 0. ????????????????14 分 12. (本小题满分 14 分) 解: (1)∵函数 f ( x ) 过点 (?1, 2) ,∴ f (?1) ? ?a ? b ? c ? 2 , ①

1 ? 0 ,则 g ( x) ? 0 ,又 g (1) ? 0 . 4

又 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,函数 f ( x ) 点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 , ∴?

? f (1) ? ?2 ?a ? b ? c ? ?2 ,∴ ? , ? f ?(1) ? 0 ?3a ? 2b ? c ? 0



由①和②解得 a ? 1 , b ? 0 , c ? ?3 ,故 f ( x) ? x3 ? 3x ; -------------4 分 (2)法一、 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 1 可得: c ?

? f (1) ? 1 ? b ? c, f (?1) ? ?1 ? b ? c
----------------------6 分

f (1) ? f (?1) f (1) ? f (?1) ? 1, b ? 2 2

f (2) ? 8 ? 4b ? 2c ? 3 f (1) ? f (?1) ? 6

----------------7 分

? ? 2 ? f (?1) ? 1,?1 ? f (1) ? 3 。?1 ? f (2) ? 16 .----------9 分

法二、 f (1) ? 1 ? b ? c, f (?1) ? ?1 ? b ? c

又 ? 2 ? f (?1) ? 1,?1 ? f (1) ? 3

? ?2 ? b ? c ? 2,?1 ? b ? c ? 2. (★)
作出(★)不等式表示的平面区域如图:目标函数: f (2) ? 4b ? 2c ? 8 ------7 分 如图示当直线 z ? 4b ? 2c 过点 A(2,0) 时,

f (2) ? 4b ? 2c ? 8 取最大值 16.
当 直 线 z ? 4b ? 2c 过 点 B (? 时,

3 1 ,? ) 2 2

f (2) ? 4b ? 2c ? 8 取最小值 1.
综上所得:?1 ? f (2) ? 16 --9 分 (3)∵ f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ,



? f ?(0) ? c ? ? f ?( ?1) ? 3a ? 2b ? c , 可 得 ? f ?(1) ? 3a ? 2b ? c ?
? (? 1 ) ? 6a ? f ?f ? . 分 (1 ?) f 2 -------10 ( 0 )

∵当 ?1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 1,∴ f ?(?1) ? 1, f ?(0) ? 1 , f ?(1) ? 1, ∴ 6 | a |? f ?(?1) ? f ?(1) ? 2 f ?(0) ? f ?(?1) ? f ?(1) ? 2 f ?(0) ? 4 ,----12 分

2 2 ,故 a 的最大值为 , 3 3 ? f ?(0) ? c ? 1 ? 2 当 a ? 时, ? f ?(?1) ? 2 ? 2b ? c ? 1 ,解得 b ? 0 , c ? ?1 , 3 ? ? f ?(1) ? 2 ? 2b ? c ? 1 2 3 ∴ a 取得最大值时 f ? x ? ? x ? x .------------------------------14 分 3
∴a ? 13(本小题满分 14 分) 解 (1)当 a ?

4 4 时, f ( x) ? x ? ln(1 ? x 2 ) 5 5
?????1 分

? f ' ( x) ?

4 2x 4 x 2 ? 10x ? 4 ? ? 5 1? x2 5(1 ? x 2 )

x, f ' ( x), f ( x) 变化如下表

x
f ' ( x)
f ( x)

? 1? ? 0, ? ? 2?
+ ↗

1 2
0 极大值

?1 ? ? ,2 ? ?2 ?


2
0 极小值

?2,???
+ ↗

1 2 5 ? f 极大值 ? f ( ) ? ? ln , 2 5 4
(2)令 g ( x) ? x ? ln(1 ? x 2 ) 则 g ( x) ? 1 ?
'

f 极小值 ? f (2) ?

8 ? ln 5 ?????4 分 5

2x ( x ? 1) 2 ? ?0 1? x2 1? x2

?????????6 分

? g ( x)在?0, ? ?? 上为增函数。? g ( x) ? g (0) ? 0

??????8 分 ???????9 分 ???????10 分

?ln(1 ? x2 ) ? x
(3)由(2)知 ln( 1? x2 ) ? x 令x ?

1 1 1 1 1 1 1? 4 ) ? 2 ? ? ? 得, ln( 4 n n(n ? 1) n ? 1 n n n

????12 分

1 1 1 ) ? ln(1 ? 4 ) ? ?? ? ln(1 ? 4 ) 4 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 1 ? ? 1 ????13 分 2 2 3 3 4 n ?1 n n 1 1 1 ????14 分 ? (1 ? 4 )(1 ? 4 ) ? (1 ? 4 ) ? e 2 3 n ? ln(1 ?
14.(本小题满分 14 分)
x x 解: (1)由 k ? e 得 f ( x) ? e ? ex ,所以 f ?( x) ? e ? e .??2 分

, ? ?) , 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是 (1 1) ????4 分 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递减区间是 (??,
(2)由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数. 于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ≥ 0 成立.??5 分 由 f ?( x) ? e ? k ? 0 得 x ? ln k .
x

1] 时, f ?( x) ? e ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) . ①当 k ? (0,
x

? ?) 上单调递增.故 f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意.?6 分 此时 f ( x ) 在 [0,
, ? ?) 时, ln k ? 0 . ②当 k ? (1

当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f ( x)

(0, ln k )

ln k
0
极小值

(ln k, ? ?)

?
单调递减

?
单调递增

由此可得,在 [0, ? ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k .

, ?1 ? k ? e . 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1
综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e .??9 分 (3)? F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? e x ? e? x ,??10 分

? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? ex1 ? x2 ? e? x1 ? x2 ? ex1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? 2 ? ex1 ? x2 ? 2 ,?11 分 ? F (1) F (n) ? en?1 ? 2 , F(2)F(n ? 1) ? e n?1 ? 2 ,? F(n)F(1) ? e n?1 ? 2 ,
由此得,

[ F (1) F (2)?F (n)]2 ? [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ?1)]?[ F (n) F (1)] ? (en?1 ? 2) n ???13 分
故 F (1) F (2)? F (n) ? (e
n ?1

? 2) 2 ,n ? N? .????14 分

n


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