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14数学全国教师8(文)


全国 100 所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(八)
第八单元 平面向量与解三角形
150 分) (120 分钟

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.下列向量中与向量 a=(2,3)垂直的是 A.b=(-2,3)
答案:

C

B.c=(2,-3)

C.d=(3,-2)

D.e=(-3,-2)

解析:因为 a·d=0,所以 a⊥d.
13 14

2.在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若 b=7,c=3,cos C= ,则 B 等于 A.
π 6

B.
13 14

π 3

C.

5π 6

D.

2π 3

解析:∵ cos C= ,∴ sin C=

3 3 , 14
3 3

又∵

sin 7× 14 3 = ,∴ sin B= = = , sin sin 3 2 π 3

又∵ 锐角△ABC,∴ B= . 答案:B

3.已知两个平向量 a、b 的夹角为3π,且|a|=|b|=1,则|a-b|等于 A. 3 B.1 C.2 3 D.2
2 3

2

解析:|a-b|= ||2 + ||2 -2||||cos < , >= 1 + 1-2cos π= 3. 答案:A

4.在△ABC 中,边 BC 上的高 AD=4,则(-)·的值等于 A.0 B.4 C.8 D.12

解析:因为(-)·=·=0. 答案:A

5.已知向量 a=(1,1),b=(-1,0),若向量 ka+b 与向量 c=(2,1)共线,则 k 等于 A.-1 B.1 C.-2 D.2

解析:因为 ka+b=(k-1,k),又因为向量 ka+b 与向量 c=(2,1)共线,所以(k-1)× 1=k× 2,所以 k=-1. 答案:A

6.以 3、4、5 为边长的直角三角形,各边分别增加 x(x>0)个单位,得到的三角形一定是 A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.锐角或钝角三角形

解析:各边分别增加 x 个单位后的三边分别为 x+3,x+4,x+5,其最长边所对角的余弦值为
(+3)2 +(x+4)2 -(x+5)2 2 +4x = >0,所以得到的三角形的最大内角为锐角,所以得到的三角形为锐角 2(+3)(+4) 2(+3)(+4)

三角形. 答案:A

7.某人向正东方向走了 x km 后,再向右转 150° ,然后沿新方向走了 3 km,结果离出发点恰 好 3 km,那么 x 的值为 A. 3 B. 3或 2 3

C. 3或 4 3

D.2 3或 4 3

解析:设 AB=x,BC=3,∠ABC=30° ,AC= 3,则( 3)2=x2+32-6xcos 30° ,∴ x2-3 3x+6=0,∴ x= 3或 x=2 3. 答案:B

8.已知点 A(1,5),B(3,9),O 为坐标原点,若点 C 满足=α+β,其中 α,β∈R,且 α+β=1,则 点 C 的轨迹方程为 A.2x+y-7=0 B.2x-y+3=0 C.x-2y+9=0 D.x+2y-11=0

解析:因为点 C 满足 =α+β,其中 α,β∈R,且 α+β=1,所以点 C 的轨迹是直线 AB,又因为直线 AB 的方程为 2x-y+3=0. 答案:B

9.在△ABC 中,若 cos C=2sin Asin B-1,sin2A+sin2B=1,则此三角形为

A.等腰三角形

B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形

解析:∵ C=π-(A+B),∴ -cos(A+B)=2sin Asin B-1,∴ -cos Acos B+sin Asin B=2sin Asin B-1,∴ sin Asin B+cos Acos B=1,∴ cos(A-B)=1,又∵ A,B∈(0,π),∴ A-B=0,∴ A=B.又 sin2A+sin2B=1,∴ A=B= ,∴ C= ,所以 △ABC 是等腰直角三角形. 答案:D
π 4 π 2

10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若 sin(A+3)=1 且= 2,则∠C 等于 A.
π 12

π



B.

5π 12 π 3

C. 或

π 12

5π 12

D. 或
π 6

π 12

7π 12 sin = sin

解析:因为 sin(A+ )=1,所以 A+ = ,所以 A= ,又因为 = 2,所以 或
3π 7π π ,所以 C= 或 . 4 12 12

π π 3 2

2,所以 sin B= ,所以 B=

2 2

π 4

答案:D

11.已知△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,若 a2,b2,c2 成等差数列,则角 B 的范围 为 A.(0, )
π 2 π 3 ππ 32 π 3

B.(0, ] C.[ , ) D.( ,π)
2 +2 , 2

解析:若 a2,b2,c2 成等差,则 b2=
2 2 2 +2 -2 + - 2 ∴ cos B= = 2 2

2 +2 1 2 2 ( + ) 1 2

=

2



2 2

= ,当且仅当 a=c 时,“=”成立,又∵ B∈(0,π),∴ B∈(0, ].

π 3

答案:B

12.已知 O 为坐标原点,平面向量 =(1,3), =(3,5), =(1,2),且=k(k 为实数).当 ·取得最小值时,点 X 的坐标是 A.(4,2) B.(2,4) C.(6,3) D.(3,6)

解析:设 =(x,y),∵ =k,∴ =(k,2k), 又=-,=(1,3),∴ =(1-k,3-2k), 同样=(3-k,5-2k).

于是·=(1-k)(3-k)+(3-2k)(5-2k)=5k2-20k+18=5(k-2)2-2,由二次函数得知识可知:当 k=2 时,·有最小值-2,此时点 X 的坐标是(2,4). 答案:B

第Ⅱ 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上. 13.海上有 A、B、C 三个小岛,在 C 岛上观测得 A、B 两岛相距 2 n mile,且 ∠BAC=60° ,∠ABC=75° ,则 B、C 间的距离是
解析:由正弦定理知 答案: 6
= ,解得 BC= sin60° sin(180°-60°-75°)

n mile. 6.

14.在△ABC 中,若 a=5,b=6,c=7,则△ABC 的面积等于
解析:∵ cos A= ,∴ sin A= 答案:6 6
5 7 2 6 1 ,∴ S△ABC= bcsin A=6 7 2

.

6.

15.设两个平面向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),定义运算“☉”为:a☉b=(x1x2+y1y2,x1y2-y1x2).若 m=(1,2),m☉n=(11,-6),则 n=
23

.

解析:设 n=(x,y),则 m☉n=(x+2y,y-2x)=(11,-6),

= , + 2 = 11, 23 16 5 所以 解得 即 n=( , ). 16 5 5 -2 = -6, = ,
5

答案:( , )

23 16 5 5

16.已知向量=α,=β,α、β 的夹角为 3 ,|α+β|=1,则△AOB 面积的最大值是
解析:∵ |α+β|=1,∴ |α|2+|β|2+2|α||β|cos |α||β|,∴ |α||β|≤1,∴ S△AOB= |α||β|sin ≤ 答案:
3 4 1 2 2π =1,∴ |α|2+|β|2-|α||β|=1≥2|α||β|3



.

π 3 3 ,∴ 当且仅当|α|=|β|时,△AOB 取得最大面积 . 3 4 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知平面向量 a,b,c,其中 a=(3,4).

(1)若 c 为单位向量,且 a∥c,求 c 的坐标; (2)若|b|= 5且 a-2b 与 2a-b 垂直,求向量 a,b 夹角的余弦值.
解析:(1)设 c=(x,y),由 a∥c 和|c|=1 可得:

3-4 = 0, 2 + 2 = 1,



= , =
34 55

3 5 4 或 , 5

= - , =
3 4 5 5

3 5 4 - , 5

∴ c=( , )或 c=(- ,- ).5 分 (2)∵ (a-2b)·(2a-b)=0,即 2|a|2-5a·b+2|b|2=0, 又|a|=5,|b|= 5,∴ a·b=12, ∴ 向量 a,b 夹角的余弦值 cos<a,b>=
· 12 5 = .10 分 |||| 25

18.(本小题满分 12 分) 已知向量 a=(cos ,sin ),b=(cos ,-sin ),且 x∈[0, ]. (1)求 a·b 及|a+b|; (2)若 f(x)=a·b-2λ|a+b|(0≤λ≤1)的最小值是-2,求 λ 的值.
解析:(1)a·b=cos cos +sin (-sin )=cos 2x, |a+b|= (cos
π 2 3 + cos 2 )2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 2 π 2

+ (sin

3 -sin 2 )2 = 2

2 + 2cos2=2|cos x|.

∵ x∈[0, ],∴ |a+b|=2cos x.6 分 (2)f(x)=cos 2x-4λcos x=2cos2x-4λcos x-1=2(cos x-λ)2-2λ2-1, ∵ x∈[0, ],∴ cos x∈[0,1].9 分 ∵ λ∈[0,1],cos x=λ,f(x)min=-2λ2-1,∴ -2λ2-1=- ,∴ λ= ; ∴ λ= .12 分
1 2 3 2 1 2 π 2

19.(本小题满分 12 分)

有一道题目由于纸张破损,有一条件看不清楚,具体如下:“在△ABC 中,已知 a= 3, ,2cos2(
+ )=( 2

2-1)cos B,求角 A.”经推断,破损处的条件为三角形一边

的长度,该题的答案 A=60° 是唯一确定的,试将条件补充完整,并说明理由.
解析:因为 2cos2( B= .3 分 对正弦值分以下两种情况对论. 情况 1:因为 A=60° ,且 检验:
3 = ,所以 b= sin45° sin60° π 4 + )=( 2

2-1)cos B,所以 1+cos(A+C)=( 2-1)cos B,所以 cos B= ,又 B∈(0,π),所以

2 2

2,

2 3 3 = ? = ?sin A= ,又 A∈(0,π),且 a>b, sin sin sin45° sin 2

所以 A=60° 或者 A=120° ,这与已知角 A 的解为唯一解矛盾.8 分 情况 2:因为 B= ,又 A=60° ,所以 C=75° ,
3 6+ 2 = ,所以 c= , sin75° sin60° 2 π 4

检验:

3 3 = ? 2 = ?sin A= ,又 A∈(0,π),且 c>a,所以 A=60° .11 分 sin sin sin75° sin 2 6+ 2 .12 分 2

6+ 2

综上所述,破损处应填 c=

20.(本小题满分 12 分) 已知向量 a=(sin ,cos ),b=(cos , 3cos ),函数 f(x)=a·b. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及函数 f(x) 的值域.
解析:(1)f(x)=a·b=sin cos + 3cos cos = sin = sin +
1 2 2 3 2 3 2 π 3 cos + =sin( + )+ .3 分 3 2 3 2 3 3 2 π 2 π 2 3 3 π 2 5π π ≤x≤3kπ+ (k∈Z). 4 4 5π π ,3kπ+ ](k∈Z).6 分 4 4 3 3 3 1 3 2 2 3 2 + (1+cos ) 3 2 3 3 3 3 3

令 2kπ- ≤ + ≤2kπ+ ,解得 3kπ-

故函数 f(x)的单调递增区间为[3kπ-

(2)∵ b2=ac,cos x=
1 2

2 +2 -2 2 +2 -ac 2- 1 = ≥ = ,8 分 2 2 2 2 π 3 π 2 π 5π , 3 3 3 9

∴ ≤cos x<1,0<x≤ ,∴ < + ≤ ∴ <sin( + )≤1, ∴ 3<sin( + )+
π 3 2 π 3 3 3 2 2 π 3 3

3 3 ≤1+ 即 f(x)的值域为( 2 2

3,1+ ).

3 2

综上所述,x∈(0, ],f(x)的值域为( 3,1+

3 ].12 分 2

21.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若∠C= π, a、b、c 依次成等差数列,且 公差为 2.
2 3

(1)求 c; (2)如图,A',B'分别在射线 CA,CB 上运动,设∠A'B'C=θ,试用 θ 表示线段 B'C 的长,并求其范 围.
解析:(1)∵ a、b、c 成等差,且公差为 2, ∴ a=c-4,b=c-2.1 分 又∵ cos C=- ,
2 +2 -2 1 =- , 2 2 (-4)2 +(c-2)2 -2 1 =- ,4 分 2 2(-4)(-2) 1 2

∴ ∴

∴ c2-9c+14=0, 解得 c=7 或 c=2, 又∵ c>4,∴ c=7.6 分 (2)△A'B'C 中, ∴
' ' '' = = , sin∠'' sin∠'' sin∠''

' ' 7 = = , sin sin(π-θ) sin2π
3 3

∴ B'C=

14 3 π sin( -θ),7 分 3 3

又∵ θ∈(0, ),∴ 0< -θ< ,0<sin ( -θ)< ∴ 0<

π 3

π 3

π 3

π 3

3 , 2

14 3 π sin( -θ)<7,∴ 线段 B'C 的范围为(0,7).12 分 3 3

22.(本小题满分 12 分)

如图,为测量某巨型雕像 AB 的高度及取景点 C 与 F 之间的距离(B、C、D、F 在同一水 平面上,雕像垂直该水平面于点 B,且 B、C、D 三点共线),某校研究性学习小组同学在 C、 D、F 三点处测得顶点 A 的仰角分别为 45° 、30° 、30° .若∠FCB=60° ,CD=16( 3-1)米. (1)求雕像 AB 的高度; (2)求取景点 C 与 F 之间的距离.
解析:(1)(法一)设 AB=x 米,在 Rt△ABC 中,∵ ∠ACB=45° ,∴ CB=x 米, 在 Rt△ADB 中,∵ ∠ADB=30° ,∴ tan 30° = ∴ x=16.6 分 (法二)设 AB=x,在 Rt△ABC 中,∵ ∠ACB=45° ,∴ CB=x, ∴ AC= 2x, 在△ADC 中,
= , sin30° sin(45°-30°) , +16( 3-1)



2x 16( 3-1) = , sin30° sin(45°-30°)

∴ x=16.6 分 (2)(法一)由(1)知 BC=16 米. 在 Rt△AFB 中,∵ ∠AFB=30° ,tan 30° =
16 ,∴ FB=16

3米.

在△BCF 中,设 CF=y 米,∵ ∠BCF=60° , ∴ 由余弦定理 BF2=BC2+FC2-2BC·FCcos 60° , (16 3)2=162+y2-2× 16·ycos 60° ,∴ y2-16y-512=0. (y+16)(y-32)=0,∴ y1=32,y2=-16(负数舍去).12 分 (法二)在 Rt△AFB 中,∵ ∠AFB=30° ,∴ tan 30° =
16 ,∴ FB=16

3米,

在△BCF 中,

= , sin∠ sin∠

∴ ∠BFC=30° 或 150° (150° 舍去), ∴ 在△CBF 中,CF2=CB2+FB2=162+(16 3)2,∴ CF=32(米).12 分


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