nbhkdz.com冰点文库

2007安徽省高中数学竞赛初赛试题


1

2007 年安徽省高中数学竞赛初赛试题
一选择题
1. 如果集合 A.B 同时满足 A

B ? ?1.2.3.4? A B ? ?1? , A ? ?1? , B ? ?1? 就称有序集对

。这里的有序集对 ? A, B ? 意指当 A ? B , ? A, B ? 和? B, A? 是不同

的集 ? A, B? 为“好集对” 对, 那么 “好集对” 一共有 ( ) 个。

A

64

B

8
)

C

6

D

2

?x 2.设函数 f ? x ? ? lg 10 ? 1 , 方程f ? ?2 x ? ? f ?1 ? 2 x ? 的解 为(

?

?

A.log2 ? lg 2? ?1

B.lg ?log2 10? ?1

C .lg ?lg 2? ?1

D. log2 ?log2 10? ?1

3.设 A ? 100101102 499500 是一个 1203 位的正整数,由从 100 到 500 的全体三位数按顺 序 排 列 而 成 那 么 A 除 以 126 的 余 数 是 ( )

A

78

B

36

C

6

D

0
为 垂 足 . 项 为

4. 在 直 角

ABC 中 ,

?C ? 90 , CD 为 斜 边 上 的 高 ,D
.
k

AD ? a, BD ? b, CD ? a ? b ? 1
uk ? a k ? a k ?1b ? a k ? 2b 2 ?







?uk ?





? ? ?1? b k , k ? 1, 2,3,

, 则( )

A. u2008 ? u2007 ? u2006 C. 2007 u2008 ? 2008u2007
顺序排成一个新的数列

B. u2008 ? u2007 ? u2006 D. 2008 u2008 ? 2007u2007
9 a5, ?
那 么 13

5.在正整数构成的数列 1.3.5.7……删去所有和 55 互质的项之后,把余下的各项按从小到大的

?an ?

, 易 见 a1 ? 1 , a2 ? 3 , a3 ? 7a ,4 ?

a2007 ? ____________

A. 9597
6.设
0

B. 5519
0

C. 2831
0

D. 2759
1+cos870 1-cos87
0

A ? 1 ? cos30 + 1+cos70 + 1+cos110 + B ? 1 ? cos3 + 1-cos7 + 1-cos11 +
A. 2- 2
2

则 A: B ? ?

?

B.

2+ 2
2

C.

2-1

D.

2+1

二.填空题
7.边长均为整数且成等差数列,周长为 60 的钝角三角形一共有______________种. 8.设 n ? 2007 ,且 n 为使得 an =

?

2- 2 ? i 2+ 2 取实数值的最小正整数,则对应此 n 的

?

n

2

an 为(

).

9. 若 正 整 数 n 恰 好 有 4 个 正 约 数 , 则 称 n 为 奇 异 数 , 例 如 6,8,10 都 是 奇 异 数 . 那 么 在 27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999 这 10 个数中奇异数有_____________________个. 10. 平行六面体

A 出发的三条棱 AA1, AB, AD 的长度分别为 ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1中 , 顶点

2,3,4,且两两夹角都为 60 那么这个平行六面体的四条对角线 AC1 , BD1 , DB1 , CA 1 的长度(按 顺序)分别为___________________
1 2 11.函数 f ? x ? , g ? x ? 的迭代的函数定义为 f ? ? ? x ? ? f ? x ? , f ? ? ? x ? ? f

? f ? x ?? ,

f?

n?

? x? ?

f f?

?

n ?1?

? x ? ? , g ?1? ? x ? ? g ? x ? , g ? 2? ? x ? ? g ? g ? x ? ? ,

g?

n?

? x ? ? g ? g ?n?1? ? x ? ?

其中 n =2,3,4…

? f ?9? ? x ? ? g ? 6? ? y ? ? ? ?9? ? 6? 设 f ? x ? ? 2x ? 3, g ? x ? ? 3x ? 2 ,则方程组 ? f ? y ? ? g ? z ? 的解为_________________ ? ?9? ? 6? ? ? f ? z ? ? g ? x?
12.设平行四边形 ABCD 中, AB ? 4, AD ? 2, BD ? 2 3, 则平行四边形 ABCD 绕直线

AC 旋转所得的旋转体的体积为_______________

三解答题
13.已知椭圆 ? :3x2 ? 4 y 2 ? 12 和点 Q ? q,0? , 直线 l过Q且与?交于A, B 两点(可以重合). 1)若 ?AOB 为钝角或平角( O 为原点),

q ? 4, 试确定 l 的斜率的取值范围.

2)设 A 关于长轴的对称点为 A , q ? 4, 试判断 A1和F , B 三点是否共 1 , F为椭圆的右焦点 线,并说明理由. 3)问题 2)中,若 q ? 4, 那么A 1, F , B 三点能否共线?请说明理由.

14. 数 列

?xn?

由 下 式 确 定 :

xn?1 ?

xn , n ? 1,2,3, 2 2 xn ?1

, x1 ? 1 , 试 求

l x g2 0整数部分 k ?? 0 7

l x g a 的最大整数,即 a 的整数部分.) ? (注2? a0?.表示不大于 0 7

15.设给定的锐角 ABC 的三边长 a, b, c, 正实数x, y, z 满足
2 2

ayz bzx cxy ? ? ? p, 其中 p 为 x y z
2

给定的正实数 , 试求 s ? ? b ? c ? a? x ?? c ? a ? b ? y ?? a ? b ? c ? z的最大值,并求出当 s 取此最大值时, x, y , z 的取值.

3





一、 选择题 1.C. 2.A. 3.C. 4.A. 5.B 6.D. 1.逐个元素考虑归属的选择. 元素 1 必须同时属于 A 和 B. 元素 2 必须至少属于 A、B 中之一个,但不能同时属于 A 和 B,有 2 种选择:属于 A 但 不属于 B,属于 B 但不属于 A. 同理,元素 3 和 4 也有 2 种选择. 但元素 2,3,4 不能同时不属于 A,也不能同时不属于 B. 所以 4 个元素满足条件的选择共有 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 6 种.换句话说, “好集对”一共有 6 个. 答:C. 2. 令 y ? lg(10? x ? 1) , 则 y ? 0 , 且 10
?x

? 1 ? 10 y , 10? x ? 10 y ? 1 ,

? x ? lg(10y ? 1) , x ? ? lg(10y ? 1) .从而 f ?1 ( x) ? ? lg(10x ? 1) .
令 2 ? t ,则题设方程为
x

f (?t ) ? f ?1 (t ) ,即

lg(10t ? 1) ? ? lg(10t ? 1) ,

故 解得

lg[(10t ? 1)(10t ? 1)] ? 0 , (10t ? 1)(10t ? 1) ? 1 , 102t ? 2 , 2t ? lg 2 ,
2x ? t ?

1 1 lg 2 . 从而 x ? log 2 ( lg 2) ? l o g 2) ? 1 . 答:A. 2(l g 2 2 3. 注意 126 ? 2 ? 7 ? 9 ,2,7 和 9 两两互质. 因为 A ? 0 (mod2), A? ( 1 ? 0 ? 0) ? ( 1? 0 ?1 ) ? ( 1 ? 0 ? 2) ??? (4 ? 9 ? 9) ? (5 ? 0 ? 0) ?100 ?1 0 1 ?1 0 2 ? ? ? 5 0 0? ( 100 ? 500) ? 401 ? 2 ? 1 2 0 3 0? 0 6 (mod9), A ? 6 (mod18). 所以 (1)

4


0


0

103 ? ?1
400 i ?0



103n ? (?1) n



mod7



,





i A ? ? (500 ? i) ? 103i ? ? (500 ? i ) ? (? 1 ) i ?0

? (500? 499) ? (498? 497) ? (496 ? 495) ? ? ? (102? 101 ) ? 100 ? 300 ? 6 ( mod7 ) .
(2) 由(1) , (2)两式以及 7 和 18 互质,知 A ? 6 (mod126). 答:C.
6 ( 10 6 ? 1 ) ( 10 6 n ? 1 ), 另 解 : 126 ? 2 ? 63 , 63999999 , 999999? 10 ? 1 ,

n ? 1,2,3,?

.





A ? 100?101200 ? 101102 ?101194 ? 103104 ?101188 ? ? ? 497498 ?106 ? 499500 ? 100? ( 101200 ? 1 ) ? 101102 ? ( 101194 ? 1 ) ? 103104 ? ( 101188 ? 1 ) ? ? ? 497498 ? ( 106 ? 1 ) ?
( 100 ? 101102 ? 103104 ? ? ? 497498 ? 499500)

4

? 999999 B ? 100 ? ( 101102 ? 499500) ? 200 ? 2 ? 999999 B ? 100 ? 60060200 ? 999999 B ? 60060300 ? 999999 C ? 60360 , 其中 B,C 为整数.从而 A ? 63 D ? 60360 ? 63 E ? 6 ,其中 D,E 为整数.所以 A 除以 63 的
余数为 6.因为 A 是偶数,所以 A 除以 126 的余数也为 6. 答:C.
2 2 (a ? b) ? ab , 又 已 知 a ? b ? 1 , 故 ab ? 1 , 4. 易 见 CD ? AD ? BD , 即

a(a ? 1) ? 1 , a 2 ? a ? 1 ? 0 ; b(b ? 1) ? 1, b 2 ? b ? 1 ? 0 .
k 显然 u k 是首项为 a ,公比为 q ? ?

b 的等比数列的前 k ? 1 项和.故 a

uk ?
从而

a k (1 ? q k ?1 ) a k ?1 ? (?b) k ?1 , ? 1? q a?b

k ? 1,2,3? .

u k ? u k ?1
?

a k ?1 ? (?b) k ?1 a k ? 2 ? (?b) k ? 2 ? ? a?b a?b

1 [a k ? 2 ? a k ?1 ? (?b) k ? 2 ? (?b) k ?1 ] a?b 1 1 ? [a k ?1 (a ? 1) ? (?b) k ?1 (?b ? 1)] ? [a k ?1 ? a 2 ? (?b) k ?1 ? b 2 ] a?b a?b 1 ? [a k ?3 ? (?b) k ?3 ] ? u k ? 2 , k ? 1,2,3? . a?b
2 2 (a ? b) ? ab ,又已知 a ? b ? 1 ,故 ab ? 1 , 另解: 易见 CD ? AD ? BD ,即

故答案为 A.(易知其余答案均不成立)

2 (a ? b) ? (a ? b) 2 ? 4ab ? 12 ? 4 ?1 ? 5 , a ? b ? 5 .解得

a?

5 ?1 , b? 2

5 ?1 . 2

k 显然 u k 是首项为 a ,公比为 q ? ?

b 的等比数列的前 k ? 1 项和,故 a

a k (1 ? q k ?1 ) a k ?1 ? (?b) k ?1 uk ? ? 1? q a?b
k ? 1,2,3,? .
于是数列 ?u k ? 就是斐波那契数列 1,2,3,5,8,13,21,?, 它满足递推关系

?

1

1 ? 5 k ?1 1 ? 5 k ?1 [( ) ?( ) ] 2 2 5



uk ?2 ? uk ?1 ? uk ,

k ? 1,2,3,? .

所以答案为 A.

5. ?an ? 可看成是在正整数数列 1,2,3,4,5,6,7,?中删去所有能被 2,5 或 11 整除的项之后, 把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理, 1, 2, 3, 4, ?, 中不能被 2 , 5 或 11 整除的项的个数为 m

5

?m? ?m? ? m ? ? m ? ? m ? ? m ? ? m ? xm ? m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, ? 2 ? ? 5 ? ?11? ? 55? ? 22? ?10? ?110?
其中 ?a ? 不表示不大于 a 的最大整数,即 a 的整数部分. 估 值 : 设

m m m m m m m 1 1 1 2007 ? x m ? m ? ? ? ? ? ? ? ? m ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) 2 5 11 55 22 10 1 2 5 1 11 4 1 4 10 11 ? m ,故 m ? 2007 ? ? 5519 . ? m? ? ? 2 5 11 11 4
又因为

0

? 5519? ? 5519? ? 5519? ? 5519? ? 5519? ? 5519? ? 5519? x5519 ? 5519? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? 2 ? ? 5 ? ? 11 ? ? 55 ? ? 22 ? ? 10 ? ? 110 ?
=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007, 并且 5519 不是 2,5,11 的倍数,从而知 a2007 ? 5519. 答:B.

又解:?an ? 可看成是在正整数数列 1,2,3,4,5,6,7,?中删去所有能被 2,5 或 11 整除的项之后,把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为 2,5,11 是质数,它们 的最小公倍数为 110.易见,-54,-53,?,0,1,2,3,?,55 中不能被 2,5,11 整除的 , ? 3, ? 7, ? 9; ? 13, ? 17, ? 19; ? 21, 数为 ? 1 ? 23, ? 27, ? 29; ? 31, ? 37, ? 39; ? 41, ? 43, ? 47, ? 49; ? 51, ? 53 ,共 40 个.(或由欧拉公 式,1,2,3,?,110 中不能被 2,5,11 整除的数的个数,等于 1,2,3,?,110 中与

110) ? 110 ? ( 1? ) ? ( 1? ) ? ( 1? 110 互质的数的个数,等于 ?(

1 2

1 5

1 ) ? 40 .) 11

显然 1,2,3,?中每连续 110 个整数,不能被 2,5,11 整除的数都有 40 个.所以,1, 2,3,?,110 ? 50 ? 5500 中,不能被 2,5,11 整除的数有 40 ? 50 ? 2000 个.大于 5500 中的数不能被 2,5,11 整除的,是 5500+1,5500+3,5500+7,5500+9,5500+13,5500+17, 5500+19,?.所以 5519 是第 2007 个不能被 2,5,11 整除的数,亦即所求的 a2007 ? 5519. 答:B . 6.显然

A 2

?

1 ? cos3? 1 ? cos7 ? 1 ? cos87? ? ??? 2 2 2

? cos1.5? ? cos3.5? ? cos5.5? ? ? ? cos43.5? ;

B 2

?

1 ? cos3? 1 ? cos7 ? 1 ? cos87? ? ??? 2 2 2

? sin 1.5? ? sin 3.5? ? sin 5.5? ? ? ? sin 43.5? .
注意到

2 cos? sin 1? ? sin(? ? 1? ) ? sin(? ? 1? ) , 2 sin ? sin 1? ? cos(? ? 1? ) ? cos(? ? 1? ) ,
所以

6

2 sin 1? ?

A 2

? (sin 2.5? ? sin 0.5? ) ? (sin 4.5? ? sin 2.5? ) ? (sin 6.5? ? sin 4.5? ) ? ?

? (sin 44.5? ? sin 42.5? ) ? sin 44.5? ? sin 0.5? ? 2 cos22.5? sin 22? ,

2 sin 1? ?

B 2

? (cos0.5? ? cos2.5? ) ? (cos2.5? ? cos4.5? ) ? (cos4.5? ? cos6.5? ) ? ?

? (cos42.5? ? cos44.5? ) ? cos0.5? ? cos44.5? ? 2 sin 22.5? sin 22? .


A : B ? (2 sin 1? ?

A 2

) : (2 sin 1? ?

B 2

) ? (2 cos 22.5? sin 22? ) : (2 sin 22.5? sin 22? ) ? cot 22.5?

? 2 ? 1.
另解:

答:D.

A 2

? cos1.50 ? cos3.50 ? cos5.50 ? ? ? ? cos43.50 ,

B 2

? sin 1.5? ? sin 3.5? ? sin 5.5? ? ? ? sin 43.5? ,

A 2

?i

B 2

? (cos1.5? ? i sin 1.5? ) ? (cos3.5? ? i sin 3.5? ) ? ? ? (cos43.5? ? i sin 43.5? )
21

? (cos1.5? ? i sin 1.5? )? (cos2 ? ? i sin 2 ? ) k
k ?0

1 ? (cos2 ? ? i sin 2 ? ) 22 ? (cos1.5 ? i sin 1.5 ) 1 ? (cos2 ? ? i sin 2 ? )
? ?

? (cos1.5? ? i sin 1.5? )

1 ? (cos44? ? i sin 44? ) 1 ? (cos2 ? ? i sin 2? )
2 sin 2 22? ? 2i sin 22? cos22? 2 sin 2 1? ? 2i sin 1? cos1?

? (cos1.5? ? i sin 1.5? )

(cos1.5? ? i sin 1.5? )(?2i sin 22? )(cos22? ? i sin 22? ) ? (?2i sin 1? )(cos1? ? i sin 1? )
sin 22? (cos22.5? ? i sin 22.5? ) . = ? sin 1

7

因为

A B A sin 22? cos 22.5? B sin 22? sin 22.5? 和 是实数,所以 , , ? ? sin 1? sin 1? 2 2 2 2
cos 22.5 ? 2 cos2 22.5 ? 1 ? cos 45? : ? ? ? ? ? 2 sin 22.5 ? cos 22.5 ? sin 45? 2 2 sin 22.5 B 1? 2 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?1 2 2 2

A: B ?

A

. 答:D. 二、 填空题(满分 54 分,每小题 9 分)

?A a ? b ? c ? 60, a ? b ? c, a, b, c 成等差数列, 7.解: 设△ABC 三边长 a, b, c 为整数,
2 2 2 为钝角,则必有 2b ? a ? c , b ? c ? a .

易解得 60 ? a ? b ? c ? b ? (a ? c) ? b ? 2b ? 3b , b ? 20, a ? c ? 40; b ? a ? c
2 2

2

? (a ? c)(a ? c) ,即 202 ? 40(a ? c),10 ? a ? c .因此 50 ? (a ? c) ? (a ? c) ? 2a,25 ? a ,


a ? 26 .另外, b ? c ? a,60 ? a ? b ? c ? a ? a ? 2a, a ? 30, a ? 29 .易检验 (a, b, c)

? (26,20,14), (27,20,13), (28,20,12), (29,20,11) 都是钝角三角形.
8. 注意到 x ?

答:4.

2 ? 2 , y ? 2 ? 2 满足 x 2 ? y 2 ? (2 ? 2 ) ? (2 ? 2 ) ? 4 ,

x, y ? 0 , 故 可 令 x ? 2 cos ? , y ? 2 sin ? , 0 < ? <
-

? 2 . 从 而 4c o s ? ? 2 ? 2 , 2


2 ? 4 cos2 ? ? 2 , -

3? 2 3? ? 2 cos2 ? ? 1 ? cos ? cos2? , 故 ? ? 8 2 4

an ? (cos i sin

3n ? 3n? ? 0 ,当且仅当 n ? 8k , k ? Z. 满足此条件且 . an 取实数,当且仅当 sin 8 8 3x 2008 n ? 2007 的最小正整数 n 为 2008 ,此时 a n ? a 2008 ? cos ? ? cos 753? ? ?1 . 8
3 9.易见奇异数有两类:第一类是质数的立方 p ( p 是质数) ;第二类是两个不同质

3? 3? 3n? ? i sin ) n ? cos + 8 8 8

答:-1.

数的乘积 p1 p 2 ( p1 , p2 为不同的质数).由定义可得

27 ? 33 是奇异数(第一类) ;
42 ? 2 ? 3 ? 7 不是奇异数; 69 ? 3 ? 23 是奇异数(第二类) ;

8

111 ? 3 ? 37 是奇异数(第二类) ;

125 ? 53 是奇异数(第一类) ;
137 是质数,不是奇异数;

343 ? 7 3 是奇异数(第一类) ;
(30 ? 1 ) (30 ? 1 ) ? 31 ? 29 是奇异数(第二类) 899 ? 900? 1 ? 302 ? 12 ? ; (60 ? 1 ) ? 61 ? 59 是奇异数(第二类) 3599? 3600? 1 ? 602 ? 12 ? (60 ? 1 ) ;
(第二类) . 7999? 8000? 1 ? 203 ? 13 ? (20 ? 1)(202 ? 20 ? 1) ? 19? 421是奇异数 答:8. 10. 解:将向量 AA 1 , AB , AD 分别记为 a , b , c . 则 a ? a ? 2 , b ? b ? 3 ,

c ? c ? 4 ,且易见

AC1 ? a ? b ? c ,
所以 AC1
2

A1C ? ?a ? b ? c ,
2 2 2

BD1 ? a ? b ? c ,

DB1 ? a ? b ? c .

? (a ? b ? c) 2 ? a ? b ? c ? 2(a ? b ? b ? c ? c ? a)

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2(ab ? bc ? ca) cos600 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca
? 2 2 ? 32 ? 4 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 4 ? 2 =55,
故 AC1 ?

55 . 类似地,可算得, BD1 ? 19 , DB1 ? 15 , CA1 ? 27 =3 3 .

答: 55 , 19 , 15 ,3 3 . 11. 令 x ? 3 ? t , 易 见 x ? t ? 3 , f ( x) ? 2 x ? 3 ? 2(t ? 3) ? 3 ? 2t ? 3 ,

f ( 2) ( x) ? 2(2t ? 3) ? 3 ? 2 2 t ? 3,?, f ( n) ( x) ? 2 n t ? 3 ;令 y ? 1 ? s ,易见 y ? s ? 1 ,
g ( y) ? 3 y ? 2 ? 3(s ? 1) ? 2
? 3s ? 1


g ( 2) ( y) ? 3(3s ? 1) ? 2 ? 32 s ? 1,?



g ( n) ( y) ? 3n s ? 1 , n ? 1,2,3,? .因此,题设方程组可化为
?2 9 ( x ? 3) ? 3 ? 36 ( y ? 1) ? 1, (1) ? 9 6 ?2 ( y ? 3) ? 3 ? 3 ( z ? 1) ? 1, (2) ?2 9 ( z ? 3) ? 3 ? 36 ( x ? 1) ? 1.(3) ?
(1)-(2) , (2)-(3) , (3)-(1)得

?2 9 ( x ? y ) ? 36 ( y ? z ), (4) ? 9 6 ?2 ( y ? z ) ? 3 ( z ? x), (5) ?2 9 ( z ? x) ? 36 ( x ? y ).(6) ?
所 以

9

x? y ?

36 36 2 36 3 ( y ? z ) ? ( ) ( z ? x ) ? ( ) ( x ? y) 29 29 29

?

x? y ?0? y?z ?0

? x? y ? z.
代入(1)得

29 ( x ? 3) ? 3 ? 36 ( x ? 1) ? 1 , 512( x ? 3) ? 3 ? 729( x ? 1) ? 1 ,
512 x ? 1533 ? 729 x ? 728 , ?217 x ? 2261 , ? 31x ? 323 ,
答: x ? y ? z ? ?

x?? 323 . 31

323 . 31

所以原方程组的解为 x ? y ? z ? ?

323 . 31

12.以 VT ?l 表示平面图形 T 绕直线 l 所得旋转体体积. 记直线 AC 为 l ,作 BM , DN ? l ,交 l 于 E , F ,分别交 CD , AB 于 M , N .过 O 作

PQ ? l ,分别交 AB, CD 于 P, Q .由于 O 是 BD 的中点,所以 P, Q 分别是 BN , DM 的中
点.由对称性,易见所求旋转体体积为

V ? V平行四边形ABCD?l ? 2(V?ADN ?l ? V平行四边形NPQD ?l ) .
由于 AB ? 4,BD ? 2 3,AD ? 2 ,易见 ?ADB ? 90 ,?DBA ? 30 ,
? ?

AO ? AD2 ? DO2 ? 4 ? 3 ? 7 , AC ? 2 7 . 显 然 ?DAC ? ?DC A ? ?C AB ,
DF ? FN .


DF ?

2S ?ADO AD ? DO 2 3 2 ? ? ? 21 AO AO 7 7 12 16 4 .从而由圆锥体积公式得 ? ? 7 7 7



AF ? AD2 ? DF 2 ? 4 ?

1 ? 12 4 16? 16 V?ADN ?l ? V?ADF ?l ? ? ? ? DF 2 ? AF ? ? ? ? ? 7? . 3 3 7 7 7 7 49


CF ? AC ? AF ? 2 7 ?

4 7

?

14 ? 4 7

?

10 7



CO ? AO ? 7



CF : CO ? DF : QO ,

QO ?

CO ? DF 2 10 1 ? 7? 21 ? ? 21 .从而由圆锥体积公式得 CF 7 7 5

1 1 V平行四边形 NPQD ?l ? V梯形FOQD ?l ? V?CDF ?l ? V?CQO ?l ? ? ? DF 2 ? CF ? ? ? QO 2 ? CO 3 3

10

?

? 12 10
3 7 ( ? 7

?

21 40 7 1000? 343 657 ? 7 ) ? 7? ( ? ) ? 7? ? ? 7? .从而 25 49 25 1225 1225

V ? 2(

16 657 16 657 1057 302 7? . 7? ? 7? ) ? 2 7? ( ? ) ? 2 7? ? ? 49 1225 49 1225 1225 175 302 7? : 175

答:所求体积为

13.解:I)可设 l : x ? my ? 4 ,与 ? 联立得 (3m 2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 . 这是

y 的 一 元 二 次 方 程 , 由 判 别 式 ? ? 0 解 得 m 2 ? 4 . 记 A(x1 , y1) , B(x2 , y 2) ,则

y1 ? y 2 ?

? 24 m 36 , y1 y 2 ? . 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

由题设条件, OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 (my1 ? 4)(my2 ? 4) ? y1 y 2 ? 0 ,

36 ? 24 m ? 4m ? ? 16 ? 0 , 2 3m ? 4 3m 2 ? 4 25 1 2 3 2 2 2 2 2 即 9(m ? 1) ? 24m ? 4(3m ? 4) ? 0 .得 ? 3m ? 25 ? 0 , m ? , ( ) ? , 3 m 25
2 得 (m ? 1) y1 y2 ? 4m( y1 ? y2 ) ? 16 ? 0 , 即 (m ? 1) ?
2

?

3 3 . ?m? 5 5
故 l 的斜率的取值范围为 (?

3 3 , ). 5 5

因为 F(1,0),所以 FA , FB ? ,从而 (x1 ? 1,? y1) (x2 ? 1, y2) 1 ?

( x1 ? 1) y2 ? ( x2 ? 1)(? y1 ) ? (my1 ? 3) y2 ? (my2 ? 3) y1
? 2my 1 y 2 ? 3( y1 ? y 2 ) ? 2m ? 36 ? 24 m ? 3? ? 0. 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

? FA 1 与 F、B 三点共线. 1 与 FB 共线, 即 A
III)假设 q ? 4 ,过 Q(q,0) 的直线与 ? 交于 A、B,且 A 关于长轴的对称点为 A1 ,如 果 A1 、F、B 三点共线.我们另取点 P(4,0) .设直线 AP 与 ? 交于 B1 ,那么如 II)的证明, A1 、 F、B 三点必共线.故 B 与 B1 重合,从而直线 AB 和 AB1 重合,就是 AQ 与 AP 重合.所以 P 与 Q 重合, q ? 4 ,与假设矛盾.这就是说, q ? 4 时,三点 A1 、F、B 不能共线. 14.解:

2x ? 1 1 1 ? n ? 2 xn ? , xn?1 xn xn

2

1 1 2 ? 4 xn ? 4 ? 2 , 2 xn?1 xn

11

1 x
2006
2 n ?1

?

1 2 ? 4( xn ? 1) , n ? 1,2,3?. 2 xn



?(
n ?1

2006 1 1 2 ? ) ? 4 ( xn ? 1) ,亦即 ? 2 2 xn?1 xn n ?1

1
2 x2007
2006 n ?1

?

2006 1 2 ? 4 xn ?8024, ? 2 x1 n ?1

由 x1 ? 1 得

1 x
2 2007

? 4 ? xn ?8025.
2

(*)

由于

xn?1 1 ? ? 1 , n ? 1,2,3,?, 且显然 xn ? 0 ,故 ?xn ? 是递减数列,且 2 xn 2 xn ? 1 x2 ?
x2 3 1 ? ? , ? , x3 ? 2 2 x 2 ? 1 2 ? 1 11 2 x1 ? 1 3 9
2

x1

1 3

2006



1 2 2006 2 1 2006 3 2 1 9 2 x ? 1 ? ( ) ? x ? 1 ? ? ?( ) ? 1? ? ? 2004? 151, ? ? n n 3 9 n?3 11 9 121 n ?1 n ?3

由(*)式得

8025?

1 x
2 2007

? 4 ? 151? 8025? 8629



1 1 1 1 2 2 ? x 2007 ? , lg ? lg x 2007 ? lg , 8629 8025 8629 8025 3 ? lg 8629? 2 lg x2007 ? ? lg 8025, ? 4 ? 2 lg x2007 ? ?3 , ? 2 ? lg x 2007 ? ? , 2

? k ? ?lg x2007 ? ? ?2 .
15.证明:因为△ABC 是锐角三角形,其三边 a, b, c 满足 a, b, c ? 0 ,以及

b ? c ? b, c ? a ? b, a ? b ? c, b 2 ? c 2 ? a 2 , c 2 ? a 2 ? b 2 , a 2 ? b 2 ? c 2 .
因此,由平均不等式可知

(b 2 ? c 2 ? a 2 ) x 2 ? (c 2 ? a 2 ? b 2 ) y 2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) z 2

?

1 2 y2 z2 1 z 2 x2 1 x2 y2 (b ? c 2 ? a 2 ) x 2 ( 2 ? 2 ) ? (c 2 ? a 2 ? b 2 ) y 2 ( 2 ? 2 ) ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) z 2 ( 2 ? 2 ) 2 2 2 z y x z y x

?


ayz bzx cxy 2 a2 y 2 z 2 b2 z 2 x2 c2 x2 y 2 ?( ? ? ) ? 2(bcx2 ? cay2 ? abz2 ) , ? ? 2 2 2 x y z x y z


[(b ? c) 2 ? a 2 ]x 2 ? [(c ? a) 2 ? b 2 ] y 2 ? [(a ? b) 2 ? c 2 ]z 2 ? (
亦即

ayz bzx cxy 2 ? ? ) ? P2 , x y z

12

(a ? b ? c)S ? P 2 , S ?

P2 . a?b?c
P .因此所求的 S 的最大值为 a?b?c

上式取等式当且仅当 x 2 ? y 2 ? z 2 ,亦即 x ? y ? z ?

P P2 ,当 S 取最大值时, x ? y ? z ? . a?b?c a?b?c
A B o l Q x A B o A1 F l Q x C1 B C D B1 D1 A A A1 D F N Q O P M E B

C

y

(第 13 题答图)

y

(第 10 题答图)

(第 12

题答图)


2007-2011安徽高中数学竞赛初赛试题(含答案)

2007-2011安徽高中数学竞赛初赛试题(含答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007 年安徽省高中数学竞赛初赛试题一 选择题 1.如果集合 A.B 同时满足 A B ? ?1....

2007年-2013年安徽省高中数学竞赛初赛试题

2007年-2013年安徽省高中数学竞赛初赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007年-2013年安徽省高中数学竞赛初赛试题 2007 年安徽省高中数学竞赛初赛试题一.选择题 1....

2007年安徽省高中数学联赛初赛试卷和答案

2007年安徽省高中数学联赛初赛试卷和答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007 年安徽省高中数学联赛初赛试卷 (考试时间:2007 年 9 月 8 日 9:30—11:30) 一....

2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题

2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007 年安徽省高中数学竞赛初赛试题一选择题 1. 如果集合 A.B 同时满足 A B ? ?1.2.3.4?...

2007-2015年安徽省高中数学竞赛初赛试题及答案详解

2007-2015年安徽省高中数学竞赛初赛试题及答案详解_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007-2015年安徽省高中数学竞赛初赛试题及答案详解内涵近8年安徽省数学竞赛初试试题...

2007年安徽省高中数学联赛初赛试卷

2007年安徽省高中数学联赛初赛试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2007年安徽省高中数学联赛初赛试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区...

2007年安徽省高中数学竞赛初赛试(word)

2007年安徽省高中数学竞赛初赛试(word)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007 年安徽省高中数学竞赛初赛试题一选择题 1. 如果集合 A.B 同时满足 A B ? ?1.2.3...

2015年全国高中数学竞赛安徽初赛试题及答案

2015年全国高中数学竞赛安徽初赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 ...文档贡献者 xujiangbo69429 贡献于2015-07-09 1/2 相关文档推荐 ...

2007安徽省高中数学竞赛初赛试题

1 2007 年安徽省高中数学竞赛初赛试题一选择题 1.如果集合 A.B 同时满足 A ∪ B = {1.2.3.4} A ∩ B = {1} , A ≠ {1} , B ≠ {1} 就...