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[名校联盟]福建省龙岩一中2012届高三5月模拟考试数学(文)试题


本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 参考公式:样本数据 x1 , x2 ,…, xn 的标准差 s ?

1? 2 2 2 . ? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? …? ? xn ? x ? ? ? ? n

其中 x 为样本平均数. 柱体体积公式 V ? Sh ,

其中 S 为底面面积, h 为高.

1 Sh ,其中 S 为底面面 积, h 为高. 3 4 3 2 球的表面积、体积公式 S ? 4πR , V ? πR ,其中 R 为球的半径. 3
锥体公式 V ?

第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. i 是虚数单位, i A. 1
2012

等于?

2.若集合 A ? x x ? 0 ,且 A A. ?1, 2? B.

?

?

B. ? 1

C. i

D. ?i

B ? B ,则集合 B 可能是
C.

??1,0?

? x x ? ?1?

D. R

3.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体的侧视图为

4.已知点 P 在曲线 x ? y ? 4 ? x ? 0? 上, a ? ?1, ?1? , OP / / a , O 为坐标原点,则点 P 为
2 2

A. ?1, ?1?

B. ?1,1?

C.

?

2, ? 2

?

D.

?

2, 2

?

5.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 A.1 B.2

S4 S2 ? ? 1 则数列 ?an ? 的公差是 4 2
C .3 D.4

6.已知 ? 、? 、 ? 是三个互不重合的平面, l 是一条直线,下列命题中正确命题是 A.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? ? ? 7 . 已 知 函 数 f ( x) ? sin(? x ? B.若 l 上有两个点到 ? 的距离相等,则 l // ? D.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ?

?
3

) (? ? 0) 和 g ( x) ? cos(2 x ? ? ) 的 图 象 的 对 称 中 心 完 全 相 同 , 若

x ? [0, ] ,则 f ( x) 的最小值是 2 1 3 A. ? B. ? 2 2

?

C. ? 1

D. 1

8. 在△ABC 中 ,角 A,B,C 所对边长分别为 a, b, c , sin 为 A. 3 B. 3 3 C. 6

A?C 3 , BA ? BC ? 6 .则 ?ABC 的面积 ? 2 2
D. 6 3

9. 下列命题中是假命题的是 A. ?x ? 0, 有ln2 x ? ln x ? 1 ? 0 ; B. ?? , ? ? R, 使 cos(? ? ? ) ? cos? ? sin ? ; C.“ a 2 ? b 2 ”是“ a ? b ”的必要不充分条件; D. ?m ? R,使f ( x) ? (m ? 1) ? x 10. 已知双曲线 x ?
2

m2 ?4 m?3

是幂函数,且在(0,+ ? )上递减.

y2 ? 1 与抛物线 y 2 ? 8x 的一个交点为 P , F 为抛物线的焦点,若 PF ? 5 ,则双 m
B. 2 x ? y ? 0 C. x ? 3 y ? 0 D.

曲线的渐近线方程为 A.

x ? 2y ? 0

3x ? y ? 0

11.已知函数 g ( x) ? 2? x ? 2x ,若 f ( x) ? ? A.有最小值,但无最大值. C.既有最大值,又有最小值.

? g ( x) ( x ? 0) ,则函数 f ( x ) 在定义域内 g ( ? x ) ( x ? 0) ?
B.有最大值,但无最小值. D.既无最大值,又无最小值.

12. 已知全集为 U , P ? U ,定义集合 P 的特征函数为 f P ( x) ? ? 出下列四个结论: ① 对 ?x ? U ,有 f?

?1, x ? P, ? ,对于 A ? U , B ? U ,给 ? ?0, x ? ?U P.

U

A
B

( x) ? f A ( x) ? 1 ;

② 对 ?x ? U ,若 A ? B ,则 f A ( x) ? f B ( x) ;

③ 对 ?x ? U ,有 f A

( x) ? f A ( x) ? f B ( x) ;④ 对 ?x ? U ,有 f AI B ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) .
C. ②③④ D. ①②③

其中,正确结论的序号是 A. ①②④ B. ①③④

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.10 名工人某天生产同一零件,生产的件数分别是 10,12,14,14,14,15,15,16,16,17 , 设这 10 个数的中位数为 a ,众数为 b ,则 a ? b ? 14.阅读图 2 的程序框图,该程序运行后输出的 k 的值为 . .

15.已知点 P( x, y) ? x ? 0, y ? 0? 在过点 ? 2, 0 ? 和 ? 0, 4 ? 的直线 l 上,则 xy 的最大值 是 .

? a11 ? 16.由 9 个正数组成的数阵 ? a21 ?a ? 31

a12 a22 a32

a13 ? ? a23 ? 中,每行中的三个数成等差数列,且 a33 ? ?

a11+a12+a13,a21+a22+a23,a31+a32+a33 成等比数列.给出下列结论: ①第二列中的 a12,a22,a32 必成等比数列;②第一列中的 a11,a21,a31 不一定成等比数列; ③a12+ a32≥a21+a23; ④若 9 个数之和大于 81,则 a22>9. 其中正确的序号有 . (填写所有正确结论的序号) .
[来源:学&科&网]

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.注意把解答填入 到答题卷上. 17.(本小题满分 12 分) 已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P( 3, ?1) . (Ⅰ)求 sin 2? ? tan ? 的值;
[来源:Z*xx*k.Com]

(Ⅱ)若函数 f ( x) ? sin 2x? cos ? ? cos 2 x? sin ? ,求函数 f ( x) 在 ?0, ? 上的单调递增区间. 3

? 2π ? ? ?

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,且点 ? an , an?1 ? 在函数 f ? x ? ?

1 x * 的图象上, bn ? .?n ? N ? 4x ?1 an
[来源:学科网]

(Ⅰ)求证:数列 {bn } 是等差数列,并求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? bn ? 2n ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn .

19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c , 其中 b, c 是某范围内的随机数, 分别在下列条件下, 求事件 A “ f (1) ? 5 且 f (0) ? 3 ”发生的概率. (Ⅰ)若随机数 b, c ??1,2,3,4,5? ; (Ⅱ)已知随机函数 Rand() 产生的随机数的范围为 x 0 ? x ? 1 , b, c 是算法语句 b ? 4 ? Rand() 和

?

?

c ? 4 ? Rand() 的执行结果.(注: 符号“ ? ”表示“乘号”)

20. (本小题满分 12 分) 在边长为 6cm 的正方形 ABCD 中,E、F 分别为 BC、CD 的中点,M、N 分别为 AB、CF 的中点,现 沿 AE、AF、EF 折叠,使 B、C、D 三点重合于 B,构成一个三棱锥(如图所示). (Ⅰ )在三棱锥上标注出 M 、 N 点,并判别 MN 与平面 AEF 的位置关系,并给出证明; (Ⅱ )G 是线段 AB 上一点, 且 AG ? ? ? AB , 问是否存在点 G 使得 AB ? 面EGF ,若存在 , 求出? 的 值;若不存在,请说明理由; (Ⅲ )求多面体 E-AFNM 的体积.

21. (本小题满分 12 分) 为了加快经济的发展,某市选择 A、B 两区作为龙头带动周边地区的发展,决 定在 A、B 两区的周边修建城际快速通道,假设 A、B 两区相距 2 2 个单位距离, 城际快速通道所在的曲线为 E,使快速通道 E 上的点到两区的距离之和为 4 个单位 距离. (Ⅰ) 以线段 AB 的中点 O 为原点建立如图所示的直角坐标系, 求城际快速通道 所在曲 线 E 的方程; (Ⅱ)若有一条 斜率为 2 的笔直公路 l 与曲线 E 交于 P,Q 两点,同时在 曲线 E 上建一个加油站 M(横坐标为负值)满足 BM ? AB ,求 ?MPQ 面积的最大值. y A O B

x

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x ,其中常数 a ? R .
2

(Ⅰ)当 a ? 4 时,求函数 f ( x ) 的极值点; (Ⅱ)令 F ( x) ? f ( x) ? (a ? 2) x ,若函数 F ( x) 在区间 ?2, ??? 上单 调递增,求 a 的取值范围; (Ⅲ)设定义在 D 上的函数 y ? h( x) 在点 P( x0 , h( x0 )) 处的切线方程为 l : y ? g ( x), 当 x ? x0 时,若

h( x ) ? g ( x ) 则称 P 为函数 y ? h( x) 的 “特殊点” , 请你探究当 a ? 4 时, 函数 y ? f ( x) ? 0 在 D 内恒成立, x ? x0
是否存在“特殊点” ,若存在,请最少求出一个“特殊点”的横坐标,若不存在,说明理由.

[来源:Zxxk.Com]

龙岩一中 2012 届高考模拟考数学(文史类)参考答案
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1~5:ABDCA 6~10:CBBCD 11~12:BA 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 0.5 14.11 15. 2 16. ①②③ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知 得: an ?1 ?

an 1 1 1 1 , ? 4? , ? ? 4 ,?bn?1 ? bn ? 4 . an an?1 an 4an ? 1 an?1
????????????4 分 ????????6 分

所以数列 ?bn ? 是以 1 为首项,4 为公差的等差数列. 所以数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 1 ? 4(n ?1) ? 4n ? 3 , 又 bn ?

1 1 ,所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? . 4n ? 3 an

??????? 8 分

[来源:Z_xx_k.Com]

(Ⅱ) Sn ? [1 ? 5 ?

? (4n ? 3)] ? (21 ? 22 ???? ? 2n )
?????????????12 分

计算并化简得 Sn ? 2n2 ? n ? 2 ? 2n?1 . 19. ( 本小题满分 12 分)

2 解:由 f ( x) ? x ? bx ? c 知,事件 A “ f (1) ? 5 且 f (0) ? 3 ”,即 ?

?b ? c ? 4 . 1分 ? c?3

(Ⅰ)因为随机数 b, c ??1,2,3,4,5? ,所以共等可能地产生 25 个数对 (b, c ) , 列举如下: ?1,1? , ?1,2? , ?1,3? , ?1,4? , ?1,5? , ? 2,1? , ? 2,2? , ? 2,3? , ?2,4 ? , ?2,5? ,

?3,1? , ?3,2? , ?3,3? , ?3,4? , ?3,5? , ?4,1?, ?4,2?, ?4,3?, ?4,4 ?, ?4,5?, ?5,1? , ?5,2? , ?5,3? , ?5,4? , ?5,5?
事件 A : ? ????4 分

?b ? c ? 4 包含了其中 6 个数对 (b, c ) ,即: ? c?3
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

(1,1),(1, 2),(1,3),(2,1),(2, 2),(3,1).
所以 P ? A ? ?

6 6 .· ,即事件 A 发生的概率为 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 25 25

20 . (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ )因翻折后 B、C、D 重合,所以 MN 应是 ?ABF 的一条中位线,如图所示. 则 MN ? 面AEF ??????2 分 证明如下: MN ? 平面AEF ? ? MN / /平面AEF .?4 分 (Ⅱ )存在 G 点使得 AB ? 面EGF ,此时 ? =1

B

MN / / AF

? ?

M

AF ? 平面AEF ? ?

N F

AB ? BE ? ? 因为 AB ? BF ? ? AB ? 面 EBF BE BF ? B ? ?
又 G 是线段 AB 上一点,且 AG ? ? ? AB ,
(Ⅲ )因为 AB ? 面BEF 且 AB ? 6, BE ? BF ? 3 , ∴ 当点 G 与点 B 重合时 AB ? 面EGF ,此时 ? =1

A

E ??????8 分

1 ? AB ? S?BEF ? 9 , 3 V S 3 又 E ? AFMN ? AFMN ? , VE ? ABF S?ABC 4 27 ∴VE ? AFMN ? . 4
∴VA? BEF ? 21.(本小题满分 12 分)

???????????????9 分 ????????????11 分 ?????????????12 分

解: (Ⅰ )设点 T 为曲线 E 上的任意一点,则 | TA | ? | TB |? 4为定值且|AB |? 2

所以曲线 E 的轨迹为椭圆, a = 2,b= 2 ,c = 2 ,所以椭圆方程为

y2 x2 ? ? 1 ???4 分 4 2

22. (本小题满分 14 分)

2 x 2 ? 6 x ? 4 2( x ? 1)(x ? 2) 4 ?6 = ? x x x 当 0 ? x ? 1或x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x ) 在 (0,1),(2, ??) 上单调递增; 当 1 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x ) 在 (1, 2) 上单调递减, 所以 x ? 1 为函数 f ( x ) 的极大值点, x ? 2 为函数 f ( x ) 的极小值点. ??4 分
(Ⅰ)当 a ? 4 时, f ?( x) ? 2 x ?

F ( x) ? f ( x) ? (a ? 2) x ? x2 ? a ln x ,若函数 F ( x) 在区间 ?2, ??? 上单调递增,只需满足 a F ?( x) ? 2 x ? ? 0 对 x ??2, ??? 恒成立 ??????6 分 x 2 即 a ? ?2 x 对 x ??2, ??? 恒成立 所以 a ? ?8 ?????????8 分 4 (Ⅲ)由题意:当 a ? 4 时, f ?( x) ? 2 x ? ? 6 , x 4 则在点 P 处切线的斜率 k 切 ? f / ( x0 ) ? 2 x0 ? ?6 x0
(Ⅱ)

所以 y ? g ( x) ? (2 x0 ?

4 2 ? 6)( x ? x0 ) ? x0 ? 6 x0 ? 4ln x0 x0
?????????10 分

? ( 2 x0 ?

4 2 ? 6) x ? x0 ? 4 ln x0 ? 4 x0

附件 1:律师事务所反盗版维权声明

附件 2:独家资源交换签约学校名录(放大查看) 学校名录参见:http://www.zxxk.com/wxt/list.aspx?ClassID=3060


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