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高二上学期期末——空间向量专项训练


高二、一部数学期末复习《空间向量与立体几何》
1.若 ?a , b, c?为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是( ).

A. ?a, a ? b, a ? b? B. ?b, a ? b, a ? b? C. ?c, a ? b, a ? b? D. ?a ? b, a ? b, a ? 2b? 2.在以下命题中,不正确的个数为(

)

b 共线的充要条件; ① a ? b ? a ? b 是a, ②若 a // b , 则存在唯一的实数 λ , 使 a =λ b ;
③对空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,若 OP ? 2OA ? 2OB? OC ,则 P,A,B,C 四点共面; ④若 ?a , b, c?为空间的一组基底, 则 ?a ? b, c ? b, c ? a? 构成空间的另一组基底; ⑤ (a ? b) ? c ? a ? b ? c |. A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个

3. 已知向量 e1 , e 2 , e 3 是两两垂直的单位向量,且 a ? 3e2 ? 2e2 ? e3 , b ? e1 ? 2e 3 ,则

1 ( 6a ) ? ( b ) 等于( 2

)

A.15

B.3

C.-3

D.5

4.已知直线 l 1 的方向向量 a ? (2,4, x ) ,直线 l 2 的方向向量 b ? ( 2, y,2) ,若 a ? 6 ,且

a ? b ,则 x ? y 的值是(
A.-3 或 1

) C.- 3 D.1 C D

B.3 或-1

5.如图,AB=AC=BD=1,AB?面 α ,AC⊥面 α ,BD⊥AB, BD 与面 α 成 30°角,则 C、D 间的距离为( )

?
A.1 B.2 C. 2 D. 3 π , 3

A

B

6.如图所示,已知空间四边形 OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC= 则 cos〈 OA, OB 〉的值为( ).

A.0

B.

1 2

C.

3 2

D.

2 2

7. 如图, 在大小为 45°的二面角 A-EF-D 中, 四边形 ABFE, CDEF 都是边长为 1 的正方形, 则 B,D 两点间的距离是( ) A. 3 B. 2 C.1 D. 3- 2

高二、一部数学

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8.已知空间三点 O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1)在直线 OA 上有一点 H 满足 BH⊥OA,则 点 H 的坐标为( ) A.(-2,2,0) B.(2,-2,0)

? 1 1 ? C.?- , ,0? ? 2 2 ?

1 ?1 ? D.? ,- ,0? 2 ?2 ?

9.已知 OA =(1,2,3), 点 Q 在直线 OP 上运动, 则当 QA? QB OB =(2,1,2), OP =(1,1,2), 取得最小值时,点 Q 的坐标为( )

?1 3 1? A.? , , ? ?2 4 3?

?1 3 3? B.? , , ? ?2 2 4?

?4 4 8? C.? , , ? ?3 3 3?

?4 4 7? D.? , , ? ?3 3 3?

10.在三棱锥 P?ABC 中,△ABC 为等边三角形,PA⊥平面 ABC,且 PA=AB,则二面角 A?PB?C 的平面角的正切值为( ) P 6 6 A. 6 B. 3 C. D. 6 2 A 11.在平行六面体()ABCD-A′B′C′D′中,AB=1,AD=2, AA′=3,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°,则 AC′的长为________. 12.已知 a =(1,2,-2).则与 a 共线的单位向量为 . B C

13.已知 a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且 a 与 b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围 是__________. 14.已知 a=(x,2,-4),b=(-1,y,3),c=(1,-2,z),且 a,b,c 两两垂直,则(x, y,z)=__________. 15.已知空间四边形 OABC,如图所示,其对角线为 OB、AC,M、N 分别为 OA、BC 的中点, 点 G 在线段 MN 上,且 MG ? 3GN , 用基向量 OA 、 OB 、 OC 表示向量 OG ,并设 OG =

xOA + yOB + zOC ,则 x, y, z 的和为__________.
16.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,BC=3,AC=6,D,E 分别为 AC、AB 上的点,且 DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如下(右)图. (1) 若 M 是 A1D 的中点, 求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小, (2) 求平面 A1BE 与平面 ACD 所成角的余弦值.

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17.已知在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,且 AD ? 2, AB ? 1 ,

PA ? 平面ABCD, E , F 分别是线段 AB 、BC 的中点.
(1)证明: PF ? FD ; (2)在线段 PA 上是否存在点 G ,使得 EG // 平面 PFD ,若存在,确定点 G 的位置; 若不存在,说明理由;
o (3)若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45 ,求二面角 A ? PD ? F 的余弦值.

P

A

D

B

F

C

18、 如图, 棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是矩形,PA ? 平面 ABCD,PA ? AD ? 2, BD ? 2 2 。
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求证: (1) BD ? 平面 PAC (2)求二面角 B ? PD ? C 的余弦值 (3)在线段 PD 上是否存在一点 Q,使 CQ 与平面 PBD 所成的 角的正弦值为 明理由。

2 6 ,若存在,指出点 Q 的位置,若不存在,说 9

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