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北京市西城区2014年高三第一学期期末试数学【理】试题及答案


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北京市西城区 2014 — 2015 学年度第一学期期末试卷

高三数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)

2015.1

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求

的一项. 1.设集合 A ? {?1, 0,1} , B ? {x | x2 ? x ? 2} ,则集合 A (A) {?1, 0,1} (B) {?1, 0}

B?(

) (D) {?1,1}

(C) {0,1}

2.设命题 p : ? 平面向量 a 和 b , | a ? b |?| a | ? | b | ,则 ? p 为( (A)? 平面向量 a 和 b , | a ? b | ≥| a | ? | b | (C) ? 平面向量 a 和 b , | a ? b |?| a | ? | b |



(B) ? 平面向量 a 和 b ,| a ? b |?| a | ? | b | (D) ? 平面向量 a 和 b , | a ? b | ≥ | a | ? | b |

3.在锐角 ? ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 a ? 2b ,sin B ?

3 ,则( 4
2 3



(A) A ?

? 3

(B) A ?

? 6

(C) sin A ?

3 3

(D) sin A ?

4.执行如图所示的程序框图,输出的 x 值为( (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7



开始 a=2,x=3

y ? ax

y ? 10 x ? 3
是 输出 x 结束

否 x=x+1

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5.设函数 f ( x) ? 3x ? b cos x , x ? R ,则“ b ? 0 ”是“函数 f ( x) 为奇函数”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件



6.一个四棱锥的三视图如图所示,那么对于这个四棱锥,下列说法中正确的是( (A)最长棱的棱长为 6 (B)最长棱的棱长为 3 (C)侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 (D)侧面四个三角形都是直角三角形 1 1 正(主)视图 1 1 俯视图 2 2



1 侧(左)视图

7. 已知抛物线 C : y ? 4x ,点 P(m,0) ,O 为坐标原点,若在抛物线 C 上存在一点 Q ,使得
2

? OQP

90o ,则实数 m 的取值范围是(

) (B) (4, + (D) (8, +

(A) (4,8) (C) (0, 4)

)
)

? x ? y≤1, 8. 设 D 为不等式组 ? ? 2 x ? y≥ ? 1, 表示的平面区域,点 B(a, b) 为坐标平面 xOy 内一点,若对于区域 D ? x ? 2 y≤1 ?

内的任一点 A( x, y) ,都有 OA ? OB≤1成立,则 a ? b 的最大值等于( (A)2 (C)0 (B)1 (D)3



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第Ⅱ卷(非选择题
2?i ,则 | z |? _____. 1 ? 2i

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 复数 z ?

10 .设 F1 , F2 为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的左、右焦点,点 P 为双曲线 C 上一点,如果 a 2 16

| PF1 | ? | PF2 |? 4 ,那么双曲线 C 的方程为____;离心率为____.
2
y

11.在右侧的表格中,各数均为正数,且每行中的各数从左到右成等差数 列,每列中的各数从上到下成等比数列,那么 x ? y ? z ? ______.

x
a

3

3 2
z

1 2
A 12. 如图,在 ?ABC 中,以 BC 为直径的半圆分别交 AB , AC 于点 F E B

5 8

E , F ,且 AC ? 2 AE ,那么

AF ? ____; ? A ? _____. AB

C

13.现要给 4 个唱歌节目和 2 个小品节目排列演出顺序,要求 2 个小 品节目之间恰好有 3 个唱歌节目,那么演出顺序的排列种数是______. (用数字作答)

14. 设 P,Q 为一个正方体表面上的两点,已知此正方体绕着直线 PQ 旋转 ( 自身重合,那么符合条件的直线 PQ 有_____条.

)角后能与

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分)

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已知函数 f ( x) ? 2 3 sin

x x x cos ? cos , x∈R 的部分图象如图所示. 4 4 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ) 设点 B 是图象上的最高点,点 A 是图象与 x 轴的交点,求 tan ?BAO 的值.

y
B O A

x

16. (本小题满分 13 分) 现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下: (1)投资股市: 投资结果 概 (2)购买基金: 投资结果 概 (Ⅰ)当 p = 率 获利 20% 不赔不赚 亏损 10% 率 获利 40% 不赔不赚 亏损 20%

1 2

1 8

3 8

p

1 3

q

1 时,求 q 的值; 4 4 ,求 p 的取值范围; 5

(Ⅱ)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,如果一年后他们中 至少有一人获利的概率大于

(Ⅲ)丙要将家中闲置的 10 万元钱进行投资,决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方 案中选择一种,已知 p =

1 1 , q = ,那么丙选择哪种投资方案,才能使得一年后投资收益的数学 2 6

期望较大?给出结果并说明理由.

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17. (本小题满分 14 分) 如 图 , 在 四 棱 柱 ABCD ? A1B1C1D1 中 , A1 A ? 底 面 ABC D , ?BAD ? 90 , AD // BC , 且

A1 A ? AB ? AD ? 2BC ? 2 ,点 E 在棱 AB 上,平面 A1EC 与棱 C1D1 相交于点 F.
(Ⅰ)证明: A1F ∥平面 B1CE ; (Ⅱ)若 E 是棱 AB 的中点,求二面角 A1 ? EC ? D 的余弦值; (Ⅲ)求三棱锥 B1 ? A1EF 的体积的最大值. B1 A1 C1 F D1

A E B 18. (本小题满分 13 分) C

D

已知函数 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) 和 g ( x) ? ln x 的图象有公共点 P,且在点 P 处的切线相同.
2

(Ⅰ)若点 P 的坐标为 ( , ?1) ,求 a, b 的值; (Ⅱ)已知 a ? b ,求切点 P 的坐标.

1 e

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F,右顶点为 A,离心率为 e,点 P(m,0)( m ? 4) 满足条件 16 12

| FA | ?e. | AP |
(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ) 设过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M, N 两点, 记 ?PMF 和 ?PNF 的面积分别为 S1 ,S2 , 求证:

S1 | PM | . ? S2 | PN |

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20. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? x(9 ? x) , 对于任意给定的 m 位自然数 n0 ? am am?1 十位数字,
n2 ? A(n1 ) ,

a2 a1(其中 a1 是个位数字,a 2 是

) ,定义变换 A : A(n0 ) ? f (a1 ) ? f (a2 ) ? , nk ? A(nk ?1 ) , .

? f (am ) . 并规定 A(0) ? 0 .记 n1 ? A(n0 ) ,

(Ⅰ)若 n0 ? 2015 ,求 n2015 ; (Ⅱ)当 m ? 3 时,证明:对于任意的 m(m ? N* ) 位自然数 n 均有 A(n) ? 10m?1 ; (Ⅲ)如果 n0 ? 10m (m ? N* , m ? 3) ,写出 nm 的所有可能取值.(只需写出结论)

北京市西城区 2014 — 2015 学年度第一学期期末

高三数学(理科)参考答案及评分标准
2015.1 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.C 5.C 2.D 6.D 3.A 7.B 4.C 8.A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 1 11. 17 4 13. 96 注:第 10,12 题第一问 2 分,第二问 3 分.
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10.

x2 y 2 ? ?1 4 16 1 12. 2

5
π 3

14.13

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? 2 3 sin

x x x cos ? cos 4 4 2 x x ? 3 sin ? cos 2 2 x π = 2 sin( ? ) , 2 6

?????? 2 分 ?????? 4 分

所以 T ?

2π ? 4π . 1 2
?????? 6 分

故函数 f ( x) 的最小正周期为 4 π .

π x π π ≤ ? ≤ 2kπ ? , 2 2 6 2 4π 2π 解得 4kπ ? , ≤ x ≤ 4kπ+ 3 3 4π 2π 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [4kπ ? , 4kπ+ ], (k ? Z) . 3 3
由题意,得 2kπ ? (Ⅱ)解:如图过点 B 作线段 BC 垂直于 x 轴于点 C .

?????? 9 分

y
B O C A

3T ? 3π , BC ? 2 , 4 BC 2 所以 tan ?BAO ? . ? AC 3π
由题意,得 AC ? ???? 13 分

x

16. (本小题满分 13 分)

(Ⅰ)解:因为“购买基金”后,投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种,且三 种投资结果相互独立, 所以 p +

1 + q =1. 3
1 , 4

?????? 2 分

又因为 p = 所以 q =

5 . 12

?????? 3 分

(Ⅱ)解:记事件 A 为 “甲投资股市且盈利”,事件 B 为“乙购买基金且盈利”,事
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件 C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”, 则 C = AB U AB U AB ,且 A,B 独立. 由上表可知, P ( A) =
1 , P( B) = p . 2

?????? 4 分

所以 P(C) = P( AB) + P( AB) + P( AB)
=
=

?????? 5 分

1 ? (1 2

p) +

1 ? p 2

1 2

p

1 1 . + p 2 2

?????? 6 分

因为 P(C ) = 1 + 1 p > 4 , 2 2 5

3 . 5 1 又因为 p + + q = 1 , q≥0 , 3
所以 p > 所以 p≤ 2 . 3 所以 3 < p≤ 2 . 5 3

?????? 7 分

?????? 8 分

(Ⅲ)解:假设丙选择“投资股票”方案进行投资,且记 X 为丙投资股票的获利金额(单位:万元) , 所以随机变量 X 的分布列为:
X

4

0

?2

P

1 2

1 8

3 8
????? 9 分

1 1 3 5 则 EX ? 4 ? ? 0 ? ? (?2) ? ? . 2 8 8 4

?????10 分

假设丙选择“购买基金”方案进行投资,且记 Y 为丙购买基金的获利金额(单位:万元) , 所以随机变量 Y 的分布列为: Y 2
1 2

0
1 3

?1
1 6

P

????? 11 分

1 1 1 5 则 EY ? 2 ? ? 0 ? ? (?1) ? ? . 2 3 6 6

????? 12 分

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因为 EX ? EY , 所以丙选择“投资股市” ,才能使得一年后的投资收益的数学期望较大.??? 13 分

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为 ABCD ? A1B1C1D1 是棱柱, 所以平面 ABCD∥ 平面 A1B1C1D1 . 又因为平面 ABCD 平面 A1ECF ? EC ,平面 A1B1C1D1 所以 A1F ∥ EC . 又因为 A1F ? 平面 B1CE , EC ? 平面 B1CE , 所以 A1F ∥平面 B1CE . (Ⅱ)解:因为 AA1 ? 底面 ABCD , ?BAD ? 90 , 所以 AA1 , AB , AD 两两垂直,以 A 为原点,以 AB , AD , AA1 分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴, 如图建立空间直角坐标系. 则A 1 (0,0, 2) , E (1, 0, 0) , C (2,1, 0) , M 所以 A , 1 ? (2,1, ?2) . 1E ? (1,0, ?2) AC 设平面 A 1ECF 的法向量为 m ? ( x, y, z ), 由A , AC , 1E ? m ? 0 1 ?m ? 0 得? E x B C B1 C1 F ???????5 分 z A1 D1 ???????4 分 平面 A1ECF ? A1F , ???????2 分

A

D

y

? x ? 2 z ? 0, ?2 x ? y ? 2 z ? 0.

令 z ? 1 ,得 m ? (2, ?2,1) . 又因为平面 DEC 的法向量为 n ? (0,0,1) , 所以 cos ? m, n ??

???????7 分 ???????8 分

m?n 1 ? , | m|?| n| 3
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由图可知,二面角 A1 ? EC ? D 的平面角为锐角, 所以二面角 A1 ? EC ? D 的余弦值为 . 过点 F 作 FM ? A1B1 于点 M ,

1 3

???????10 分 (Ⅲ) 解:

? 平面 A1B1C1D1 , FM ? 平面 A1B1C1D1 , 因为平面 A 1 ABB 1
所以 FM ? 平面 A1 ABB1 , 所以 VB1 ? A1EF ? VF ? B1 A1E ? ? S ?A1B1E ? FM

1 3

???????12 分

1 2? 2 2 ? ? ? FM ? FM . 3 2 3
因为当 F 与点 D1 重合时, FM 取到最大值 2(此时点 E 与点 B 重合) , 所以当 F 与点 D1 重合时,三棱锥 B1 ? A1EF 的体积的最大值为

4 . ??????14 分 3

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由题意,得 f ( ) ?

1 e

a b ? ? ?1 , e2 e

???????1 分 ???????3 分

1 且 f ?( x) ? 2ax ? b , g ?( x) ? , x
由已知,得 f ?( ) ? g ?( ) ,即 解得 a ? 2e , b ? 3e .
2

1 e

1 e

2a ?b ? e, e
???????5 分

(Ⅱ)解:若 a ? b ,则 f ?( x) ? 2ax ? a , g ?( x) ? 设切点坐标为 ( s, t ) ,其中 s ? 0 , 由题意,得 as 2 ? as ? ln s , ① ②

1 , x

2as ? a ?
由②,得 a ?

1 , s

???????6 分

1 1 ,其中 s ? , 2 s (2 s ? 1) s ?1 代入①,得 (*) ? ln s . 2s ? 1

???????7 分

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1 ? 0 ,且 s ? 0 , s(2s ? 1) 1 所以 s ? . 2 x ?1 1 设函数 F ( x ) ? ? ln x , x ? ( , ??) , 2x ?1 2 ?(4 x ? 1)( x ? 1) 则 F ?( x) ? . x(2 x ? 1) 2 1 令 F ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? (舍). 4
因为 a ? 当 x 变化时, F ?( x) 与 F ( x) 的变化情况如下表所示,

???????8 分

???????9 分 ???????10 分

x
F ?( x)

1 ( ,1) 2

1 0

(1, ??)

?


?
↘ ???????12 分

F ( x)

1 所以当 x ? 1 时, F ( x) 取到最大值 F (1) ? 0 ,且当 x ? ( ,1) (1, ??) 时 F ( x) ? 0 . 2
因此,当且仅当 x ? 1 时 F ( x) ? 0 . 所以方程(*)有且仅有一解 s ? 1 . 于是 t ? ln s ? 0 , 因此切点 P 的坐标为 (1, 0) . ???????13 分

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:因为椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1, 16 12
??????2 分 ??????3 分

所以 a ? 4 , b ? 2 3 , c ? a2 ? b2 ? 2 , 则 e? 因为

c 1 ? , | FA |? 2 , | AP |? m ? 4 . a 2

| FA | 2 1 ? ? , | AP | m ? 4 2
??????5 分

所以 m ? 8 .

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(Ⅱ)解:若直线 l 的斜率不存在, 则有 S1 ? S 2 , | PM |?| PN | ,符合题意. ????6 分 若直线 l 的斜率存在,则设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) .
? x2 y2 ? ? 1, 由 ? ? 16 12 ? y ? k ( x ? 2), ?

得 (4k 2 ? 3) x2 ?16k 2 x ? 16k 2 ? 48 ? 0 , 可知 ? ? 0 恒成立,且 x1 ? x2 ? 因为 k PM ? k PN ?

?????? 7 分 ?????? 8 分 ?????? 10 分

16k 2 16k 2 ? 48 , . x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

y1 y k ( x1 ? 2) k ( x2 ? 2) ? 2 ? ? x1 ? 8 x2 ? 8 x1 ? 8 x2 ? 8
k ( x1 ? 2)(x2 ? 8) ? k ( x2 ? 2)(x1 ? 8) ( x1 ? 8)(x2 ? 8) 2kx1 x2 ? 10k ( x1 ? x2 ) ? 32k ( x1 ? 8)(x2 ? 8)
2k ? 16k 2 ? 48 16k 2 ? 10 k ? ? 32k 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ? 0, ( x1 ? 8)(x2 ? 8)

?

?

?

所以 ?MPF ? ?NPF . 因为 ?PMF 和 ?PNF 的面积分别为 S1 ?

?????? 12 分

1 | PF | ? | PM | ? sin ?MPF , 2
?????? 13 分 ?????? 14 分

1 S2 ? | PF | ? | PN | ? sin ?NPF , 2
所以

S1 | PM | . ? S2 | PN |

20. (本小题满分 13 分) ( Ⅰ ) 解 : n1 ? 14 ? 0 ? 8 ? 20 ? 42 , n2 ? 20 ? 14 ? 34 , n3 ? 18 ? 20 ? 38 , n4 ? 18 ? 8 ? 26 ,

n5 ? 14 ? 18 ? 32 , n6 ? 18 ? 14 ? 32 ,??
所以 n2015 ? 32 . 证明:因为函数 ?????? 3 分(Ⅱ)

9 81 f ( x) ? x(9 ? x) ? ?( x ? )2 ? 2 4 ,
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所以对于非负整数 x ,知 f ( x) ? x(9 ? x)≤20 .(当 x ? 4 或 5 时,取到最大值)? 4 分 因为 A(n) ? f (a1 ) ? f (a2 ) ? 所以 A(n)≤20m . 令 g (m) ? 10m?1 ? 20m ,则 g (3) ? 103?1 ? 20 ? 3 ? 0 . 当 m≥3 时, g (m ? 1) ? g(m) ? 10m ? 20(m ? 1) ? 10m?1 ? 20m ? 9 ?10m?1 ? 20 ? 0 , 所以 g (m ? 1) ? g(m) ? 0 ,函数 g (m) , ( m ? N ,且 m≥3 )单调递增. 故 g(m)≥g(3) ? 0 ,即 10m?1 ? 20m≥A(n) . 所以当 m≥3 时,对于任意的 m 位自然数 n 均有 A(n) ? 10m?1 . ???????9 分

? f (am ) ,
?????? 6 分

(Ⅲ)答: nm 的所有可能取值为 0,8,14,16,20,22,26,28,32,36,38. ???????14 分

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