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2013高考数学 解题方法攻略 二次绝对值不等式 理


与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题 二次函数是最简单的非线性函数之一,而且有着丰富的内容,它对近代数仍至现代数学影响 深远,这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容,经久不衰,以它为核心内容 的高考试题,形式上也年年有变化,此类试题常常有绝对值,充分运用绝对值不等式及二次 函数、二次方程、二次不等式的联系,往往采用直接法,利用绝对值不等式的性质进行适当 放缩,常用

数形结合,分类讨论等数学思想,以下举例说明。 1. 设 , 当 时, 总有 , 求证当 时, . 证明:由于 是二次函数, 在 上最大值只能是 ,或 ,故只要证明 意有 . ;当 时,有 ,由题 由 得 . . . 当 时, . 因此当 时, . 点评:从函数性质的角度分析,要证 的最大值 满足 . 而 时, ,只要证当 、 、 怎么取值 时, 在 又是二次函数, 不论 -1- 上的最大值只能是 ,或 ,因而只要证明 , ,这里需要特别指出的是要将 二次函数中的系数 用 、 、 与 表示: 建立联系,将 ,然后用含有绝对值不等式的性质, 进行适当放缩。 2.已知 , 是实数,函数 ,当 时, (1)证明: ; (2)证明:当 (3)设 ,当 时, 时, ; 的最大值为 2,求 . (1996 年全国高考题) 证明:(1)依题设得 (2)证法:当 ,而 时, 所以 在 . 上是增函数。 则 时,有 ,又 , , ,因此得 当 时, . 又 在 上是减函数,则当 , 时, . , ,因此得 当 时, , . -2- 综上可知,当 (3)依题意 值为 2,故 ; ,故 时,都有 在 . 上是增函数,又 , 。 . 在 上的最大 当 点 时, 上取得最小值为 ,所以, ,即 . ,故 ,即函数 在区间 的内 是直线 是二次函数且它的图像是对称轴 ,由此得 . 点评:本题运用了赋值法,函数的单调性、二次函数的最小值,含有绝对值不等式的性 质等,问题(1)的设置意在降低难度,容易上手,抓住这 2 分,问题(3)的意义是证明问 题(2)中的结论不能改进,从而是精确的,这样(2)、(3)合在一起构成问题的完整解答。 本题的设计背景是:对于二次函数 件“当 对于多项式函数 时, ”,则有结论“当 和 ,给定件“当 论“当 时, ”. 2 和一次函数 时, ,给定条 ”. 更一般地, 时, ”,则有结 3 、 已 知 二 次 函 数 f(x)=ax +bx+c 和 一 次 函 数 g(x)= - bx , 其 中 a 、 b 、 c 满 足 a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R) (1)求证两函数的图象交于不同的两点 A、B; (2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围 ? y ? ax 2 ? bx ? c 2 (1)证明由 ? 消去 y 得 ax +2bx+c=0 ? y ? ?bx Δ =4b -4ac=4(-a-c) -4ac=4(a +ac+c )=4[(a+ ) 2 ? 2 2 2 2 c 2 3 2 c] 4 ∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴ 3 2 c >0,∴Δ >0,即两函数的图象交于不同的两点 4 2 (2)解设方程 ax +bx+c=0 的两根为 x1 和 x2,则 x1+x2=- |A1B1| =(x1-x2) =(x1+x2) -4x1x2 2 2 2 2

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