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函数的单调性和奇偶性 典型例题

时间:2012-03-26


典型例题

函数的单调性和奇偶性

2 例 1 (1)画出函数 y=-x +2|x|+3 的图像,并指出函数的单调区间. 2 函数图像如下图所示, x≥0 时, 当 y=-x2+2x+3=- x-1)+4; x<0 时, ( 当 y=-x2-2x+3 解:

=-(x+1)2+4.在(-∞,-1]和[0,1]上,函数是增函数:在[-1,0]和[1,+∞)上, 函数是减函数.

评析 函数单调性是对某个区间而言的,对于单独一个点没有增减变化,所以对于区间 端点只要函数有意义,都可以带上. (2)已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上是减函数,求实数 a 的取 值范围. 分析 要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征. 解:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)] -(a-1)2+2,此二次函数的对称轴是 x


=1-a.因为在区间(-∞,1-a]上 f(x)是单调递减的,若使 f(x)在(-∞,4]上单调递 减,对称轴 x=1-a 必须在 x=4 的右侧或与其重合,即 1-a≥4,a≤-3. 评析 这是涉及逆向思维的问题,即已知函数的单调性,求字母参数范围,要注意利用 数形结合. 例 2 判断下列函数的奇偶性: -

(1)f(x)=

(2)f(x)=(x-1)



解:(1)f(x)的定义域为 R.因为 f(-x)=|-x+1|-|-x-1| =|x-1|-|x+1|=-f(x). 所以 f(x)为奇函数.

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典型例题

(2)f(x)的定义域为{x|-1≤x<1},不关于原点对称.所以 f(x)既不是奇函数, 也不是偶函数. 评析 用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下: (1)求函数的定义域,并考查定义域是否关于原点对称. (2)计算 f(-x),并与 f(x)比较,判断 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x)之一是 否成立.f(-x)与-f(x)的关系并不明确时,可考查 f(-x)±f(x)=0 是否成立,从而判 断函数的奇偶性.

例 3 已知函数 f(x)= (1)判断 f(x)的奇偶性.



(2)确定 f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数?在区间(0,+∞)上呢?证明你的 结论. 解:因为 f(x)的定义域为 R,又

f(-x)=



=f(x),

所以 f(x)为偶函数. (2)f(x)在(-∞,0)上是增函数,由于 f(x)为偶函数,所以 f(x)在(0,+∞) 上为减函数. 其证明:取 x1<x2<0,

f(x1)-f(x2)= 因为 x1<x2<0,所以 x2-x1>0,x1+x2<0, x21+1>0,x22+1>0,

-







得 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 所以 f(x)在(-∞,0)上为增函数. 评析 奇函数在(a,b)上的单调性与在(-b,-a)上的单调性相同,偶函数在(a,b)与 (-b,-a)的单调性相反. 例 4 已知 y=f(x)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数,且 f(x)<0,试问 F(x)



在(-∞,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论.

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典型例题

可以任取 x1<x2<0, 进而判定 F x1)(x2) ( -F = 分析 根据函数的增减性的定义,

-



的正负.为此,需分别判定 f(x1)、f(x2)与 f(x2)的正负,

而这可以从已条件中推出. 解:任取 x1、x2∈(-∞,0)且 x1<x2,则有-x1>-x2>0. ∵y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f(x)<0, ∴f(-x2)<f(-x1)<0. 又∵f(x)是奇函数, ∴f(-x2)=-f(x2),f(-x1)=-f(x1) 由①、②得 f(x2)>f(x1)>0.于是 ② ①

F(x1)-F(x2)=

>0,即 F(x1)>F(x2),

所以 F(x)=

在(-∞,0)上是减函数.

评析 本题最容易发生的错误,是受已知条件的影响,一开始就在(0,+∞)内任取 x1 <x2,展开证明.这样就不能保证-x1,-x2,在(-∞,0)内的任意性而导致错误. 避免错误的方法是:要明确证明的目标,有针对性地展开证明活动.

例 5 讨论函数 f(x)=

(a≠0)在区间(-1,1)内的单调性.

分析 根据函数的单调性定义求解. 解:设-1<x1<x2<1,则

f(x1)-f(x2)=

-

= ∵x1,x2∈(-1,1),且 x1<x2, ∴x1-x2<0,1+x1x2>0, (1-x21)(1-x22)>0 于是,当 a>0 时,f(x1)<f(x2);当 a<0 时,f(x1)>f(x2).
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典型例题

故当 a>0 时,函数在(-1,1)上是增函数;当 a<0 时,函数在(-1,1)上为减函数. 评析 根据定义讨论(或证明)函数的单调性的一般步骤是: (1)设 x1、x2 是给定区间内任意两个值,且 x1<x2; (2)作差 f(x1)-f(x2),并将此差式变形; (3)判断 f(x1)-f(x2)的正负,从而确定函数的单调性.

例 6 求证:f(x)=x+ 解:设 0<x1<x2≤k,则

(k>0)在区间(0,k]上单调递减.

f(x1)-f(x2)=x1+

-x2-

= ∵0<x1<x2≤k, ∴x1-x2<0,0<x1x2<k2, ∴f(x1)-f(x2)>0 ∴f(x1)>f(x2),

∴f(x)=x+

中(0,k]上是减函数.

评析 函数 f(x)在给定区间上的单调性反映了函数 f(x)在区间上函数值的变化趋 势,是函数在区间上的整体性质.因此,若要证明 f(x)在[a,b]上是增函数(减函数), 就必须证明对于区间[a,b]上任意两点 x1,x2,当 x1<x2 时,都有不等式 f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)) 类似可以证明:

函数 f(x)=x+

(k>0)在区间[k,+∞]上是增函数.

例 7 判断函数 f(x)=

的奇偶性.

分析 确定函数的定义域后可脱去绝对值符号.

解:由

得函数的定义域为[-1,1].这时,|x-2|=2-x.
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典型例题

∴f(x)=



∴f(-x)=



=f(x).

且注意到 f(x)不恒为零,从而可知,f(x)=

是偶函数,不是奇函数.

评析 由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性,若不作深入思考,便 会作出其非奇非偶的判断. 但隐含条件 (定义域) 被揭示之后, 函数的奇偶性就非常明显了. 这 样看来,解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误,而且有时还可以避开讨论,简化解 题过程.

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