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江苏省高邮中学2015届高三上学期期中数学复习专题——圆锥曲线


专题:圆锥曲线的综合应用
牢记重点知识
1.会求圆锥曲线的标准方程、会利用圆锥曲线的定义和几何性质解决问题. 2.能够处理由椭圆上的点或特殊的线所形成的直线的综合问题. 3.掌握与椭圆有关的定点、定值、最值(取值范围)问题的处理方法.

自我检测
x2 y 2 ? ? 1( a > 0 , b> 0) 的左、 右焦点分别为 F1

, F2 ,以 F1F2 为直径的圆与双 a2 b2 曲线在第一象限的交点为 P .若 ?PF . 1F 2 ? 30 ,则该双曲线的离心率为
1. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点相同,则 m ? 2. 若双曲线 m m?2
3.已知双曲线

. .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的一条渐近线方程为 2 x ? y ? 0 ,则 a 的值为 a2 4

4. 设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点为 F1, F2 ,作 F2 作 x 轴的垂线与 C 交于 a 2 b2

A,B 两点, F1 B 与 y 轴交于点 D ,若 AD ? F1B ,则椭圆 C 的离心率等于________.

5. 已 知 c 是 椭 圆 为 .

b?c x2 y2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 的 半 焦 距 , 则 的取值范围 2 a a b

剖析经典例题
最值(取值范围)问题

2 y2 例 1、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 1 ,过椭圆右 2 a b

焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD .当直线 AB 斜率为 0 时, AB ? CD ? 7 . (1)求椭圆的方程; (2)求 AB ? CD 的取值范围.

y B
O C

D F A
x

定值问题 例 2、在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右准线为直线 l,动直线 a 2 b2 y ? kx ? m (k ? 0,m ? 0) 交椭圆于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,射线 OM 分别交椭圆

及直线 l 于 P,Q 两点,如图.若 A,B 两点分别是椭圆 E 的右顶点,上顶点时,点 Q 的纵

1 坐标为 (其中 e 为椭圆的离心率) ,且 OQ ? 5OM . e
(1)求椭圆 E 的标准方程;

(2)如果 OP 是 OM,OQ 的等比中项,那么 请说明理由.

m 是否为常数?若是,求出该常数;若不是, k y
l

B
M
O

P

Q

A

x

定点问题 x2 y2 6 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E: 2 + 2=1(a>b>0)的焦距为 2,且过点( 2, ). a b 2 (1) 求椭圆 E 的方程; (2) 若点 A、B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是椭圆上 异于 A、B 的任意一点,直线 AP 交 l 于点 M. (ⅰ) 设直线 OM 的斜率为 k1,直线 BP 的斜率为 k2.求证:k1·k2 为定值; (ⅱ) 设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m.求证:直线 m 过定点,并求出定点的坐标.

专题:圆锥曲线综合应用作业
班级: 姓名: 一、填空题: (请将答案填在空白处,在空行间写出简要过程)

x2 ? y 2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于_________. 1、双曲线 4
2、与双曲线 x ?
2

y2 ? 1有共同的渐近线,且过点 (2, 2) 的双曲线方程是________. 4
2

3、已知双曲线 x ? y ? 1,点 F1 , F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 PF1 ? PF2 ,
2

则 PF 1 ? PF 2 的值为__________. 4、抛物线 y ? 8x 的焦点到准线的距离是
2

. .

5、抛物线 y ? 2x 的焦点坐标为
2 2

6、若 AB 为经过抛物线 y ? 4 x 焦点的弦,且 AB ? 4 , O 为坐标原点,则 ?AOB 的面积

等于 7、设点 P 在椭圆



x2 y 2 a2 a ? b ? 0 l ? ? 1 x ? ? ( )上,直线 的方程为 ,且点 F 的坐标 a 2 b2 c

为 (?c, 0) ,作 PQ ? l 与点 Q ,若 P, F , Q 三点构成一个等腰直角三角形,则椭圆的离心率 为 .

8、设 F1 , F2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于 P, Q 两 4 3


点,当四边形 PFQF 1 2 面积最大时, PF 1 ? PF2 的值为

简答题: 9、在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆
x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F ?与 F,圆 F : 4

? x ? 3?

2

? y2 ? 5 .

(1)设 M 为圆 F 上一点,满足 MF' ? MF ? 1 ,求点 M 的坐标; (2)若 P 为椭圆上任意一点,以 P 为圆心,OP 为半径的圆 P 与圆 F 的公共弦为 QT, 证明:点 F 到直线 QT 的距离 FH 为定值.
y

F'

Q

O H

F x

P
T

x2 y2 10、已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)过点 P(-1,-1),c 为椭圆的半焦距,且 c= 2b.过 点 P 作两条互相垂直的直线 l1,l2 与椭圆 C 分别交于另两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l1 的斜率为-1,求△PMN 的面积; (3)若线段 MN 的中点在 x 轴上,求直线 MN 的方程.

圆锥曲线综合应用学案答案
自我检测答案: 3 ? 1 答案:1 答案:1 答案:

3 3

答案: 1, 2

?

?

例 1. 【解】 (1)由题意知, e ? c ? 1 , CD ? 7 ? 2a , a 2 所以 a2 ? 4c2 , b2 ? 3c2 . ……………………………2 分

2 因为点 (c, 7 ? 4c ) 在椭圆上,即 c 2 ? 2 4c
2 y2 所以椭圆的方程为 x ? ?1. 4 3

( 7 ? 4c )2 2 ? 1 ,所以 c ? 1 . 3c2
……………………………6 分

(2)① 当两条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在, 由题意知 AB ? CD ? 7 ; ……………………………7 分

② 当两弦斜率均存在且不为 0 时,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 且设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 则直线 CD 的方程为 y ? ? 1 ( x ? 1) . k 将直线 AB 的方程代入椭圆方程中,并整理得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,
4k 2 ? 6 k 2 ? 1 x ? 4k 2 ? 6 k 2 ? 1 所以 x1 ? , 2 , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

所以 AB ? k 2 ? 1 | x1 ? x2 |?

12(k 2 ? 1) . 3 ? 4k 2

……………………………10 分

12( 12 ? 1) 12(k 2 ? 1) k ? 同理, CD ? . 3k 2 ? 4 3 ? 42 k

所以 AB ? CD ?

12(k 2 ? 1) 12(k 2 ? 1) 84(k 2 ? 1) 2 ? ? , 3 ? 4k 2 3k 2 ? 4 (3 ? 4k 2 )(3k 2 ? 4)

………………………12 分

令 t ? k 2 ? 1 ,则 t ? 1 , 3 ? 4k 2 ? 4t ? 1 , 3k 2 ? 4 ? 3t ? 1 ,

设 f (t ) ?

(4t ? 1)(3t ? 1) ?? 1 ? 1 ? 12 ? ?(1 ? 1 )2 ? 49 ,因为 t ? 1 ,所以 1 ? (0,1) , t t 2 4 t2 t2 t

所以 f (t ) ? (12, 49 ] ,所以 AB ? CD ? 84 ?[ 48 ,7) . 4 f (t ) 7 综合①与②可知, AB ? CD 的取值范围是 [ 48 ,7] . 7 ……………………………16 分

a b 例 2. 解:当 A,B 两点分别是椭圆 E 的右顶点和上顶点时,则 A(a,0) , B(0, b) , M ( , ) . 2 2
1 b a2 1 ∵ Q( , ) ,∴由 O,M,Q 三点共线,得 ? e2 ,化简,得 b ? 1 .………2 分 a a c e c

a2 ∵ OQ ? 5OM ,∴ c ? 5 ,化简,得 2a ? 5c . a 2
?a 2 ? b2 ? c 2, ? 由 ?b ? 1, ? ?2a ? 5c,
? a 2 ? 5, ? 解得 ? 2 ? ?c ? 4.

…………………………………………4 分

(1)椭圆 E 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1 . …………………………………………6 分 5 x2 ? y 2 ? 1 ,得 5
……………………………………………8 分

(2)把 y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0) ,代入
(5k 2 ? 1) x2 ? 10mkx ? 5m2 ? 5 ? 0 .

当△ ? 0 , 5k 2 ? m2 ? 1 ? 0 时, xM ? ? 从而点 M (?

5mk m , yM ? 2 , 2 5k ? 1 5k ? 1
……………………………………………10 分

5mk m , 2 ). 2 5k ? 1 5k ? 1 1 x. 5k

所以直线 OM 的方程 y ? ?
1 ? y ? ? x, ? ? 5k 由? 2 x ? ? y 2 ? 1, ? ?5

得 xP 2 ?

25k 2 . ……………………………………………12 分 5k 2 ? 1

∵OP 是 OM,OQ 的等比中项,∴ OP2 ? OM ? OQ ,

从而 xP 2 ? xM xQ ? ? 由 ∴

25mk . 2(5k 2 ? 1)

……………………………………………14 分

25k 2 25mk m ?? ,得 m ? ?2k ,从而 ? ?2 ,满足△ ? 0 . ……………15 分 2 2 5k ? 1 2(5k ? 1) k

m 为常数 ?2 . k

………………………………………………………………16 分

2 3 例 3. 解:由题意得 2c=2,所以 c=1,又 2+ 2=1,(2 分) a 2b 1 消去 a,可得 2b4-5b2-3=0,解得 b2=3 或 b2=- (舍去),则 a2=4, 2 x2 y2 所以椭圆 E 的方程为 + =1.(4 分) 4 3 y0 y1 证明:(2) (ⅰ) 设 P(x1,y1)(y1≠0),M(2,y0),则 k1= ,k2= , 2 x1-2 4y1 y0y1 4y2 1 ,所以 k1k2= = , x1+2 2(x1-2) 2(x2 - 4) 1 3 4y2 3 1 2 因为 P(x1,y1)在椭圆上,所以 y2 =- 为定值. 1= (4-x1),故 k1k2= 2 4 2 2(x1-4) 因为 A、P、B 三点共线,所以 y0= (ⅱ) 直线 BP 的斜率为 k2= 2-x1 y1 ,直线 m 的斜率为 km= , y1 x1-2

2-x1 则直线 m 的方程为 y-y0= (x-2),(12 分) y1
2 2-x1 2-x1 2(2-x1) 2-x1 2(x2 1-4)+4y1 4y y= (x-2)+y0= x- + = x+ y1 y1 y1 y1 x1+2 (x1+2)y1 2 2-x1 2(x2 2-x1 2-x1 2-x1 1-4)+12-3x1 = x+ = x+ = (x+1), y1 y1 y1 y1 (x1+2)y1

所以直线 m 过定点(-1,0).(16 分)

作业答案
1.

x2 y2 2 5 ? ? 1 3. 2 3 . 4..4 . 2. 5 3 12

简答题: 9、解: (1) (1)F?(? 3 ,0) ,F( 3 ,0) ,设 M(m,n) , 由 MF' ? MF ? 1 ,得 m ? 3 m ? 3 ? n 2 ? 1 .

?

??

?

即 m2 ? n 2 ? 4 .① 又 m? 3

?

?

2

? n2 ? 5 .②
3 33 ,n ? ? . 3 3

由①,②,得 m ? ∴M(

3 33 3 33 , ) ,或 M( ,? ) . 3 3 3 3

(2)四边形 MAFB 面积为 5MA ? 5 ? MF 2 ? 5 . 因为 M 为直线 l : y ? kx ? 2 上一点,

所以 MF 的最小值为点 F 到直线 l 的距离,即 MFmin ?

3k ? 2 k2 ?1



? 所以 5 ? ? ? ?

3k ? 2 ? ? ? 5 ? 5 ,解得 k ? ?2 3 ? 6 . 2 3 k ?1 ? ?
2 2

2

(3)设 P ? x0 , y0 ? ,则圆 P 的方程为 ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? x02 ? y02 .联立 x ? 3 得圆 P 与圆 F 的公共弦所在直线的方程为 x0 ? 3 x ? y0 y ? 1 ? 0 .
3 x0 ? 3 ? 1

?

?

2

? y2 ? 5 ,

?

?

所以点 F 到公共弦所在直线的距离 d ?

?

?

?x

0

? 3

?

2

?

3x0 ? 4 x0 2 ? y0 2 ? 2 3x0 ? 3



? y0

2

因为 P ? x0 , y0 ? 在椭圆上,所以

x0 2 x2 ? y0 2 ? 1 ,即 y0 2 ? 1 ? 0 , 4 4

所以 d ?

3x0 ? 4 x2 x0 ? (1 ? 0 ) ? 2 3x0 ? 3 4
2

?

3x0 ? 4 3 2 x0 ? 2 3x0 ? 4 4

?

3x0 ? 4 3 ( x0 ? 2)2 2

?2,

所以点 Q 到直线 PF 的距离为 d ? ? 5 ? 22 ? 1(定值) ,得证. 1 1 4 10、解: (1)由条件得a2+b2=1,且 c2=2b2,所以 a2=3b2,解得 b2=3,a2=4.

















x2 4



3y2 4



1. ………………………………………3 分 (2)设 l1 方程为 y+1=k(x+1),
?y=kx+k-1, 联立? 2 消去 y 得(1+3k2)x2+6k(k-1)x+3(k-1)2-4=0. 2 ?x +3y =4,

因 为

P

为 ( - 1 , 1 ) , 解 得

M (

-3k2+6k+1 , 1+3k2

3k2+2k-1 ) .………………………………………5 分 1+3k2 当 k≠0 时 , 用 - 1 k 代 替 k , 得 N ( k2-6k-3 k2+3 ,

-k2-2k+3 ) . ………………………………………7 分 k2+3 将 k=-1 代入,得 M(-2,0) ,N(1,1) . 因为 P(-1,-1) ,所以 PM= 2,PN=2 2, 所 2. 以 △ PMN 的 面 积 为 1 2 × 2 ×2 2 =

………………………………………9 分 (3)解法一:设 M(x1,y1),N(x2,y2),则
?x12+3y12=4, ? 2 两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+3(y1+y2)(y1-y2)=0, 2 ?x2 +3y2 =4,

因 为 线段 MN 的中 点 在 x 轴 上 , 所 以 y1 + y2 = 0 , 从 而 可 得 (x1 + x2)(x1 - x2) = 0.…………………12 分 若 x1+x2=0,则 N(-x1,-y1). → → 因为 PM⊥PN,所以PM·PN=0,得 x12+y12=2. 又因为 x12+3y12=4,所以解得 x1=±1,所以 M(-1,1),N(1,-1)或 M(1,-1), N(-1, 1). 所 以 直 线 MN 的 方 程 为 y = - x. ………………………………………14 分 若 x1-x2=0,则 N(x1,-y1) , → → 因为 PM⊥PN,所以PM·PN=0,得 y12=(x1+1)2+1. 1 又因为 x12+3y12=4,所以解得 x1=-2或-1, 1 经检验:x=-2满足条件,x=-1 不满足条件. 综 上 , 直 线 1 2. MN 的 方 程 为 x + y = 0 或 x = -

………………………………………16 分 3k2+2k-1 解法二:由(2)知,当 k≠0 时,因为线段 MN 的中点在 x 轴上,所以 = 1+3k2

-k2-2k+3 - , k2+3 化 5. 简 得 4k (k2 - 4k - 1) = 0 , 解 得 k = 2 ± ………………………………………12 分 1 5 1 5 1 若 k=2+ 5,则 M(-2, 2 ) ,N(-2,- 2 ) ,此时直线 MN 的方程为 x=-2. 1 5 1 5 1 若 k=2- 5, 则M (-2, -2 ) , N (-2,2 ) , 此时直线 MN 的方程为 x=-2. ………… 14 分 当 k=0 时,M(1,-1) ,N(-1,1) ,满足题意,此时直线 MN 的方程为 x+y=0. 综 上 , 直 线 0. MN 的 方 程 为 1 x = - 2 或 x + y =

………………………………………16 分


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