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选修2-1圆锥曲线测试题及答案新

时间:2017-09-25


高二年级第一学期阶段数学试卷 (选修 2-1 部分)
一、选择题 1.抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是 |a| A. 4 |a| B. 2 C.|a| ( a D.- 2 )

x2 y2 ? ?1 2 9 2.设 P 是双曲线 a 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0, F1 、F2 分别是双
曲线

的左、右焦点,若 A. 1 或 5

| PF1 |? 5 ,则 | PF2 |? (
C. 1

) D. 9

B. 1 或 9

x2 y2 3.已知双曲线 - =1 的离心率为 e,抛物线 x=2py2 的焦点为(e,0),则 p 的值为( 4 12 A.2 B.1 1 C. 4 ) B.不存在实数 x ,使 x ? 1 D.存在实数 x ,使 x ? 1 ( D.2 ) 1 D. 16

)

4..命题“存在实数 x ,使 x > 1”的否定是( A.对任意实数 x , 都有 x >1 C.对任意实数 x , 都有 x ? 1
2

x 5.若双曲线 2-y2=1 的一个焦点为(2,0),则它的离心率为 a 2 5 A. 5 3 B. 2 2 3 C. 3

6.△ABC 的顶点 A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹方程是 (
2

) x2 y2 B. - =1 16 9 x2 y2 D. - =1(x>4) 16 9

x y2 A. - =1 9 16 x2 y2 C. - =1(x>3) 9 16

x2 y2 5e 7.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y= x(e 为双曲线离心率),则有( a b 5 A.b=2a B.b= 5a C.a=2b D.a= 5b

)

8.抛物线 y=-4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 17 A. 16 15 B. 16 15 C.- 16 17 D.- 16

(

)

9.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直 角三角形,则椭圆的离心率是( ). A.

2 2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 2

D.

2 ?1


10.已知动点 M 的坐标满足方程 A. 抛物线

13 x 2 ? y 2 ?| 12 x ? 5 y ? 12 |
C. 椭圆

,则动点 M 的轨迹是( D.以上都不对

B.双曲线

x2 y2 ? ?1 9 11.如果椭圆 36 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) A x ? 2y ? 0 B x ? 2y ? 4 ? 0 C 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 D x ? 2y ? 8 ? 0
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

12.过点(2,-1)引直线与抛物线 y ? x 只有一个公共点,这样的直线共有(
2

)条

A. 1

B.2

C. 3

D.4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.令 p(x):ax2+2x+1>0,若对?x∈R,p(x)是真命题,则实数 a 的取值范围是 14.抛物线 y ? ? x 2 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距离的最小值是 15.椭圆
x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 中点在 y 轴上, 12 3 那么|PF1|是|PF2|的

.

16.若曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦点为定点,则焦点坐标是 a?4 a?5

.;

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

14 x2 y2 ? ? 1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求双曲线方程.(12 分) 17.已知双曲线与椭圆 5 9 25

18、知抛物线 y 2 ? 4 x ,焦点为 F,顶点为 O,点 P 在抛物线上移动,Q 是 OP 的中点,M 是 FQ 的 中点,求点 M 的轨迹方程. (12 分)

2 2 19.P 为椭圆 x ? y ? 1 上一点, F1 、 F2 为左右焦点,若 ?F1 PF2 ? 60? 25 9 (1)求△ F1 PF2 的面积; (2)求 P 点的坐标. (14 分)

20、求两条渐近线为 x ? 2 y ? 0 且截直线 x ? y ? 3 ? 0 所得弦长为

8 3 的双曲线方程.(14 分 3

21. 判断下列命题的真假. 1 (1)?x∈R,都有 x2-x+1> . 2 (2)?α ,β 使 cos(α -β )=cosα -cosβ . (3)?x,y∈N,都有 x-y∈N. (4)?x0,y0∈Z,使得 2x0+y0=3.

22.(山大附中 12 月月考)已知命题 p:方程 x +mx+1=0 有两个不等的负根;命题 q:方程 2 4x +4(m-2)x+1=0 无实根.若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,求 m 的取值范围.

2

23.(本小题满分 12 分)(2010·盐城模拟)命题 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a<0,命题 q: 实数 x 满足 x2-x-6≤0 或 x2+2x-8>0,且 p 是 q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围.

高二数学选修 2-1 答案与解析:
|a| 1、解析:由已知焦点到准线的距离为 p= . 2 答案:B 2、答案:d 1 1 1 3、解析:依题意得 e=2,抛物线方程为 y2= x,故 =2,得 p= . 2p 8p 16 答案:D 4、C 5、解析:由 a2+1=4,∴a= 3, ∴e= 2 2 3 = .答案:C 3 3

6、解析:如图|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6. x2 y2 根据双曲线定义,所求轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支,方程为 - =1(x 9 16 >3). 答案:C b 5 7、解析:由已知 = e, a 5 b 5 c ∴ = × ,∴c= 5b,又 a2+b2=c2, a 5 a ∴a2+b2=5b2,∴a=2b. 答案:C 1 8、解析:准线方程为 y= , 16 1 15 由定义知 -yM=1?yM=- . 16 16 答案:C 9、答案:d 10、答案:A 11.d 12.c

13.解析:对?x∈R,p(x)是真命题,就是不等式 ax2+2x+1>0 对一切 x∈R 恒成立.
(1)若 a=0,不等式化为 2x+1>0,不能恒成立; (2)若 ?

?a ? 0 解得 a>1; ?△= 4 - 4a < 0

(3)若 a<0,不等式显然不能恒成立. 综上所述,实数 a 的取值范围是 a>1. 答案:a>1

4 3 17.(12 分)

14、

15. 7 倍

16.(0,±3)

解:由于椭圆焦点为 F(0, ? 4),离心率为 e= c=4,a=2,b=2 3 .

4 ,所以双曲线的焦点为 F(0, ? 4),离心率为 2,从而 5 y2 x2 ? ?1 所以求双曲线方程为: 4 12

18、解:(1)依题意,圆心的轨迹是以 F(0,2)为焦点,L:y=-2 为准线的抛物线. 因为抛物线焦点到准线距离等于 4, 所以圆心的轨迹是 x2=8y. (2)证明:因为直线 AB 与 x 轴不垂直, 设 AB:y=kx+2. A(x1,y1),B(x2,y2). y=kx+2, ? ? 由? 1 2 ? ?y=8x , 可得 x2-8kx-16=0,x1+x2=8k,x1x2=-16. 1 1 抛物线方程为 y= x2,求导得 y′= x. 8 4 1 1 1 1 1 所以过抛物线上 A、B 两点的切线斜率分别是 k1= x1,k2= x2,k1k2= x1·x2= x1· x =-1. 4 4 4 4 16 2 所以 AQ⊥BQ.

18 [解析]:设 M( x, y ) ,P( x1 , y1 ) ,Q( x2 , y2 ) ,易求 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的坐标为(1, 0) 1 ? x2 ? x? ? ? 2 x2 ? 2 x ? 1 ∵ M 是 FQ 的中点 ,∴ ? ,又 Q 是 OP 的中点 ∴ ? ? 2 ? y ? y2 ? 2 y ?y ? ? 2 ?
x ? ? x1 ? 2 x 2 ? 4 x ? 2 x2 ? 1 ? ? 2 ?? , ? y1 ? 2 y 2 ? 4 y ? y ?y ? 1 2 ? 2 ?

∵P 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,∴ (4 y) 2 ? 4(4 x ? 2) ,所以 M 点的轨迹方程为 y 2 ? x ? 1 .
2

19.[解析]:∵a=5,b=3? c=4 (1)设 | PF1 |?t 1 , | PF2 |? t 2 ,则 t1 ? t 2 ? 10



2 t12 ? t 2 ? 2t1t 2 ? cos60? ? 82

②,由①2-②得 t1t 2 ? 12

? S ?F1PF2 ?

1 1 3 t1t 2 ? sin 60? ? ? 12 ? ?3 3 2 2 2
1 2

(2) 设 P ( x, y ) , 由 S ?F PF ? 1 ? 2c? | y |? 4? | y | 得
2

4 | y |? 3 3 ?| y |? 3 3
4

? y??

3 3 4

, 将y ??3

3 4

代入椭圆方程解得 x ? ? 5
2 2

20、解:设双曲线方程为 x -4y = ? . 联立方程组得: ?

13 , 5 13 3 3 或 5 13 3 3 或 5 13 3 3 或 5 13 3 3 ? P( , ) P(? , ) P( ,? ) P( ? ,? ) 4 4 4 4 4 4 4 4 4

? x 2 -4y 2 =? ?x ? y ? 3 ? 0

,消去 y 得,3x -24x+(36+ ? )=0
2

x1 ? x2 ? 8 ? ? 36 ? ? ? 设直线被双曲线截得的弦为 AB,且 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),那么: ? x1 x2 ? 3 ? 2 ? ? ? ? 24 ? 12(36 ? ? ) ? 0 36 ? ? 8(12 ? ? ) 8 3 2 2 2 那么:|AB|=
(1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? 1)(8 ? 4 ? 3 )? 3 ? 3
解得: ? =4,所以,所求双曲线方程是:

x ? y2 ? 1 4

2

c 20、解:∵e= = a

a2-b2 2 = ,∴a2=2b2. a2 2

因此,所求椭圆的方程为 x2+2y2=2b2, 又∵AB 为直径,(2,1)为圆心,即(2,1)是线段 AB 的中点, 设 A(2-m,1-n),B(2+m,1+n),则 (2-m) +2(1-n) =2b , ? ?(2+m) +2(1+n) =2b , ? 20 ? ?|AB|=2 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2

8+2m +4+4n =4b , ? ?8m+8n=0, ?? 20 ? ?2 m +n =2 3
2 2

2

2

2

2b =6+m +2n , ? ? ?? 2 得 2b2=16. 2 10 ? ?m =n = 3 , 故所求椭圆的方程为 x2+2y2=16.

21、解:(1)真命题,∵x2-x+1=(x-2)2+4≥4>2.
π π (2)真命题,如α = ,β = ,符合题意. 4 2 (3)假命题,例如 x=1,y=5,但 x-y=-4?N. (4)真命题,例如 x0=0,y0=3 符合题意.

1

3

3 1

?? ? m 2 ? 4 ? 0 2 22.(12 分)解: 若方程 x +mx+1=0 有两不等的负根,则 ? 解得 m>2, ?m ? 0
即命题 p:m>2 ??????????????????????3 分 2 若方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实根, 2 2 则 Δ =16(m-2) -16=16(m -4m+3)<0 解得:1<m<3.即 q:1<m<3.??????????????????6 分 因“p 或 q”为真,所以 p、q 至少有一为真, 又“p 且 q”为假,所以命题 p、q 至少有一为假,??????????9 分 因此,命题 p、q 应一真一假,即命题 p 为真,命题 q 为假或命题 p 为假,命题 q 为真. ∴?

?m ? 2 ?m ? 2 或? ?m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3

解得:m≥3 或 1<m≤2.???????12 分

23、解:设 A={x|x2-4ax+3a2<0(a<0)}={x|3a<x<a},
B={x|x2-x-6≤0 或 x2+2x-8<0} ={x|x2-x-6<0}∪{x|x2+2x-8>0} ={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4 或 x>2}={x|x<-4 或 x≥-2}. ? 因为 p 是 ? q 的必要不充分条件, ? ? ? 所以 q? p,且 p 推不出 q而 ? ?RB={x|-4≤x<-2},?RA={x|x≤3a,或 x≥a} 所以{x|-4≤x<-2} {x|x≤ ?3a 或 x≥a},

? 3a ≥ ?2 ? a ≤ ?4 或? ? ?a < 0 ?a < 0
2 即- ≤a<0 或 a≤-4. 3


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