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椭圆的性质及其用法


椭圆的性质及其用法
⑴椭圆的标准方程:

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0) a 2 b2
焦点为 F 1 (?c,0), F2 (c,0) 。 焦点为 F 1 (0, ?c), F2 (0, c) 的椭圆的方程:

y 2 x2 ? ? 1 (a>b>0) a 2 b2

PF1 ? PF2 ?

2a 。
以上两种方程都叫做椭圆的标准方程(其中 b ? a ? c ) 。
2 2 2

例:已知一个贮油罐横截面的轮廓线是一个椭圆,它的焦距为 2.4 m ,外轮廓线上的点 到两个焦点距离的和为 3m ,求这个椭圆的标准方程。 解:以两焦点 F1 , F2 所在直线为 x 轴,线段 F1 , F2 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标 系 xOy ,则这个椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0) a 2 b2
根据题意 2a ? 3 , 2c ? 2.4 即: a ? 1.5 , c ? 1.2 ∴ b ? a ? c ? 1.5 ? 1.2 ? 0.81
2 2 2 2 2

因此,这个椭圆的标准方程:

x2 y2 ? ?1。 2.25 0.81
⑵椭圆的几何性质: ①范围: 由方程

x2 y 2 x2 y2 ? 1 ? ?1 ? ? 1 ( x , y ) 可知,椭圆上任意一点的坐标 都满足 a2 b2 a 2 b2
2

即: x ? a
2

∴ ?a ? x ? a

?b ? y ? b

②对称性: 椭圆是关于 x 轴、 y 轴和原点都对称的图形,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对 称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。 ③顶点: 在椭圆的标准方程中, 令x ? 0, 得 y ? ?b , 这说明点 B1 (0, ?b), B2 (0, b) 是椭圆与 y 轴 的两个交点;点 A1 (?a,0), A2 (a,0) 是椭圆与 x 轴的两个交点。这四个点是对称轴与椭圆的 交点,称为椭圆的顶点。 线段 A1 , A2 , B1 , B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于 2 a 和 2b 。 ④离心率:

c 叫做椭圆的离心率,记为 e ? (0,1) 。 a c c c 当 越接近于 0 时,椭圆越接近于圆;当 越接近于1 时,椭圆越扁,随着 的增大,椭 a a a
焦距与长轴长的比 圆越来越扁。 ⑶椭圆的切线方程:

xx y y x2 y 2 ①椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 。 a b a b
②过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是: a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ? 1。 a2 b
③ 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与 直 线 A x ? a 2 b2

B ?y

0 ? C相 切 的 条 件 是

A2 a 2 ?

B2 ?b2 。 c2

⑷椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是: a 2 b2

? x ? a cos? 。 ? ? y ? b sin ?
⑸椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式: a 2 b2 a2 a2 ) , PF2 ? e( ? x) 。 c c

PF1 ? e( x ?


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