nbhkdz.com冰点文库

导数不等式综合题选(2)(2014)


导数、函数、不等式压轴题选 1. (2011 湖北理 21.本小题满分 14 分) (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? ln x ? x ? 1, x ? (0,??) ,求函数 f ( x) 的最大值; (Ⅱ)设 ak , bk (k ? 1,2,?, n) 均为正数,证明: (1)若 a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,则

a11 a22 ?ann ? 1 ;
b b b

(2)若 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ,则

1 bn b2 2 2 ? b1b1 b2 ? bn ? b12 ? b2 ? ? ? bn n

2.(2012 湖北理 22)
r (I)已知函数 f ( x) ? rx ? x ? (1 ? r )(x ? 0) ,其中 r 为有理数,且 0 ? r ? 1 ,求 f ( x) 的

最小值; (II)试用(I)的结果证明如下命题: 设 a1 ? 0, a2 ? 0 , b1 , b2 为正有理数,若 b1 ? b2 ? 1 ,则 a1 1 a22 ? a1b1 ? a2 b2 ;
b b

(III)请将(II)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法 证明你所推广的命题。注: ..... 当α 为正有理数时,有求导公式 ( x )? ? ?x
? ? ?1

2014 导数、函数、不等式压轴题选第 1 页 共 28 页

3. (2013 湖北,理 22)(本小题满分 14 分)设 n 是正整数,r 为正有理数. + (1)求函数 f(x)=(1+x)r 1-(r+1)x-1(x>-1)的最小值;

n r ?1 ? ? n ? 1?r ?1 r ? n ? 1?r ?1 ? n r ?1 <n < (2)证明: ; r ?1 r ?1
(3)设 x∈R,记[x]为不小于 ...x 的最小整数,例如[2]=2,[π]=4, ? ? ? = ? 1 . 2 令 S = 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ?
4

? 3? ? ?

? 3 125 ,求[S]的值.
4 4 4

(参考数据: 80 3 ? 344.7 , 813 ? 350.5 , 124 3 ? 618.3 , 126 3 ? 631.7 )

4. (2014 湖北猜题卷)已知 f ( x) ? (1 ? x ) (0 ? x ? 1, p ? 1) 。
p

1 p

(1)求证: f ( x) ? 1 ? x ; (2)若 a1 , a2 ? 0, a1 ? a2 ? 1, 求证: a1 ? a 2 ?
p p

1 2 p ?1


p p p p

(3)若 a1 , a2 , a3 , a4 ? 0, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 1, 求证: a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? 广到一般性结论。

1 2
2 ( p ?1)

,并推

2014 导数、函数、不等式压轴题选第 2 页 共 28 页

5 . 已知函数 f ( x) ? (1 ? x)t ? 1 的定义域为 ?- 1,??? ,其中实数 t 满足 t ? 0且t ? 1 . 直线

l : y ? g ( x) 是 f ( x) 的图像在 x ? 0 处的切线.
(1)求 l 的方程: y ? g ( x) ; (2)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,试确定 t 的取值范围; (3)若 a1, a2 ? ?0,1? ,求证: a1 1 ? a2 2 ? a1 2 ? a21
a a a a

6.(2013 武汉 5 月模拟考试)已知 f ( x) ? (1 ? x) (1 ? (1)求 f ( x) 的最小值; (2)若 y ? 0 ,求证: (

?

1 ? ) (? ? 0, ? ? 0, x ? 0) x

? ??

)? ? ? ? ( )? ? ( ) ? ; x? y x y

?

?

(3)若 ?1 , ? 2 ,?,? n , ?1 , ? 2 ,?, ? n 均为正数,求证:

(

?1 ? ? 2 ? ? ? ? n ? ?? ) ?1 ? ? 2 ? ? ? ? n
1

2 ???? n

?(

? ?1 ? ? 2 ? ) ? ( ) ? ? ? ( n )? ?1 ?2 ?n
1 2

n

2014 导数、函数、不等式压轴题选第 3 页 共 28 页

7. (2013 武昌区 5 月模拟考试)设函数 f ( x) ? x ln x . (Ⅰ )求函数 f ( x) 的最小值; (Ⅱ )设 x1 , x2 ? 0, p1 , p2 ? 0 且 p1 ? p2 ? 1 证明:

p1 f ( x1 ) ? p2 f ( x2 ) ? f ( p1 x1 ? p2 x2 ) ;
(Ⅲ )设 x1 , x2 ,?, xn ? 0 , p1 , p2 ,?, pn ? 0 ,且 p1 ? p2 ? ? ? pn ? 1,如果

p1 x1 ? p2 x2 ? ? ? pn xn ? e ,证明: p1 f ( x1 ) ? p2 f ( x2 ) ? ? ? pn f ( xn ) ? e .

8.设 f ( x) ? ln x .

1 ? x) 最大值; (1)若 ? ? (0,1) ,求 g ( x) ? ? ln x ? (1 ? ? ) ln(
(2)已知正数 ? , ? 满足 ? (3)已知 xi
n

? ? ? 1 .求证: ?f ( x1 ) ? ?f ( x2 ) ? f (?x1 ? ?x2 ) ;
n

? 0 ,正数 ? 满足 ? ? i ? 1 .证明:
i

i ?1

??i ln xi ? ln ??i xi
i ?1 i ?1

n

(其中i ? 1,2,?n) .

2014 导数、函数、不等式压轴题选第 4 页 共 28 页

9. ( 2013 武 汉 4 月 考 试 ) (I)已知函数 f ( x) ? (1 ? x)? ? ?x( x ? ?1,0 ? ? ? 1) ,求 f ( x) 的最大值; (II)证明: ab ?

1 p 1 q 1 1 a ? b ,其中 a ? 0, b ? 0 ,且 p ? 1 , ? ? 1; p q p q
1 1

(III). a b ? a b ? ? ? a b ? (a p ? a p ? ? ? a p ) p (b q ? b q ? ? ? b q ) q 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n 其中 ai , bi ? 0(i ? 1,2,?, n) , p ? 0, q ? 0, 且

1 1 ? ? 1。 p q

10.(I)已知函数 f ( x) ? 2 p?1 ( x p ? a p ) ? ( x ? a) p ( x ? 0, a ? 0, p ? 1) ,求 f ( x) 的最小值; (II)证明: (

a ?b p ap ?bp ,其中 a ? 0, b ? 0, p ? 1 ; ) ? 2 2

(III)证明 (

a1 ? a 2 ? ? ? a n p a1p ? a 2p ? ? ? a np 其中 a1 , a2 ,?, an ? 0 , p ? 1 , n ? N * ) ? n n

2014 导数、函数、不等式压轴题选第 5 页 共 28 页

11.(2013湖北七市联考) 已知函数 f ( x) ln x, g ( x ) ? k ?

x ?1 x ?1

(I)求函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ? 1 时,函数 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)设正实数 a1 , a2 ,?, an , 满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? 1

1? 求证: ln(

1 1 1 2n 2 ) ? ln( 1 ? ) ? ? ? ln( 1 ? ) ? 2 2 n?2 a12 a2 an

12.(2013 湖北八校联考) 已知函数 f ( x) ? ln( x ?

1 1 ) ,且 f ( x) 在 x ? 处的切线方程为 y ? g ( x) 2 x

(1)求 y ? g ( x) 的解析式; (2)证明:当 x ? 0 时,恒有 f ( x) ? g ( x) ; (3)证明:若 ai ? 0, (i ? 1,2,?, n) ,且

?a
i ?1

n

i

? 1 ,则

(a1 ?

1 1 1 1 )(a2 ? ) ?(an ? ) ? (n ? ) n a1 a2 an n

2014 导数、函数、不等式压轴题选第 6 页 共 28 页

13.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? x ln x , g ( x) ? f ( x) ? xf ?(a) ,其中 f ?(a) 表示函数 f ( x) 在 x ? a 处的导 数, a 为正常数. (1)求 g ( x) 的单调区间; (2)对任意的正实数 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,证明:

( x2 ? x1 ) f ?( x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) f ?( x1 ) ;
(3)对任意的 n ? N * ,且 n ? 2 ,证明:

1 1 1 1 ? f (n ? 1) ? ??? ? . ln 2 ln 3 ln n ln 2 ? ln n

14.(2013 武汉供题训练 2)设函数 f ( x) ? x ln x ? (a ? x) ln(a ? x)(a ? 0) . (I)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的最小值; (II)证明:对 ?x1 , x2 ? R +,都有 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? ( x1 ? x2 )[ln(x1 ? x2 ) ? ln 2] ; (III)若

?x
i ?1

2n

i

? 1 ,证明: ? xi ln x1 ? ? ln 2 n (i, n ? N *) .
i ?1

2n

15.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ?

1 2 1 x ? 2 2

(Ⅰ)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 F ( x) 的图像在 x ? 1 处的切线方程: (Ⅱ)求证: e
f ( x)

? g ( x) 对任意的 x ? (0,??) 恒成立;
2 2 2

(b ? c) 2 (c ? a) 2 (a ? b) 2 ? b ? c ?6 (Ⅲ)若 a, b, c ? R? ,且 a ? b ? c ? 3,求证: a a ?1 b ?1 c ?1
2014 导数、函数、不等式压轴题选第 7 页 共 28 页

1 题: 1 题。解: (I) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,令 f '( x) ? 当 0 ? x ?1 时, f '( x) ? 0, f ( x) 在(0,1)内是增函数; 当 x ? 1 时, f '( x) ? 0, f ( x)在(1, ??) 内是减函数; 故函数 f ( x)在x ? 1 处取得最大值 f (1) ? 0. (II) (1)由(I)知,当 x ? (0, ??) 时, 有 f ( x) ? f (1) ? 0,即ln x ? x ? 1. 得 bk ln ak ? ak bk ? bk (k ? 1, 2,
n n n

1 ? 1 ? 0, 解得x ? 1. x

ak , bk ? 0 ,从而有 ln ak ? ak ? 1 ,
n n n

bk ? ? a k bk ? ? bk , n) ,求和得 ? ln a k k ?1 k ?1 k ?1

bk bn bn b1 b2 b1 b2 ? ? a k bk ? ? bk ,? ? ln a k ? 0 即 ln(a1 a2 ?an ) ? 0 ,? a1 a2 ?an ? 1. k ?1 k ?1 k ?1

( 2)①先证 b1 1 b2 2 ?bn n ?
b b b

1 1 . 令 ak ? (k ? 1, 2, n nbk

n n n 1 , n), 则 ? ak bk ? ? ? 1 ? ? bk , k ?1 k ?1 n k ?1

于是由(1)得 (

1 b1 1 b2 1 bn 1 ) ( ) ?( ) ? 1 ,即 b b ? n b1 ?b2 ???bn ? n bn 1 2 nb1 nb2 nbn b1 b2 ?bn
1 n
b

bn b2 ? b1b1 b2 ?bn ?

2 2 ② 再 证 b1 1 b2 2 ?bn n ? b12 ? b2 .记 S? ? ? ? bn b b

? b , 令a
k ?1 2 k

n

k

?

bk (k ? 1, 2, S

, n) , 则

? ak bk ?
k ?1

n

n b b b 1 n 2 b ? 1 ? bk , 于是由(1) ( 1 ) b1 ( 2 ) b2 ? ( n ) bn ? 1 ? ? 1 S S S S k ?1 k ?1

即 b1 1 b2 2 ?bn n ? S
b b b

b1 ?b2 ???bn

bn b2 2 2 . ? S ,?b1b1 b2 ?bn ? b12 ? b2 ? ? ? bn

综合①②, (2)得证。
r ?1 r ?1 2 题:解: (1) f ?( x) ? r ? rx ? r (1 ? x ) ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0,1) 内是减函数; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (1,??) 内是增函数;
2014 导数、函数、不等式压轴题选第 8 页 共 28 页

故函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得最小值 f (1) ? 0 。 (2)由(1)知,当 x ? (0,??) 时,有 f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 x r ? rx ? (1 ? r ) 若 a1 , a 2 中有一个为 0,则 a1 1 a22 ? a1b1 ? a2 b2 成立;
b b



若 a1 , a 2 均不为 0,又 b1 ? b2 ? 1 ,可得 b2 ? 1 ? b1 ,于是在①中令

x?

a1 a a b1 1?b1 , r ? b1 ,可得 ( 1 ) b1 ? b1 ? 1 ? (1 ? b1 ) ,即 a1 a2 ? a1b1 ? a2 (1 ? b1 ) , a2 a2 a2

b1 b2 a1 a2 ? a1b1 ? a2 b2 。②

综上对 a1 ? 0, a2 ? 0 , b1 , b2 为正有理数,若 b1 ? b2 ? 1 ,总有 a1 1 a22 ? a1b1 ? a2 b2 成立。
b b

(3)(2)中命题的推广形式为: 设 a1 , a2 ,?, an 为非负实数, b1 , b2 ,?, bn 为正有理数。 若 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ,则 a1 1 a2 2 ?an 用数学归纳法证明如下: (1)当 n ? 1 时, b1 ? 1 ,有 a1 ? a1 ,③成立。 (2)假设当 n ? k 时,③成立,即 a1 , a2 ,?, ak 为非负实数, b1 , b2 ,?, bk 为正有理数。若
b b bn

? a1b1 ? a2b2 ? ?? an bn



b1 ? b2 ? ? ? bk ? 1,则 a1 1 a2 2 ?ak

b

b

bk

? a1b1 ? a2b2 ? ?? ak bk

当 n ? k ? 1 时,已知 a1 , a2 ,?, ak , ak ?1 为非负实数, b1 , b2 ,?, bk , bk ?1 为正有理数。若

b1 ? b2 ? ? ? bk ? bk ?1 ? 1 ,此时 0 ? bn?1 ? 1 ,即 1 ? bk ?1 ? 0 ,于是
则 a1 1 a2 2 ?ak k ak ?1
b1 b2

b

b

b

bk ?1

? (a1 1 a2 2 ?ak k )ak ?1 k ?1
b

b

b

b

b

? (a11?bk ?1 a2 1?bk ?1 ?ak 1?bk ?1 )1?bk ?1 ak ?1 k ?1
因为 b1 ? b2 ? ? ? bk ? bk ?1 ? 1 , 所以
b1 b2 bk

bk

bk b1 b2 ? ??? ? 1 ,由归纳假设可 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1 bk b1 b2 ? a2 ? ? ? ? ak ? 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1

得 (a11?bk ?1 a 2 1?bk ?1 ? ak 1?bk ?1 )

1?bk ?1

? a1 ?

?

a1b1 ? a2 b2 ? ? ? ak bk , 1 ? bk ?1

2014 导数、函数、不等式压轴题选第 9 页 共 28 页

从而 (a11?bk ?1 a2 1?bk ?1 ?ak 1?bk ?1 )

b1

b2

bk

1?bk ?1

ak ?1 k ?1 ? (

b

a1b1 ? a2 b2 ? ? ? ak bk 1?bk ?1 bk ?1 ) ? ak ?1 1 ? bk ?1

又由于 (1 ? bk ?1 ) ? bk ?1 ? 1 ,由②得

(

a1b1 ? a2 b2 ? ? ? ak bk 1?bk ?1 bk ?1 a1b1 ? a2 b2 ? ? ? ak bk ) ? ak ?1 ? ? (1 ? bk ?1 ) ? ak ?1bk ?1 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1

? a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk ? ak ?1bk ?1
故当 n ? k ? 1 时,命题③成立。 由(1) , (2)可知,对一切正整数 n ,所推广的命题成立。 3 题:(1)解:因为 f′(x)=(r+1)(1+x)r-(r+1)=(r+1)[(1+x)r-1],令 f′(x)=0,解得 x=0. 当-1<x<0 时,f′(x)<0,所以 f(x)在(-1,0)内是减函数; 当 x>0 时,f′(x)>0,所以 f(x)在(0,+∞)内是增函数. 故函数 f(x)在 x=0 处取得最小值 f(0)=0. (2)证明:由(1),当 x∈(-1,+∞)时,有 f(x)≥f(0)=0,即 + (1+x)r 1≥1+(r+1)x,且等号当且仅当 x=0 时成立, 故当 x>-1 且 x≠0 时,有 + (1+x)r 1>1+(r+1)x.① 在①中,令 x ?

上式两边同乘 nr 1,得(n+1)r 1>nr 1+nr(r+1),即
+ + +

1 ? 1? (这时 x>-1 且 x≠0),得 ?1 ? ? n ? n?

r +1

>1+

r ?1 . n

nr ?

? n ? 1?r ?1 ? nr ?1 .② r ?1
1 (这时 x>-1 且 x≠0),类似可得 n

当 n>1 时,在①中令 x ? ?

nr ?

nr ?1 ? ? n ? 1?r ?1 .③ r ?1

且当 n=1 时,③也成立. 综合②,③得

nr ?1 ? ? n ? 1?r ?1 ? n ? 1?r ?1 ? nr ?1 ? nr ? .④ r ?1 r ?1 1 (3)解:在④中,令 r ? ,n 分别取值 81,82,83,…,125,得 3 4 4 4 4 3 3 3 (81 ? 80 3 )<3 81< (82 3 ? 813 ) , 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 (82 ? 81 )< 82< (83 ? 82 3 ) , 4 4 4 4 4 4 3 3 (833 ? 82 3 )<3 83< (84 3 ? 833 ) , 4 4
……
4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 (125 ? 124 )< 125< (126 ? 125 3 ) . 4 4

2014 导数、函数、不等式压轴题选第 10 页 共 28 页

将以上各式相加,并整理得
4 4 4 4 3 3 (125 3 ? 80 3 )<S< (126 3 ? 813 ) . 4 4 4 4 4 4 3 3 代入数据计算,可得 (125 3 ? 80 3 ) ? 210.2 , (126 3 ? 813 ) ? 210.9 . 4 4

由[S]的定义,得[S]=211. 即 1 ? x p ? (1 ? x) p , 1 ? x p ? (1 ? x) p ? 1? x , 1 令 g ( x) ? x p ? (1 ? x) p (0 ? x ? 1) , 则 g ?( x) ? px p?1 ? p(1 ? x) p?1 。 由 g ?( x) ? 0 得 x ? , 2 1 x ? (0, ) 时,x ? 1 ? x , 函数 g ( x) ? p ? 1, ? p ? 1 ? 0 ,x p?1 ? (1 ? x) p?1 ,g ?( x) ? 0 , 2 1 递 减 ; x ? ( ,1)) 时 , x ? 1 ? x , x p ?1 ? (1 ? x) p ?1 , g ?( x) ? 0 , 函 数 g ( x) 递 增 ; 又 2 4 题:解: (1) f ( x) ? 1 ? x 等价于 (1 ? x )
p 1 p

g (0) ? g (1) ? 1 ,所以 g ( x) ? 1 ,即原不等式成立。
(2)由(1)可知, g ( x) min ? g ( ) ? 代入即有 a1 ? a 2 ?
p p

1 2

1 2
p ?1

,即 x ? (1 ? x) ?
p p

1 2 p ?1

,令 x ? a1 ,1 ? x ? a2 ,

1 2 p ?1

(3)由 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 1, 得 a1 ? a2 ? 1 ? a3 ? a4 ,

a1 a2 ? ? 1 ,由 1 ? a3 ? a 4 1 ? a3 ? a 4

(1 ? a3 ? a 4 ) p (a1 ? a 2 ) p a1 a2 1 p p p p ? (2) 得( 即 a1 ? a 2 ? ) ?( ) ? p ?1 , 2 p ?1 2 p ?1 1 ? a3 ? a 4 1 ? a3 ? a 4 2 (1 ? a3 ? a 4 ) p (a3 ? a 4 ) p ? 同理有 a ? a ? ,两式相加得 2 p ?1 2 p ?1
p 3 p 4

a1p ? a 2p ? a3p ? a 4p ?

(a1 ? a 2 ) p (a3 ? a 4 ) p 1 ? p ?1 [( a1 ? a 2 ) p ? (a3 ? a 4 ) p ] ? p ?1 p ?1 2 2 2
p p

又有(2)得 [( a1 ? a 2 ) ? (a3 ? a 4 ) ] ? 一般性结论:

1 2
p ?1

,所以 a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ?
p p p p

1 2
2 ( p ?1)



若 a1 , a2 ,?, a2n ? 0, a1 ? a2 ? ? ? a2n ? 1, 则有 a1 ? a 2 ? ? ? a 2 n ?
p p p

1 2
n ( p ?1)



下面用数学归纳法证明。 n ? 1 ,由(2)知结论成立; 假设 n ? k 时结论成立,即 a1 , a2 ,?, a2k ? 0, a1 ? a2 ? ? ? a2k ? 1, 有 a1 ? a 2 ? ? ? a 2 k ?
p p p

1 2
k ( p ?1)



则当 n ? k ? 1 时,由 a1 , a2 ,?, a2k , a2k ?1 ,?, a2k ?1 ? 0,
2014 导数、函数、不等式压轴题选第 11 页 共 28 页

a1 ? a2 ? ? ? a2k ? a2k ?1 ? ? ? a2k ?1 ? 1,
令 a1 ? a2 ? ? ? a2k ? M , a2k ?1 ? ? ? a2k ?1 ? N ,则

M , N ? 0, M ? N ? 1 ,

ak a a M ? 1 ,即 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 1,由假设得 1? N 1? N 1? N 1? N

ak a a 1 ( 1 ) p ? ( 2 ) p ? ? ? ( 2 ) p ? k ( p ?1) ,即 1? N 1? N 1? N 2 a1p ? a 2p ? ? ? a 2pk ?
p p

(1 ? N ) p Mp ? , 2 k ( p ?1) 2 k ( p ?1)
p

同理有: a 2k ?1 ? a 2k ? 2 ? ? ? a 2k ?1 ?

Np 2 k ( p ?1)
p

?

Np 2 k ( p ?1)
p p

p p p 以上两式相加得 a1 ? a2 ? ?? a2k ? a 2k ?1 ? a 2k ? 2 ? ? ? a 2k ?1 ?

MP ?Np , 2 k ( p ?1)
,所以

又由(2) ,因为 M , N ? 0, M ? N ? 1 ,所以有 M

p

?Np ?

1 2 p ?1

MP ?Np 1 1 1 ? k ( p ?1) ? p ?1 ? ( k ?1)( p ?1) ,所以当 n ? k ? 1 时,不等式成立。 k ( p ?1) 2 2 2 2
综上所述,对于任意的 n ? N ,不等式成立。 5 题:解: (1)因为 f '( x) ? t (1 ? x) 又 f (0) ? 0 ,所以 l : y ? tx ; (2)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? (1 ? x) ? tx ?1
t x ?1
?

,所以 f '(0) ? t ,

h '( x) ? t (1 ? x)t ?1 ? t ? t[(1 ? x)t ?1 ?1]
t ?1 当 t ? 0 时, (1 ? x) ?1 单调递减,当 x ? 0 时, h '( x) ? 0

当 x ? (?1, 0) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递减;当 x ? (0, ??) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增. 所以, x ? 0 是 h( x) 的唯一极小值点,所以 h( x) ? h(0) ? 0 , f ( x ) ≥ g ( x) 恒成立; 当 0 ? t ? 1 时,

(1 ? x)t ?1 ?1 单调递减,当 x ? 0 时, h '( x) ? 0

当 x ? (?1, 0) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增;当 x ? (0, ??) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递减.

2014 导数、函数、不等式压轴题选第 12 页 共 28 页

所以, x ? 0 是 h( x) 的唯一极大值点,所以 h( x) ? h(0) ? 0 ,不满足 f ( x ) ≥ g ( x) 恒成立; 当 t ? 1 时, (1 ? x)t ?1 ?1 单调递增,当 x ? 0 时, h '( x) ? 0 当 x ? (?1, 0) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递减;当 x ? (0, ??) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增. 所以, x ? 0 是 h( x) 的唯一极小值点,所以 h( x) ? h(0) ? 0 , f ( x ) ≥ g ( x) 恒成立; 综上, t ? (??,0)

(1, ??) ;

(3) 当 a1 ? a2 ,不等式显然成立; 当 a1 ? a2 时,不妨设 a1 ? a2

a1a1 ? a2a2 > a1a2 ? a2a1 ? a1a1 ? a1a2 ? a2a1 ? a2a2
令 ? ( x) ? x 1 ? x 2 , x ?[a1 , a2 ]
a a

下证 ? ( x) 是单调减函数:

? '( x) ? a1 x a ?1 ? a2 x a ?1 ? a1 x a ?1 ( x a ?a ?
1 2 2 1 2

a2 ) a1 1 ?1 1 ? a1 ? a2

易知 a1 ? a2 ? (?1,0) , 1 ? a1 ? a2 ? (0,1) ,

t 由(2)知当 t ? 1 , (1 ? x) ? 1 ? tx , x ?[a1 , a2 ]
1 1

1? a ? a 1? a ? a 所以 a2 1 2 ? [1 ? (a2 ? 1)] 1 2 ? 1 ?

a2 ? 1 a1 ? ? a1 1 ? a1 ? a2 1 ? a1 ? a2

所以 a2 ? a1

1?a1 ?a2

,所以

a2 ? a1a1 ? a2 ? x a1 ? a2 a1

所以 ? '( x) ? 0 ,所以 ? ( x) 在 [a1 , a2 ] 上单调递减. 所以 ? (a1 ) ? ? (a2 ) ,即 a1 1 ? a1 2 ? a2 1 ? a2 2 ,所以 a1 1 ? a2 2 > a1 2 ? a2 1 .
a a a a a a a a

综上, a1 1 ? a2 2 ≥ a1 2 ? a2 1 成立.
a a a a

6 题:解(1) f ?( x) ? ? (1 ? x)

? ?1

1 1 1 (1 ? ) ? ? ? (1 ? x) ? (1 ? ) ? ?1 (? 2 ) x x x

2014 导数、函数、不等式压轴题选第 13 页 共 28 页

1 1 ? ? (1 ? x) ? ?1 (1 ? ) ? ?1 [? (1 ? ) ? 2 (1 ? x)] x x x

1 ?x 2 ? (? ? ? ) x ? ? ? (1 ? x)? ?1 (1 ? ) ? ?1 x x2
1 (?x ? ? )( x ? 1) ? (1 ? x) ? ?1 (1 ? ) ? ?1 x x2
由 f ?( x) ? 0 得 x ?

x ? (0,

x?(

? ,?? ) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; ?
? ? ? ? ? ? (? ? ? )? ? ? 处取最小值为 f ( ) ? (1 ? ) (1 ? ) ? ? ? ? ? ??? ?
(? ? ? )? ? ?
恒成立,则对于

? ) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; ?

? 。 ?

所以函数在 x ?

(2)由(1)知,对一切 x ? 0 , f ( x) ?

??? ?

y y ? x ? (? ? ? )? ? ? (? ? ? )? ? ? x ? 0, y ? 0 f ( ) ? ( 1 ? ) ( 1 ? ) ? 恒成立,即 恒成立, x x y ??? ? ??? ?
即(

x ? y ? x ? y ? (? ? ? )? ? ? ( x ? y ) ? ? ? (? ? ? )? ? ? ) ( ) ? , ,即 ? x y ??? ? x? y ? ??? ?

(

? ??

)? ? ? ? ( )? ? ( ) ? 。 x? y x y

?

?

(3) (ⅰ) n ? 2 时,由(2)知, (

?1 ? ? 2 ? ?? ? ? ) ? ( 1 )? ? ( 2 )? 成立; ?1 ? ? 2 ?1 ?2
1 2 1 2

(ⅱ)假设 n ? k 时,不等式成立,即

(

?1 ? ? 2 ? ? ? ? k ? ?? ) ?1 ? ? 2 ? ? ? ? k
1

2 ???? k

?(

? ?1 ? ? 2 ? ) ? ( ) ? ? ? ( k )? , ?1 ?2 ?k
1 2 k 1 2 ???? k

n ? k ? 1 时, (

?1 ? ? 2 ? ? ? ? k ? ? k ?1 ? ?? ) ?1 ? ? 2 ? ? ? ? k ? ? k ?1

?? k ?1

?[

(?1 ? ? 2 ? ? ? ? k ) ? ? k ?1 (?1 ?? 2 ???? k )?? k ?1 , ] ( ?1 ? ? 2 ? ? ? ? k ) ? ? k ?1 (?1 ? ? 2 ? ? ? ? k ) ? ? k ?1 (?1 ?? 2 ???? k )?? k ?1 ] (?1 ? ? 2 ? ? ? ? k ) ? ? k ?1

又由(2)得 [

2014 导数、函数、不等式压轴题选第 14 页 共 28 页

?(

?1 ? ? 2 ? ? ? ? k ? ?? ) ?1 ? ? 2 ? ? ? ? k
1 1 2

2 ???? k

?(

? k ?1 ? ) ? k ?1
k ?1

k ?1

?(

? ? ?1 ? ? 2 ? ) ? ( ) ? ? ? ( k )? ? ( k ?1 )? ,即 n ? k ? 1 时,不等式仍成立。 ?1 ?2 ?k ? k ?1
k

由(ⅰ) 、 (ⅱ)可知,对一切正整数 n ? N ? ,不等式都成立。 7 题:解(Ⅰ) f ?( x) ? ln x ? 1 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ?

1 。 e

1 x ? (0, ) , f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; e 1 x ? ( ,?? ) , f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; e 1 1 1 1 1 f ( x) 在 x ? 处取最小值为 f ( ) ? ln ? ? 。 e e e e e
(Ⅱ )令 g ? x ? ? p1 f ? x1 ? ? p2 f ? x ? ? f ? p1x1 ? p2 x ? ,不妨设 x1 ? x ? x2 , 则 g? ? x ? ? p2 f ? ? x ? ? p2 f ? ? p1x1 ? p2 x ? .

? p1 x1 ? p2 x ? x ? p1 x1 ? p1 x ? 0 , ? p1 x1 ? p2 x ? x .
而 f ? ? x ? ? 1 ? ln x 是增函数,

? f ? ? x ? ? f ? ? p1x1 ? p2 x ? . ? g? ? x ? ? p2 f ? ? x ? ? p2 f ? ? p1x1 ? p2 x ? ? 0 ,所以 g ? x ? 在 ? x1 , x2 ? 是增函数.
? g ? x2 ? ? g ? x1 ? ? 0 ,即 p1 f ? x1 ? ? p2 f ? x2 ? ? f ? p1x1 ? p2 x2 ? ? 0 . ? p1 f ?x1 ? ? p2 f ?x2 ? ? f ( p1 x1 ? p2 x2 ) .………………………………8 分
(Ⅲ )先证明 p1 f ? x1 ? ? p2 f ? x2 ? ? 当 n ? 2 时,由(Ⅱ )知不等式成立. 假设当 n ? k 时,不等式成立,即

? pn f ? xn ? ? f ? p1x1 ? p2 x2 ?

? pn xn ? .

p1 f ? x1 ? ? p2 f ? x2 ? ?
当 n ? k ? 1 时,

? pk f ? xk ? ? f ? p1x1 ? p2 x2 ?

? pk xk ? .

f ? p1x1 ? p2 x2 ?

? pk xk ? pk ?1xk ?1 ?

2014 导数、函数、不等式压轴题选第 15 页 共 28 页

? ? p x ? p2 x2 ? ? pk xk ? f ? ?1 ? pk ?1 ? 1 1 ? pk ?1 xk ?1 ? 1 ? pk ?1 ? ? ? p x ? p2 x2 ? ? pk xk ? ? ?1 ? pk ?1 ? f ? 1 1 ? ? pk ?1 f ? xk ?1 ? 1 ? pk ?1 ? ? ? p1 p2 ? ?1 ? pk ?1 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 1 ? p 1 ? p k ? 1 k ? 1 ? ? ? pk ?1 f ? xk ?1 ? ? ? pk ?1 f ? xk ?1 ? 1 ? pk ?1 ?

? p1 f ? x1 ? ? p2 f ? x2 ? ? ? p1 f ? x1 ? ? p2 f ? x2 ? ?
1 e

? pk ?1 f ? xk ?1 ? ? pk ?1 f ? xk ?1 ? . ? pn f ? xn ? ? f ? p1x1 ? p2 x2 ? ? pn xn ? .

所以,当 n ? k ? 1 时,不等式成立,

由(Ⅰ ) f ? x ? 在 ( ,?? ) 上单调递增,因此 f ? x ? 在 (e,??) 上也单调递增.

? p1 x1 ? p2 x2 ? ? ? pn xn ? e ,
? f ( p1 x1 ? p2 x2 ? ? ? pn xn ) ? f (e) ? e .

? p1 f ( x1 ) ? p2 f ( x2 ) ? ? ? pn f ( xn ) ? e .
8 题:解:(1) g ?( x) ?

…14 分

?1 ??x ? ( 0 ? x ? 1) x 1 ? x x(1 ? x) 当 x ? (? ,1) 时,g ?( x) ? 0 .即 g ( x) 在 (0, ? ) 上递增, 在 (? ,1) ?当x ? (0, ? ) 时,g ?( x) ? 0 , 递减.故 当x ? ? 时,有 g max ( x) ? g (? ) ? ? ln ? ? (1 ? ? ) ln( 1 ? ? ) .(3 分) 则 (2)构造函数F(x) ? ?f ( x1 ) ? ?f ( x) ? f (?x1 ? ?x) ? ? ln x1 ? ? ln x ? ln(?x1 ? ?x) , ?? ( x1 ? x) ? ? F?(x) ? ? ? . 易证 F ( x) 在在 (0, x1 ) 上递增,在 ( x1 ,??) 上递减. x ?x1 ? ?x x(?x1 ? ?x) ? 当x ? x1 时,有 Fmax ( x) ? F ( x1 ) ? ?f ( x1 ) ? ?f ( x1 ) ? f (?x1 ? ?x1 ) ? 0 . ? (1 ? ? )

?

? F ( x2 ) ? F ( x1 ) ,即 ?f ( x1 ) ? ?f ( x2 ) ? f (?x1 ? ?x2 ) ? 0 , 即证 ?f ( x1 ) ? ?f ( x2 ) ? f (?x1 ? ?x2 ) (8 分) (3)用数学归纳法证明如 下: ① 当 n ? 1,2 时,命题显然成立; ② 假设当 n ? k (k ? 2, k ? N ) 时,命题成立,即当 ?1 ? ? 2 ? ? ? ? k ?1 ? ? k ? 1 时, ?1 ln x1 ? ? 2 ln x2 ? ? ? ? k ?1 ln xk ?1 ? ? k ln xk ? ln(?1 x1 ? ? 2 x2 ? ? ? ? k ?1 xk ?1 ? ? k xk ) . 则当 n ? k ? 1 ,即当 ?1 ? ? 2 ? ? ? ? k ?1 ? ? k ? ? k ?1 ? 1 时, ? k ?1 ?k ?1 ?2 ? ??? ? ? 1 ,又假设知 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 ? k ?1 ?k ?1 ?2 ln x1 ? ln x2 ? ? ? ln xk ?1 ? ln xk ? 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1
2014 导数、函数、不等式压轴题选第 16 页 共 28 页

k ?1 k 1 2 ln( x1 ? x2 ? ? ? xk ?1 ? xk ) ,即 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 ? x ? ? 2 x2 ? ? ? ? k ?1 xk ?1 ? ? k xk ?1 ln x1 ? ? 2 ln x2 ? ? ? ? k ?1 ln xk ?1 ? ? k ln xk ? (1 ? ? k ?1 ) ln( 1 1 ) 1 ? ? k ?1 ?1 ln x1 ? ? 2 ln x2 ? ? ? ? k ?1 ln xk ?1 ? ? k ln xk ? ? k ?1 ln xk ?1 ? x ? ? 2 x2 ? ? ? ? k ?1 xk ?1 ? ? k xk ? (1 ? ? k ?1 ) ln( 1 1 ) ? ? k ?1 ln xk ?1 1 ? ? k ?1 ? x ? ? 2 x2 ? ? ? ? k ?1 xk ?1 ? ? k xk ? ln[( 1 ? ? k ?1 ) 1 1 ? ? k ?1 xk ?1 ] 1 ? ? k ?1 = ? ln(?1 x1 ? ? 2 x2 ? ? ? ? k ?1 xk ?1 ? ? k xk ? ? k ?1 xk ?1 ) . 这说明当 n ? k ? 1 时,命题也成立.

?

?

?

?

综上①②知,当 xi ? 0 ,正数 ? i 满足 ? ? i ? 1 时
n i ?1

?? ln x ? ln ?? x
n n i i i i ?1 i ?1

i

(其中i ? 1,2,?n)

(14 分)

9 题:解:(1)求导数,得 f ?( x) ? ? (1 ? x)? ?1 ? ? ? ?[(1 ? x)? ?1 ? 1] , 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 。 当 x ? (?1,0) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (?1,0) 上是增函数; 当 x ? (0,??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0,??) 上是减函数; 故 f ( x) 在 x ? 0 处取得最大值 f (0) ? 1. (2)方法一: 由(1)知, (1 ? x)? ? ?x ? 1 。
1 a p ? ? 1 (0 ? 1 ? 1) ap p 1 ap 令1 ? x ? q , ,则有 ( q ) ? ( q ? 1) ? 1, p p b p b b

a


b

q p

a 1 q 1 p 1 1 ap a 1 1 ap q ? 1? ? ? q , q ? ? ? q , q ?b ? ?b ? a , q p p p b q p b bp bp

ab

q?

q p

?

1 p 1 q 1 q 1 p ? b ? a ,即 ab ? a ? b 。 p q q p 1 p 1 q x ? b ? bx ( x ? 0) p q

方法二:构造函数 g ( x) ?

2014 导数、函数、不等式压轴题选第 17 页 共 28 页

则 g ?( x) ? x p ?1 ? b ,由 g ?( x) ? 0 ,得
1

x?b

1 p ?1

,因为 p ? 1 ,所以 p ? 1 ? 0 ,幂函数 x p ?1 在
1

g ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 , x ? 0 时为增函数, 所以 函数单调递减; x ? (0, b p ?1 ) , x ? (b p ?1 ,??) ,
函数单调递增;函数在
1 p ?1 1

x?b

1 p ?1

处取最小值,所以
1

g ( x) ? g (b
p

1 p ?1

) ,而

g (b

1 1 1 1 ) ? (b p?1 ) p ? b q ? b ? b p?1 ? b q ? b q ? b p ?1 ? b q ? b q ? 0 p q p q
1 p 1 q a ? b ? ba ? 0 ,即 p q

所以 x ? 0 时,有 g ( x) ? 0 。令 x ? a ,则有 g (a) ? 0 ,即

ab ?

1 p 1 q a ? b 。 p q 1 p 1 q a ? b 。令 p q
1 p

(3)由(2)知 ab ?

a?

ak (a1p ? a2p ? ? ? anp )


b?

bk
q q (b1q ? b2 ? ? ? bn ) 1 q

(k ? 1,2,?n)

ak bk


(a ? a ? ? ? a ) (b ? b ? ? ? b )
p 1 p 2 p n q 1 q 2 q n

1 p

1 q

?

akp bkq 1 1 ? ? ? ( k ? 1,2,?, n ) q q p a1p ? a2p ? ? ? anp q b1q ? b2 ? ? ? bn
将上述 n 个不等式依次相加,得

a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn
q q (a1p ? a2p ? ? ? anp ) (b1q ? b2 ? ? ? bn ) 1 p 1 q

?

1 1 ? ?1 , p q
1 1

所以 a b ? a b ? ? ? a b ? (a p ? a p ? ? ? a p ) p (b q ? b q ? ? ? b q ) q 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n 10 题:解:(1)求导数,得 f ?( x) ? 2 p?1 px p?1 ? p( x ? a) p?1 ,令 f ?( x) ? 0 ,得

(2 x) p?1 ? ( x ? a) p?1 ,所以 2 x ? x ? a, x ? a
当 x ? (0, a) 时, f ?( x) ? 0 ,? 函数 f ( x) 在 (0, a ) 上是减函数; 当 x ? (a,??) 时, f ?( x) ? 0 ,? 函数 f ( x) 在 ( a,??) 上是增函数; 故 f ( x) 在 x ? a 处取得最小值 f (a ) ? 0

2014 导数、函数、不等式压轴题选第 18 页 共 28 页

(2)由(1),知 x ? 0 时, f ( x) ? f (a) ? 0 。因为 b ? 0 ,所以 f (b) ? 0 。 即 2 p?1 (b p ? a p ) ? (b ? a) p ? 0 ,所以 ( (3)用数学归纳法证明如下: (ⅰ)当 n ? 1 时, a1p ? a1p ,命题成立。 (ⅱ)假设当 n ? k 时,命题成立,即 (

a ?b p ap ?bp 。 ) ? 2 2

a1 ? a 2 ? ? ? a k p a1p ? a 2p ? ? ? a kp ) ? k k

当 n ? k ? 1 时,要证 ( 只需证 (k ? 1)
p?1

a1 ? a 2 ? ? ? a k ?1 p a1p ? a 2p ? ? ? a kp?1 , ) ? k ?1 k ?1

(a1p ? a2p ? ? ? akp?1 ) ? (a1 ? a2 ? ? ? ak ?1 ) p
p?1

设 g ( x) ? (k ? 1)

(a1p ? a2p ? ? ? akp ? x p ) ? (a1 ? a2 ? ? ? ak ? x) p , x ? 0 px p?1 ? p(a1 ? a2 ? ? ? ak ? x) p?1 ,
a1 ? a 2 ? ? ? a k 。 k

则 g ?( x) ? (k ? 1)

p ?1

令 g ?( x) ? 0 ,得 x ?

当0 ? x ?

a1 ? a 2 ? ? ? a k a ? a2 ? ? ? ak ? 函数 g ( x) 在 (0, 1 时,g ?( x) ? 0 , ) 上是减函数; k k

当x ?

a1 ? a 2 ? ? ? a k a ? a2 ? ? ? ak 时, g ?( x) ? 0 ,? 函数 g ( x) 在 ( 1 ,??) 上是增函数; k k a1 ? a 2 ? ? ? a k a ? a2 ? ? ? ak 处取得最小值 g ( 1 ) ,而 k k

故函数 g ( x) 在 x ?

g(

a1 ? a 2 ? ? ? a k a ? a2 ? ? ? ak p ) ? (k ? 1) p ?1 [a1p ? a 2p ? ? ? a kp ? ( 1 ) ] k k a1 ? a 2 ? ? ? a k p ) k

? (a1 ? a 2 ? ? ? a k ?

(k ? 1) p ?1 p p p ? [k (a1 ? a 2p ? ? ? a kp ) ? (a1 ? a 2 ? ? ? a k ) p ? (k ? 1)(a1 ? a2 ? ? ? ak ) ] p k ? (k ? 1) p ?1 p p [k (a1 ? a 2p ? ? ? a kp ) ? k (a1 ? a 2 ? ? ? a k ) p ] p k
2014 导数、函数、不等式压轴题选第 19 页 共 28 页

?

(k ? 1) p ?1 p ?1 p [k (a1 ? a 2p ? ? ? a kp ) ? (a1 ? a 2 ? ? ? a k ) p ] p ?1 k
p?1

由归纳假设知 k 所以 g (

(a1p ? a2p ? ? ? akp ) ? (a1 ? a2 ? ? ? ak ) p ? 0

a1 ? a 2 ? ? ? a k ) ? 0 ,即 x ? 0 时, g ( x) ? 0 。因为 ak ?1 ? 0 ,所以 g (ak ?1 ) ? 0 。即 k

(k ? 1) p?1 (a1p ? a2p ? ? ? akp ? akp?1 ) ? (a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ) p ? 0
即 (k ? 1)
p?1

(a1p ? a2p ? ? ? akp?1 ) ? (a1 ? a2 ? ? ? ak ?1 ) p 成立。从而

(

a1 ? a 2 ? ? ? a k ?1 p a1p ? a 2p ? ? ? a kp?1 成立。 ) ? k ?1 k ?1

故当 n ? k ? 1 时,命题也成立。 由(ⅰ)、(ⅱ)可知,命题对任意 n ? N ? 都成立。 11 题:解: (Ⅰ) F ( x) ? ln x ? k ?

x ?1 1 2 x 2 ? 2(1 ? k ) x ? 1 ? , F ( x) ? ? k ? x ?1 x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2

由 x2 ? 2(1 ? k ) x ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4(1 ? k )2 ? 4 ? 4(k 2 ? 2k ) ①当 ? ? 0 即 k ? ?0, 2? 时, F ?( x) ? 0 恒成立,则 F ( x) 在定义域 (0, ??) 单调递增 ②当 k ? 0 时, 方程 x2 ? 2(1 ? k ) x ? 1 ? 0 有两负根, 又 x ? 0 ,F ?( x) ? 0 在 (0, ??) 恒成立, 则 F ( x) 在定义域 (0, ??) 单调递增 ③ 当 k ? 2 时 , 方 程 x2 ? 2 ( 1 ?k ) x? 1 ? 的0两 正 根 为 x1 ? k ? 1 ? k 2 ? 2k ,

x2 ? k ? 1 ? k 2 ? 2k ,则 F ( x) 在 (0, x1 ) 单调递增,在 ( x1 , x2 ) 单调递减, ( x2 ,??) 单调
递增; 综上,当 k ? 2 时, F ( x) 只有单调递增区间 (0, ??) ; 当 k ? 2 时,单调递增区间为 (0, k ?1 ? k 2 ? 2k ) , (k ?1 ? k 2 ? 2k , ??) 单调递减区间为 (k ?1? k 2 ? 2k , k ?1? k 2 ? 2k ) (Ⅱ)方法一: 当 x ? 1 时,函数 f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 x ? 1 时, F ( x) ? 0 恒成立。
2014 导数、函数、不等式压轴题选第 20 页 共 28 页

当 k ? 2 时,由(1)知, F ( x) 在 (0, ??) 单调递增 条件

∴当 x ? 1 时, F ( x) ? F (1) ? 0 满足

当 k ? 2 时,由于两不等正根 x1 x2 ? 1 ,所以 x1 ? 1 ? x2 ,又 F ( x) 在 ( x1 , x2 ) 单调递减,所 以 F ( x) 在 (1, x2 ) 单调递减,此时 F ( x) ? F (1)? 0不满足条件,故实数 k 的取值范围为

? ??, 2?
方法二:当 x ? 1 时,函数 f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 k ? 令 h( x ) ?

( x ? 1) ln x 恒成立; x ?1

? 2 x ln x ? x 2 ? 1 ( x ? 1) ln x ( x ? 1) ,则 h?( x) ? , x ?1 x( x ? 1) 2

令 s( x) ? ?2 x ln x ? x 2 ? 1( x ? 1) ,则 s ?( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 2 , 令 t ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 2( x ? 1) ,则 t ?( x ) ?

2x ? 2 ? 0 , t ( x) 单调递增, t ( x) ? t (1) ? 0 , x

即 s ?( x) ? 0 ,从而 s( x) 单调递增, s( x) ? s(1) ? 0 ,所以 h?( x) ? 调递增, h( x) ? h(1) 。

s ( x) ? 0 , h( x ) 单 x( x ? 1) 2

( x ? 1) ln x [(x ? 1) ln x]? 由罗比达法则, lim ? lim ? lim x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 ( x ? 1)?
x ? 1 时, h( x) ? 2 恒成立,所以 k ? 2 。
即实数 k 的取值范围为 ? ??, 2? (Ⅲ)由(2)知,取 k 的临界值 2 有, ln x ? 2 ?

ln x ? 1

x ?1 x ? 2,

x ?1 在 (1, ??) 恒成立 x ?1

令 x ? 1?

1 1 (i ? 1,2,?, n) , 则 ln(1 ? 2 ) ? 2 ? 2 ai ai

1 ai2 2? 1 ai2

?

2 2a ? 1
2 i

2 由于 ai ? 0 ,且 a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ,所以 0 ? ai ? 1 , 0 ? ai ? ai ,

2 2a ? 1
2 i

?

2 2a i ? 1

所以 ln(1 ?

1 2 )? ,分别令 i ? 1,2,?, n ,得到 n 个不等式,叠加得 2 2a i ? 1 ai
2014 导数、函数、不等式压轴题选第 21 页 共 28 页



? ln(1 ? a
i ?1

n

1
2 i

) ? 2(

1 1 ? ? 2a1 ? 1 2a2 ? 1

?

) 2an ? 1

1

又由柯西不等式得

(

1 1 ? ? 2a1 ? 1 2a2 ? 1

?

) ?(2a1 ? 1) ? (2a2 ? 1) ? 2an ? 1

1

? (2an ? 1)? ? n2

即(

1 1 1 ? ??? )([2(a1 ? a2 ? ? ? an ) ? n] ? n 2 2a1 ? 1 2a 2 ? 1 2a n ? 1

∴ 2(

1 1 ? ? 2a1 ? 1 2a2 ? 1

?

2n 2 )? 2an ? 1 n ? 2 1

∴ ln(1 ?

1 1 1 2n 2 ) ? ln( 1 ? ) ? ? ? ln( 1 ? ) ? 2 2 n?2 a12 a2 an

12.题解(1)? f ?( x) ? 在x ?

1 6 x 1 x2 ?1 ,? 切线斜率 k ? f ?( ) ? ? ,所以 f ( x) ( 1 ? ) ? 2 2 2 2 5 x ?1 x x( x ? 1)

1 5 6 1 6 3 5 处的切线方程为 y ? ln ? ? ( x ? ) ,即 y ? g ( x ) ? ? x ? ? ln 2 2 5 2 5 5 2 1 6 3 5 (2)令 t ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln( x ? ) ? x ? ? ln ( x ? 0) , x 5 5 2

x2 ?1 6 ? ? 则 t ?( x) ? 3 x ?x 5
当0 ? x ?

1 ( x ? )(6 x 2 ? 8 x ? 10) 2 , 5( x 3 ? x)

t ( x) min

1 1 时, t ?( x) ? 0 ,函数 t ( x) 递增;当 x ? 时, t ?( x) ? 0 ,函数 t ( x) 递减; 2 2 1 ? t ( ) ? 0 ,故 t ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) 。 2

( 3 ) 先 求 f ( x) 在 ( , ln( n ?

1 n

1 1 n ? n3 )) 处 得 切 线 方 程 , 由 ( 1 ) f ?( ) ? , 故 f ( x) 在 n n 1 ? n2

1 1 1 n ? n3 1 ( , ln( n ? )) 处得切线方程为 y ? ln(n ? ) ? 2 (x ? ) , n n n n n ?1

n ? n3 1 ? n2 1 x? ? ln(n ? ) , 即y? 2 (10 分) 2 n n ?1 1? n
下证 f ( x) ?

n ? n3 1? n2 1 x ? ? ln(n ? ) , 2 2 n n ?1 1? n
2014 导数、函数、不等式压轴题选第 22 页 共 28 页

令 h( x ) ? f ( x ) ?

n ? n3 1 ? n2 1 x ? ? ln(n ? )(x ? 1) , 2 2 n n ?1 1? n

则 h?( x) ?

x 2 ? 1 n ? n 3 (n 3 ? n) x 3 ? (n 2 ? 1) x 2 ? (n 3 ? n) x ? n 2 ? 1 ? ? x3 ? x n2 ? 1 (n 2 ? 1)(x 3 ? x)
1 n ? n3 1 ? n2 1 x ? ? ln(n ? ) 与 f ( x) 相切,故 h?( x) ? 0 一定有根 x ? 2 2 n n n ?1 1? n

由于直线 y ? 所以

1 ( x ? )[(n 3 ? n) x 2 ? 2n 2 x ? n 3 ? n] n h?( x) ? , ( x 3 ? x)(n 2 ? 1)
?0 ? x ?
1 1 1 时, h ?( x) ? 0 ; x ? 时, h ?( x) ? 0 ;? h( x) min ? h( ) ? 0 n n n

所以 h( x) ? 0 恒成立,即 f ( x) ?

n ? n3 1? n2 1 x ? ? ln(n ? ) 成立。(12 分) 2 2 n n ?1 1? n

1 n ? n3 1 ? n2 1 x? ? ln(n ? ) 。 即 ln(x ? ) ? 2 2 x n n ?1 1? n
令 x ? ai (i ? 1,2,?, n) ,得到 n 个不等式,叠加得

1 n ? n3 n n(1 ? n 2 ) 1 1 ln(ai ? ) ? 2 ai ? ? n ln(n ? ) ? n ln(n ? ) ? ? 2 ai n n n ? 1 i ?1 1? n i ?1
n

? (a1 ?

1 1 1 1 )(a 2 ? ) ?(an ? ) ? (n ? ) n a1 a2 an n

13 题:解: (1) f ' ( x) ? ? ln x , g ( x) ? x ? x ln x ? x ln a ,

a g ?( x) ? f ?( x) ? f ?(a) ? ? ln x ? ln a ? ln . x
所以, x ? (0 , a) 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 单调递增;

x ? (a , ? ?) 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 单调递减.
所以, g ( x) 的单调递增区间为 (0 , a] ,单调递减区间为 [a , ? ?) . (2) (法 1)对任意的正实数 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 取 a ? x1 ,则 x2 ? ( x1 , ? ?) ,由(1)得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , 即 g ( x1 ) ? f ( x1 ) ? x1 f ?( x1 ) ? f ( x2 ) ? x2 f ?( x1 ) ? g ( x2 ) , 所以, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) f ?( x1 ) ……①;

2014 导数、函数、不等式压轴题选第 23 页 共 28 页

取 a ? x2 ,则 x1 ? (0 , x2 ) ,由(1)得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , 即 g ( x1 ) ? f ( x1 ) ? x1 f ?( x2 ) ? f ( x2 ) ? x2 f ?( x2 ) ? g ( x2 ) , 所以, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) f ?( x2 ) ……②. 综合①②,得 ( x2 ? x1 ) f ?( x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) f ?( x1 ) . (法 2)因为 f ' ( x) ? ? ln x , 所以,当 x ? (0 , 1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1 , ? ?) 时, f ?( x) ? 0 . 故 f ( x) 在 (0 , 1] 上单调递增,在 [1 , ? ?) 上单调递减.
1 2 所以,对任意的正实数 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,有 f ? ?x ? ? ? f (1) , f ? ?x ? ? ? f (1) . ? 2? ? 1?

?x ?

?x ?

2 2 2 1 由 f? ?x ? ? ? f (1) ,得 x ? x ln x ? 1 ,即 x2 ? x1 ? x2 (ln x2 ? ln x1 ) ? 0 , 1 1 1 ? 2?

?x ?

x

x

x

所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) f ?( x1 ) ? x2 ? x1 ? x2 (ln x2 ? ln x1 ) ? 0 . 故 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) f ?( x1 ) .…①;
2 由 f? ?x ? ? ? f (1) ,同理可证 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) f ?( x2 ) .…②. ? 1?

?x ?

综合①②,得 ( x2 ? x1 ) f ?( x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) f ?( x1 ) . (3)对 k ? 1 , 2 , ? , n ? 2 ,令 ? k ( x ) ?

ln( x ? k ) ( x ? 1) ,则 ln x

ln x ln( x ? k ) ? x ln x ? ( x ? k ) ln( x ? k ) x ? k ' ( x) ? x ? k ? , 2 (ln x) x( x ? k )(ln x) 2
显然 1 ? x ? x ? k , 0 ? ln x ? ln(x ? k ) ,所以 x ln x ? ( x ? k ) ln(x ? k ) , 所以 ?k ' ( x) ? 0 , ?k ( x) 在 (1 , ? ?) 上单调递减. 由 n ? k ? 2 ,得 ?k (n ? k ) ? ?k (2) ,即

ln n ln(2 ? k ) ? . ln(n ? k ) ln 2

所以 ln 2 ln n ? ln(2 ? k ) ln(n ? k ) , k ? 1 , 2 , ? , n ? 2 . 所以 2?

? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 1 ? ? 1 ? 1 ? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ln n ? ? ln 2 ln n ? ? ln 3 ln(n ? 1) ? ? ln 2 ln 3 ? ln n ln 2 ?

?
?

ln n ? ln 2 ln(n ? 1) ? ln 3 ln 2 ? ln n ? ??? ln 2 ln n ln 3 ln(n ? 1) ln n ln 2
ln n ? ln 2 ln( n ? 1) ? ln 3 ln 2 ? ln n ? ??? ln 2 ln n ln 2 ln n ln 2 ln n
2014 导数、函数、不等式压轴题选第 24 页 共 28 页

? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? ? 2? ?. ln 2 ln n ? ?

…12 分

又由(2)知 f (n ? 1) ? f (n) ? f ' (n) ? ? ln n ,所以 ln n ? f (n) ? f (n ? 1) .

ln1 ? ln 2 ? ? ? ln n ? f (1) ? f (2) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (n) ? f (n ? 1)
? f (1) ? f (n ? 1) ? 1 ? f (n ? 1) .
所以,

1 1 1 ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n 1 ? f (n ? 1) ? ??? ? ? . ln 2 ln 3 ln n ln 2 ln n ln 2 ln n
1 ,定义 2

1 ? x) ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ? x , x ? 14 题:解: (1) a ? 1 时, f ?( x) ? ln x ? ln(
1 2 1 2

域为 (0,1) 。当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 ,函数递减;当 x ? ( ,1) 时, f ?( x) ? 0 ,函数递增; 所以函数在 x ? (2)方法一:

1 1 1 处取最小值 f ( ) ? ln ? ? ln 2 。 2 2 2 a a , 定义域为 (0, a ) 。 当 x ? (0, ) 时, 2 2

f ?( x) ? ln x ? ln(a ? x) , 由 f ?( x) ? 0 得 x ? a ? x ,x ?

a f ?( x) ? 0 ,函数递减;当 x ? ( , a ) 时, f ?( x) ? 0 ,函数递增; 2 a a a a 所以函数在 x ? 处取最小值 f ( ) ? a ln 。即 x ln x ? (a ? x) ln( a ? x) ? a ln 恒成立,令 2 2 2 2

x ? x1 , a ? x1 ? x2 ,代入则有
x1 ln x1 ? x 2 ln x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ln x1 ? x 2 ,即 2

x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? ( x1 ? x2 )[ln(x1 ? x2 ) ? ln 2] 。
方法二: 由(1)知, a ? 1 时,函数 f ( x) 在 x ?

1 1 处取最小值 f ( ) ? ? ln 2 。 2 2

1 ? x) ? ? ln 2 恒成立。 即 x ln x ? (1 ? x) ln(
令x?

x1 x1 x1 x1 x1 ln ? (1 ? ) ln(1 ? ) ? ? ln 2 ,即 ,则有 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2

x1 x1 x2 x2 ln ? ln ? ? ln 2 , x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2
即 x1 ln

x1 x2 ? x2 ln ? ?( x1 ? x2 ) ln 2 , x1 ? x2 x1 ? x2
2014 导数、函数、不等式压轴题选第 25 页 共 28 页

即 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? ( x1 ? x2 ) ln(x1 ? x2 ) ? ?( x1 ? x2 ) ln 2 , 即 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? ( x1 ? x2 )[ln(x1 ? x2 ) ? ln 2] 。 (3)方法一:数学归纳法 (ⅰ) n ? 1 时,由(2)知,命题成立; (ⅱ)假设 n ? k 时命题成立, 当 n ? k ? 1 时, x1 , x2 ,?, x2k ?1 ?1 , x2k ?1 满足 x1 ? x2 ? ? ? x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ? 1 设 F ( x) ? x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? ? ? x2k ?1 ?1 ln x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ln x2k ?1 , 由(2)得

F ( x) ? ( x1 ? x2 )[ln(x1 ? x2 ) ? ln 2] ? ? ? ( x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 )[ln(x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ) ? ln 2]

? ( x1 ? x2 ) ln(x1 ? x2 ) ? ? ? ( x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ) ln(x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ) ? ( x1 ? x2 ? ? ? x2k ?1 ) ln 2 ? ( x1 ? x2 ) ln(x1 ? x2 ) ? ? ? ( x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ) ln(x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ) ? ln 2
由于 ( x1 ? x2 ), ( x3 ? x4 ),?, ( x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ) 恰为 k 项,且这 k 项和为 1,由假设知

( x1 ? x2 ) ln(x1 ? x2 ) ? ? ? ( x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ) ln(x2k ?1 ?1 ? x2k ?1 ) ? ?k ln 2 ,
所以 F ( x) ? ?(k ? 1) ln 2 ? ? ln 2 k ?1 ,即 n ? k ? 1 时,命题成立。 由(ⅰ) 、 (ⅱ)可知,对一切正整数 n ? N ? ,命题都成立。

所以若

?x
i ?1

2n

i

? 1,

? x ln x
i ?1 i

2n

1

? ? ln 2 n (i, n ? N *) .

方法二:若 x1 ? x2 ? ? ? x2n ? 1 ,那么由(2)得

? x ln x
i ?1 i

2n

1

? x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? ? ? x2n ?1 ln x2n ?1 ? x2n ln x2n

? ( x1 ? x2 )[ln(x1 ? x2 ) ? ln 2] ? ? ? ( x2n ?1 ? x2n )[ln(x2n ?1 ? x2n ) ? ln 2] ? ( x1 ? x2 ) ln(x1 ? x2 ) ? ? ? ( x2n ?1 ? x2n ) ln(x2n ?1 ? x2n )

? ( x1 ? x2 ? ? ? x2k ?1 ) ln 2
? ( x1 ? x2 ) ln(x1 ? x2 ) ? ? ? ( x2n ?1 ? x2n ) ln(x2n ?1 ? x2n ) ? ln 2

2014 导数、函数、不等式压轴题选第 26 页 共 28 页

? ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 )[ln(x1 ? x2 ? x3 ? x4 ) ? ln 2] ? ? ?

( x2n ?3 ? x2n ?2 ? x2n ?1 ? x2n ) ln(x2n ?3 ? x2n ?2 ? x2n ?1 ? x2n )
? ( x1 ? x2 ? ? ? x2k ?1 ) ln 2 ? ln 2
? ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 )[ln(x1 ? x2 ? x3 ? x4 ) ? ln 2] ? ? ?

( x2n ?3 ? x2n ?2 ? x2n ?1 ? x2n ) ln(x2n ?3 ? x2n ?2 ? x2n ?1 ? x2n ) ? 2 ln 2
? ? ? ?n ln 2 ? ? ln 2 n 。
1 1 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ln x ? x2 ? F ?( x) ? 1 ? ln x ? x , 1 ( 1? 2 2, 15. 22. (1)解: 则 F)
∴ F ( x) 图像在 x ? 1 处的切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) 即 2 x ? y ? 1 ? 0 3分 4分
F ?(1) ? 2 ,

(2)解:令

G( x) ? e f ( x) ? g ( x) ? e x ln x ?

1 2 1 x ? x ln x 2 2 , G?( x) ? e (1 ? ln x) ? x

1 G??( x) ? ex ln x (1 ? ln x)2 ? ex ln x ? ? 1 ? ex ln x (1 ? ln x)2 ? e( x ?1)ln x ? 1 x 则
∵ x ? 1 与 ln x 同号 ∴ ( x ? 1) ln x ? 0
?? ∴ G ( x) ? 0

∴e

( x ?1) ln x

?1 ? 0

? ∴ G ( x ) 在 (0, ??) 单调递增

6分

? ? ? 又 G (1) ? 0 ,∴当 x ? (0,1) 时, G ( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, G ( x) ? 0

∴ G ( x) 在 (0,1) 单调递减,在 (1, ??) 单调递增 ∴ G ( x) ? 0 即e
f ( x)

∴ G( x)min ? G(1) ? 0 8分 9

? g ( x) 对任意的 x ? (0, ??) 恒成立

(3)解:由(2)知 分

xx ?

1 2 1 x ? 2 2

(b ? c)2 (c ? a)2 (a ? b)2 (b ? c)2 (c ? a ) 2 ( a ? b) 2 ? ? ? ? ? 1 2 3 1 2 3 1 2 3 aa ? 1 bb ? 1 cc ? 1 a ? b ? c ? 2 2 2 2 2 2 则
2 ? (b ? c) ? 2? 2 ? 2 2 ? 2a ? b ? c

(c ? a2) 2 a? 2 b ?2

?2 c

( ? a ? a2

2 b ) ? ? 2 ? b 2 ? c2

11 分

b2 c2 2 ? ) ?(a2 ? b2 ) ? (a2 ? c2 ) ? 2 2 2 2 ? ? ? (b ? c) a ? b a ? c 由柯西不等式得 ( (b ? c)2 b2 c2 ? ? 2 2 2 a 2 ? b2 a 2 ? c 2 ∴ 2a ? b ? c
2014 导数、函数、不等式压轴题选第 27 页 共 28 页

13 分

(b ? c)2 c2 a2 ? ? 2 2 2 a 2 ? b2 b2 ? c 2 同理 a ? 2b ? c
三个不等式相加即得证。

(a ? b)2 a2 b2 ? ? a2 ? b 2 ? 2c 2 a2 ? c2 b2 ? c2
14 分

2014 导数、函数、不等式压轴题选第 28 页 共 28 页


【高考领航】2014届高三数学(理)二轮复习练习:大题规范练(二)函数、导数、不等式综合题

【高考领航】2014届高三数学(理)二轮复习练习:大题规范练(二)函数、导数不等式综合题_高中教育_教育专区。【高考领航】2014届高三数学(理)二轮复习练习:大题规...

导数综合题2014年6月21日

1/2 相关文档推荐 2014年高考导数综合题(理... 4页 1下载券 2014年高考...f ( x)? g ( x),求证:当 x1 , x2 ?[1, a] 时,不等式 ( II )...

精品:二轮复习(2)不等式、导数综合题选

导数综合练习题 11页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 精品:二轮复习(2)不等式导数综合题选 隐藏...

导数、函数、不等式综合题

导数、函数、不等式综合题_数学_高中教育_教育专区。...2 x ? 4 的解集为 (?1, ??) ,选 B。 2...文档贡献者 415295984 贡献于2014-10-25 相关文档...

导数综合题(二)

导数综合题(二) 1、 已知函数 f ( x) ? ax3...[?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c2 恒成立,求...©2014 Baidu 使用百度前必读 | 文库协议...

2014年高考导数综合题做题技巧与方法总结

2014年高考导数综合题做题技巧与方法总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考...f ( x) 的定义域; (2)导数 y ? ? f ?( x) ;(3)解不等式 f ?...

导数综合题中的不等式——证明

导数综合题中的不等式导数在函数中的应用主要是判断函数的单调性, 因此通常的导数综合题都是以考察函数 的单调性为基础。 但也经常在第 2 小题中以不等式的...

高考第二轮复习——导数、函数、不等式综合题的题型与方法-40

1/2 专题推荐 2014年高考语文新课标I卷... 2014...高考第二轮复习——导数、函数、不等式综合题的题型...设计两道选择题,一道填空题,一道解答题,直接考查...

高二数学导数单元测试题(有答案)2014.12

、极值与最值问题、恒成立问题、证明或解不等式问题高二数学导数单元测试题一.选择题:(答案请填在后面...3 20.(2014 年北京)已知函数 f ( x) ? 2 x3...