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2010年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学文科及详解


2010 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学文试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 (1) 设 P ? {x | x ? 1}, Q ? {x | x ? 4}, 则 P ? Q ?
2

(A) {x | ?1 ? x ? 2} (C)

{x |1 ? x ? ?4}

(B) {x | ?3 ? x ? ?1} (D) {x | ?2 ? x ? 1}

解析: Q ? x ? 2<x<2 ,故答案选 D,本题主要考察了集合的基本运算,属容易题 (2) 已知函数 f ( x) ? log1 ( x ? 1), 若 f (? ) ? 1,

?

?

?=

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:? +1=2,故 ? =1,选 B,本题主要考察了对数函数概念及 其运算性质,属容易题 (3)设 i 为虚数单位,则

5?i ? 1? i

(A)-2-3i (B)-2+3i (C)2-3i (D)2+3i 解析:选 C,本题主要考察了复数代数形式的四则运算,属容易题 (4) 某程序框图所示,若输出的 S=57,则判断框内为 (A) k>4? (B) k>5? (C) k>6? (D) k>7? 解析:选 A,本题主要考察了程序框图的结构,以及与数列有关的 简单运算,属容易题 (5) 设 sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 则 (A)-11 (C)5 (B)-8 (D)11
3

S5 ? S2

解析:通过 8a2 ? a5 ? 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a 2 ? a 2 q ? 0 ,解得 q =-2,带入所 求式可知答案选 A,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 (6)设 0<x<

π ,则“x sin2x<1”是“x sinx<1”的 2
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 解析:因为 0<x<

π ,所以 sinx<1,故 xsin2x<xsinx,结合 xsin2x 与 xsinx 的取值范围相 2

同,可知答案选 B,本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义,以及转化思想 和处理不等关系的能力,属中档题 x+3y-3≥0, (7)若实数 x,y 满足不等式组合 2x-y-3≤0,则 x+y 的最大值为 x-y+1≥0, (A)9 (C)1

15 7 7 (D) 15
(B)

解析:将最大值转化为 y 轴上的截距,可知答案选 A,本题主要 考察了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数 形结合的思想,属中档题 (8)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的 体积是

352 3 cm 3 224 3 (C) cm 3
(A)

320 3 cm 3 160 3 (D) cm 3
(B)

解析:选 B,本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的 识别以及几何体体积的计算,属容易题 (9)已知 x 是函数 f(x)=2x+

1 的一个零点.若 x 1 ∈(1, x 0 ) , 1? x

x 2 ∈( x 0 ,+ ? ) ,则
(A)f( x 1 )<0,f( x 2 )<0 (C)f( x 1 )>0,f( x 2 )<0 (B)f( x 1 )<0,f( x 2 )>0 (D)f( x 1 )>0,f( x 2 )>0

解析:选 B,考察了数形结合的思想,以及函数零点的概念和零点的判断,属中档题 (10)设 O 为坐标原点, F1 , F2 是双曲线

x 2 y2 ? ? 1(a>0,b>0)的焦点,若在双曲线上 a 2 b2

存在点 P,满足∠ F1 P F2 =60°,∣OP∣= 7a ,则该双曲线的渐近线方程为 (A)x± 3 y=0 (C)x± 2y =0 (B) 3 x±y=0 (D) 2x ±y=0

解析:选 D,本题将解析几何与三角知识相结合,主要考察了双曲线的定义、标准方程,几 何图形、几何性质、渐近线方程,以及斜三角形的解法,属中档题

非选择题部分(共 100 分) 二,填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 (11)在如图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的中位数分别是



解析:45;46,本题主要考察了茎叶图所表达的含义,以及从样本数据中提取数字特征的能 力,属容易题。 (12)函数 f ( x) ? sin (2 x ?
2

?
4

) 的最小正周期是



解析:对解析式进行降幂扩角,转化为 f ?x ? ? ?

1 ?? 1 ? cos? 4 x ? ? ? ,可知其最小正周期为 2 2? 2 ?

? ,本题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用,属容易题。 2

(13)已知平面向量 ? , ? , ? ? 1, ? ? 2, ? ? (? ? 2 ? ), 则 2a ? ? 的值是 解析: 10 ,由题意可知 ? ? ?? - 2? ? ? 0 ,结合 ?
2



? 1, ?

2

? 4 ,解得 ? ? ? ?

1 ,所以 2

2a ? ? 2= 4? 2 ? 4? ? ? ? ? 2 ? 8 ? 2 ? 10 ,开方可知答案为 10 ,本题主要考察了平面
向量的四则运算及其几何意义,属中档题。

(14)在如下数表中,已知每行、每列中的树都成等差数列, 那么,位于下表中的第 n 行第 n+1 列的数是 。

解析:第 n 行第一列的数为 n,观察得,第 n 行的公差为 n,所以第 n0 行的通项公式为

a n ? n0 ? ?n ? 1?n0 ,又因为为第 n+1 列,故可得答案为 n 2 ? n ,本题主要考察了等差数
列的概念和通项公式,以及运用等差关系解决问题的能力,属中档题

(15)若正实数 X,Y 满足 2X+Y+6=XY , 则 XY 的最小值是



2 2 xy 解析: 运用基本不等式, ? 2 x ? y ? 6 ? 2 2 xy ? 6 , xy ? t , 令 可得 t ? 2 2t ? 6 ? 0 ,

注意到 t>0,解得 t≥ 3 2 ,故 xy 的最小值为 18,本题主要考察了用基本不等式解决最值问 题的能力 ,以及换元思想和简单一元二次不等式的解法,属中档题

(16) 某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元,预测六月份销售额为 500 万元,七 月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、 八月份销售总额相等,若一月至十月份销售总额至少至少达 7000 万元,则,x 的最小 值 。 解析:20;本题主要考察了用一元二次不等式解决实际问题的能力,属中档题

(17)在平行四边形 ABCD 中,O 是 AC 与 BD 的交点,P、Q、M、N 分别是线段 OA、 OB、OC、OD 的中点,在 APMC 中任取一点记为 E,在 B、Q、N、D 中任取一点记为 F, 设 G 为满足向量 OG ? OE ?OF 的点,则在上述的点 G 组成的集合中的点,落在平行四边 形 ABCD 外(不含边界)的概率为 。

????

????? ? ????

解析:由题意知,G 点共有 16 种取法,而只有 E 为 P、M 中一点,F 为 Q、N 中一点时, 落在平行四边形内,故符合要求的 G 的只有 4 个,因此概率为 量与古典概型的综合运用,属中档题

3 ,本题主要考察了平面向 4

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (18) (本题满分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积, 满足 S ?

3 2 (a ? b 2 ? c 2 ) 。 4

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值。 解析本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识,同时考查三角运算求解能 力。 (Ⅰ)解:由题意可知

3 1 absinC= ,2abcosC. 4 2
所以 tanC= 3 . 因为 0<C< π , 所以 C=

π . 3 2π -A) 3

(Ⅱ)解:由已知 sinA+sinB=sinA+sin( π -C-A)=sinA+sin(

=sinA+ 当△ABC 为正三角形时取等号, 所以 sinA+sinB 的最大值是 3 .

3 1 π cosA+ sinA= 3 sin(A+ )≤ 3 . 2 2 6

(19) (本题满分 14 分)设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和 为 Sn,满足 S 5 S 6 +15=0。 (Ⅰ)若 S 5 =5,求 S 6 及 a1; (Ⅱ)求 d 的取值范围。 解析:本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力及分析问 题解决问题的能力。 (Ⅰ)解:由题意知 S6=

-15 =-3, S5

A6=S6-S5=-8 所以 ?

?5a1 ? 10d ? 5, ? a 1 ?5d ? ?8.

解得 a1=7 所以 S6= -3,a1=7 (Ⅱ)解:因为 S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即 2a12+9da1+10d2+1=0. 故(4a1+9d)2=d2-8. 所以 d2≥8.
[

故 d 的取值范围为 d≤-2 2 或 d≥2 2 .

(20) (本题满分 14 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=2BC,∠ABC=120°。E 为线 段 AB 的中点, 将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A’DE, 使平面 A’DE⊥平面 BCD, 为线段 A’C F 的中点。 (Ⅰ)求证:BF∥平面 A’DE; (Ⅱ)设 M 为线段 DE 的中点,求直线 FM 与平面 A’DE 所成角的余弦值。

解析:本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系,线面角等基础知识,同时考查空间想 象能力和推理论证能力。 (Ⅰ)证明:取 A′D 的中点 G,连结 GF,CE,由条件易知 FG∥CD,FG= BE∥CD,BE=

1 CD. 2

1 CD. 2

所以 FG∥BE,FG=BE. 故四边形 BEGF 为平行四边形, 所以 BF∥EG

? 因为 EG ? 平面 A ' DE ,BF ? 平面 A ' DE
所以 BF//平面 A ' DE (Ⅱ)解:在平行四边形,ABCD 中,设 BC=a 则 AB=CD=2a, AD=AE=EB=a, 连 CE 因为 ?ABC ? 120
0

在△BCE 中,可得 CE= 3 a,

在△ADE 中,可得 DE=a,

在△CDE 中,因为 CD2=CE2+DE2,所以 CE⊥DE, 在正三角形 A′DE 中,M 为 DE 中点,所以 A′M⊥DE. 由平面 A′DE⊥平面 BCD, 可知 A′M⊥平面 BCD,A′M⊥CE.

取 A′E 的中点 N,连线 NM、NF, 所以 NF⊥DE,NF⊥A′M.

因为 DE 交 A′M 于 M,

所以 NF⊥平面 A′DE,

则∠FMN 为直线 FM 与平面 A′DE 新成角. 在 Rt△FMN 中,NF= 则 cos ?FMN =

3 1 a, MN= a, FM=a, 2 2

1 . 2 1 . 2

所以直线 FM 与平面 A′DE 所成角的余弦值为

(21) (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? a) (a-b) (a, b ? R, a <b)。
2

(I)当 a=1,b=2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点(2, f ( x) )处的切线方程。 (II)设 x1 , x2 是 f ( x) 的两个极值点, x3 是 f ( x) 的一个零点,且 x3 ? x1 , x3 ? x2 证明:存在实数 x4 ,使得 x1 , x2 , x3 , x4 按某种顺序排列后的等差数列,并求 x4

解析:本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基 础知识,同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。 (Ⅰ)解:当 a=1,b=2 时, 因为 f’(x)=(x-1)(3x-5) 故 f’(2)=1 f(2)=0, 所以 f(x)在点(2,0)处的切线方程为 y=x-2 (Ⅱ)证明:因为 f′(x)=3(x-a) (x- 由于 a<b. 故 a<

a ? 2b ) , 3

a ? 2b . 3

所以 f(x)的两个极值点为 x=a,x= 不妨设 x1=a,x2=

a ? 2b , 3

a ? 2b . 3

[

因为 x3≠x1,x3≠x2,且 x3 是 f(x)的零点, 故 x3=b.

a ? 2b a ? 2b -a=2(b- ) , 3 3 1 a ? 2b 2a ? b x4= (a+ )= , 2 3 3 2a ? b a ? 2b 所以 a, , ,b 依次成等差数列, 3 3 2a ? b 所以存在实数 x4 满足题意,且 x4= . 3
又因为 (22)(本题满分 15 分)已知 m 是非零实数,抛物线 C : y ? 2 ps (p>0) 、
2

的焦点 F 在直线 l : x ? my ?

m2 ? 0 上。 2

(I)若 m=2,求抛物线 C 的方程 (II)设直线 l 与抛物线 C 交于 A、B,△A A2 F ,△ BB1 F 的重心分别为 G,H 求证:对任意非零实数 m,抛物线 C 的准线与 x 轴的焦点在以线段 GH 为直径的圆外。

解析:本题主要考查抛物线几何性质,直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识,同时 考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。 (Ⅰ)解:因为焦点 F( 得? ? m
2

P ,0)在直线 l 上, 2
所以抛物线 C 的方程为 y ? 2m x
2 2

又 m=2,故 ? ? 4

设 A(x1,y1) , B(x2,y2)

? m2 x ? my ? , ? 由? 2 消去 x 得 ? y 2 ? 2 m 2 x, ?
y2-2m3y-m4=0, 由于 m≠0,故 ? =4m6+4m4>0, 且有 y1+y2=2m3,y1y2=-m4, 设 M1,M2 分别为线段 AA1,BB1 的中点, 由于 2 M 1C ? GF , 2M 2 H ? HF ,

?????

???? ??????

????

可知 G(

x1 2 y1 x 2y ) ,H( 2 , 2 ) , , 3 3 3 3

x1 ? x2 m( y1 ? y2 ) ? m2 m4 m2 ? ? ? , 所以 6 6 3 6 2 y1 ? 2 y2 2m3 ? , 6 3

所以 GH 的中点 M ?

? m 4 m 2 2m 2 ? ? , ?. 6 3 ? ? 3

设 R 是以线段 GH 为直径的圆的半径, 则 R2 ?

1 1 | GH |2 ? (m2 ? 4)(m2 ? 1)m2 4 9
m2 , 0) , 2

设抛物线的标准线与 x 轴交点 N (?

则 | MN | ? ?
2

? m 2 m 4 m 2 ? 2m3 2 ? ? ) ??( 3 6 ? 3 ? 2

1 4 4 m (m +8 m2+4) 9 1 = m4[(m2+1)( m2+4)+3m2] 9 1 > m2 (m2+1)( m2+4)=R2. 9
= 故 N 在以线段 GH 为直径的圆外.


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