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北京市西城区(北区)2011-2012学年高二下学期期末考试


北京市西城区(北区)2011 — 2012 学年度第二学期学业测试 高二数学(理科)
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位,复数 A. 1 ? 3i

2?i 等于( 1? i

r />B. 1 ? 3i

) C.

1 3 ? i 2 2

D.

1 3 ? i 2 2

2. 甲、乙两个气象台同时做天气预报,如果它们预报准确的概率分别为 0.8 与 0.7,且预 报准确与否相互独立. 那么在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是( ) A. 0.06 B. 0.24 C. 0.56 D. 0.94 3. 函数 f ( x) ? A. x ? 2 y ? 0

x 的图象在 x ? 4 处的切线方程是(
B. x ? y ? 2 ? 0

) D. x ? 4 y ? 4 ? 0

C. x ? 4 y ? 4 ? 0 )

4. 用 0,1, 2,3 组成没有重复数字的四位数,其中奇数有( A. 8 个 B. 10 个 C. 18 个

D. 24 个

5. 如图,阴影区域是由函数 y ? sin x 的一段图象与 x 轴围成的封闭图形,那么这个阴影 区域的面积是( )

A. 1

B. 2

C.

π 2

D. π

6. 已知函数 f ( x) ? x ? 是( )

a (a ? R ) 在区间 [2, ??) 上单调递增,那么实数 a 的取值范围 x2
B. (??, 4] C. (??,8) D. (??,8]

A. (??, 4)

7. 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用 7 局 4 胜制(即先胜 4 局者获 胜,比赛结束) ,假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同,那么甲以 4 比 2 获胜的概率 为( ) A.

5 64

B.

15 64

C.

5 32

D.

5 16

8. 设函数 f ( x) 的定义域为 R,如果存在函数 g ( x) ? ax(a 为常数) ,使得 f ( x) ? g ( x) 对 于一切实数 x 都成立,那么称 g ( x) 为函数 f ( x) 的一个承托函数. 已知对于任意 k ? (0,1) ,

g ( x) ? ax 是函数 f ( x) ? e k 的一个承托函数,记实数 a 的取值范围为集合 M,则有(
A. e ? M , e ? M B. e ? M , e ? M C. e ? M , e ? M D. e ? M , e ? M 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 在 (1 ? 2 x)5 的展开式中, x 的系数等于________。 (用数字作答)
2

x



?1

?1

?1

?1

10. 已知某随机变量 X 的分布列如下( a ? R ) :

X P

1

2

3

1 2

1 3

a

则随机变量 X 的数学期望 E ( X ) =_______,方差 D( X ) =____________. 11. 设函数 f ( x) ? x ln x , x ?[e?2 ,e] ,则 f ( x ) 的最大值为____________,最小值为___________. 12. 若 4 名学生和 3 名教师站在一排照相,则其中恰好有 2 名教师相邻的站法有_______种.(用 数字作答) 13. 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9x ? a 在区间 [-2,2]上存在零点,那么实数 a 的取值范围 是_________. 14. 如图, 设P 且在第一象限. 过点 P 交 x 轴于 Q1 0 是抛物线 y ? x 上一点, 0 作抛物线的切线,
2

点, 过 Q1 点作 x 轴的垂线, 交抛物线于 P 此时就称 P 可由 P 1 点, 0 确定了 P 1 .依此类推, 1 确定 P 2, .记 P n ( xn , yn ) , n ? 0,1, 2, 。

给出下列三个结论: ① xn ? 0 ; ②数列 {xn } 为单调递减数列; ③对于 ?n ? N , ? x0 ? 1 ,使得 y0 ? y1 ? y2 ? 其中所有正确结论的序号为__________。

? yn ? 2 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 13 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ?1 ? (Ⅰ)计算 a2 , a3 , a4 的值; (Ⅱ)猜想数列 {an } 的通项公式,并用数学归纳法加以证明. 16. (本小题满分 13 分) 甲同学在军训中,练习射击项目,他射击命中目标的概率是 相互之间没有影响. (Ⅰ)在 3 次射击中,求甲至少有 1 次命中目标的概率; (Ⅱ)在射击中,若甲命中目标,则停止射击,否则继续射击,直至命中目标,但射击 次数最多不超过 3 次,求甲射击次数的分布列和数学期望. 17. (本小题满分 13 分)

an , n ? 1, 2,3, 3an ? 1



1 ,假设每次射击是否命中 3

设 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

x 的导函数为 f ?( x ) . a ? x2
2

(Ⅰ)求 f ?(0), f ?(1) 的值,并比较它们的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值. 18. (本小题满分 13 分) 袋中装着标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个,现从袋中任意取出 3 个小球,假设每个 小球被取出的可能性都相等. (Ⅰ)求取出的 3 个小球上的数字分别为 1,2,3 的概率; (Ⅱ)求取出的 3 个小球上的数字恰有 2 个相同的概率; (Ⅲ)用 X 表示取出的 3 个小球上的最大数字,求 P( X ? 4) 的值. 19. (本小题满分 14 分) 请先阅读:

1 2 2 (Ⅰ)利用上述想法(或其他方法) ,结合等式 (1+x)n =C0 n ? Cn x ? Cn x ? 3 2 4 3 ( x ? R ,整数 n ≥ 2 ) ,证明: n[(1 ? x)n?1 ?1] ? 2C2 n x ? 3Cn x ? 4Cn x ? 2 3 (Ⅱ)当整数 n ≥ 3 时,求 C1 n ? 2Cn ? 3Cn ? n 的值; ? (?1)n?1 nCn

n ? Cn nx

n n?1 ? nCn x ;

3 4 (Ⅲ)当整数 n ≥ 3 时,证明: 2C2 n ? 3 ? 2Cn ? 4 ? 3Cn ?

n ? (?1)n?2 n(n ? 1)Cn ?0.

20. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? a ln( x ? 1) ,其中 a ? R 。
2

(Ⅰ)若 f ?(1) ? 0 ,求 a 的值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x ) 在其定义域上的单调性;

(Ⅲ)证明:对任意的正整数 n ,不等式 ln(n ? 1) ?

?(k
k ?1

n

1
2

?

1 ) 都成立。 k3

【试题答案】
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. D; 2. A; 3. C; 4. A; 5. B; 6. B; 7. C; 8. D.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 40 ; 10.

5 5 , ; 3 9

11. e, ? ; 14. ① 、②、③ .

1 e

12. 2880;

13. [?22,5] ;

注:第 10,11 题第一个空 2 分,第二个空 3 分;第 14 题多选、少选均不得分。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.(如有其他方法,仿此给分) 15. (本小题满分 13 分)

1 1 1 , a3 ? , a 4 ? , 4 7 10 1 (Ⅱ )解:由 a1 , a2 , a3 , a4 ,猜想 an ? 3n ? 2
(Ⅰ )解:由题意,得 a 2 ? 以下用数学归纳法证明:对任何的 n ? N , a n ?
*

3分 5分

1 。 3n ? 2 1 ? 1 ,等式成立。7 分 证明:①当 n ? 1 时,由已知,左边 ? 1 ,右边 3 ?1 ? 2 1 * ②假设当 n ? k (k ? N ) 时, a k ? 成立, 3k ? 2 1 ak 1 1 3k ? 2 则 n ? k ? 1 时, a k ?1 ? ? ? ? , 1 3a k ? 1 3k ? 1 3(3k ? 1) ? 2 3? ?1 3k ? 2
所以当 n ? k ? 1 时,猜想也成立。 根据①和②,可知猜想对于任何 n ? N 都成立。
*

12 分 13 分

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ )解:记“在 3 次射击中,甲至少有 1 次命中目标 ”为事件 A。 则 A 表示事件“在 3 次射击中,甲没有命中目标。 ” 2分 1分

1 1 3 3 19 所以 P( A) ? 1 ? P( A) ? 。 27

故 P( A) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ?

1 3

8 , 27
6分

4分

(Ⅱ )解:记甲的射击次数为 X,则 X 的可能取值为 1,2,3

7分

1 P ( X ? 1) ? , 3 1 1 2 P ( X ? 2) ? (1 ? ) ? ? , 3 3 9
1 1 4 P( X ? 3) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ?1 ? 3 3 9
X 的分布列为: X P 1 2 3 10 分

1 3

2 9

4 9
11 分

1 2 4 19 E( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? (环) 。 3 9 9 9
17. (本小题满分 13 分) (Ⅰ )解:因为 f ' ( x) ?

13 分

(a 2 ? x 2 ) ? 2 x 2 a2 ? x2 ? 2 (a 2 ? x 2 ) 2 (a ? x 2 ) 2

3分

所以 f ' (0) ?

1 a2 ?1 , f ' ( 1 ) ? a2 (a 2 ? 1) 2

4分

因为 f ' (0) ? f ' (1) ? 所以 f ' (0) ? f ' (1).

1 a2 ?1 3a 2 ? 1 ? ? ? 0, a 2 (a 2 ? 1) 2 a 2 (a 2 ? 1)
6分 7分

(Ⅱ )解:由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ? a , x 变化时, f ( x) 与 f ' ( x) 的变化情况如下表

x
f ?( x )
f ( x)

(??,?a)

?a
0
极小值

( ? a, a )

a 0 极大值

(a, ??)

?


?


?
↘ 12 分

即函数 f ( x) 在 (??,?a) 和 (a, ??) 内单调递减,在 (?a, a) 内单调递增。 所以当 x=a 时, f ( x) 有极大值 f ( a ) ?

1 1 ;当 x ? ?a 时, f ( x) 有极小值 f ( ? a ) ? ? 。 2a 2a
13 分

18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ )解:记“取出的 3 个小球上的数字分别为 1,2,3”的事件为 A, 1分

则 P( A) ?

1 1 1 C2 C2 C2 1 ? . 3 15 C10

答:取出的 3 个小球上的数字恰有 2 个相同的概率为

1 . 15

4分

(Ⅱ )解:记“取出的 3 个小球上的数字恰有 2 个相同”的事件为 B, 5 分
1 1 C5 C8 1 则 P( B ) ? ? . 3 3 C10

答:取出的 3 个小球上的数字分别为 1,2,3 的概率为 . (Ⅲ)解:由题意,X 可以取到 2,3,4,5, 所以 P( X ? 4) ? P( X ? 4) ? P( X ? 5) 。 又因为 P( X ? 4) ?
2 1 1 2 C6 C 2 ? C6 C2 3 ? , 3 10 C10

1 3

8分

9分

11 分

1 1 2 C82 C2 ? C8 C2 8 P( X ? 5) ? ? , 3 15 C10

所以 P ( X ? 4) ?

3 8 5 ? ? 。 10 15 6

13 分

19. (本小题满分 14 分)
0 1 2 2 n n (Ⅰ )证明:在等式 (1 ? x) n ? Cn ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x 两边对 x 求导, 1 2 3 2 n?1 n?2 n n?1 得 n(1 ? x) n?1 ? Cn ? 2Cn x ? 3Cn x ? ? ? (n ? 1)Cn x ? nCn x , (*) 2 分 1 2 3 2 n?1 n?2 n n?1 移项得 n(1 ? x) n?1 ? Cn ? 2Cn x ? 3Cn x ? ? ? (n ? 1)Cn x ? nCn x , 2 3 2 4 3 n n?1 即 n[(1 ? x) n?1 ? 1] ? 2Cn x ? 3Cn x ? 4Cn x ? ? ? nCn x .

4分

(Ⅱ )解:在(*)式中,令 x ? ?1, 得 0 ? Cn ? 2Cn ? (?1) ? 3Cn ? (?1) ? ? ? nCn ? (?1)
1 2 3 2 n n?1

,
9分

即 Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? (?1)
1 2 3

n?1

n nCn ? 0.

(Ⅲ)证明:由(Ⅰ )知
1 2 3 2 n?1 n?2 n n?1 n(1 ? x) n?1 ? Cn ? 2Cn x ? 3Cn x ? ? ? (n ? 1)Cn x ? nCn x , n ? 3, 两边对 x 求导得

2 3 4 2 n n ?2 n(n ? 1)(1 ? x) n?2 ? 2Cn ? 3 ? 2Cn x ? 4 ? 3Cn x ? ? ? n(n ? 1)Cn x , 12 分

在上式中,令 x ? ?1,
2 3 4 n 得 0 ? 2Cn ? 3 ? 2Cn (?1) ? 4 ? 3Cn (?1) 2 ? ? ? n(n ? 1)Cn (?1) n?2 , 2 3 4 n 即 2Cn ? 3 ? 2Cn ? 4 ? 3Cn ? ? ? (?1) n?2 n(n ? 1)Cn ? 0.

14 分

20. (本小题满分 14 分) (Ⅰ )解: 函数 f ( x) 的定义域是 {x x ? ?1}. 对 f ( x) 求导,得 f ' ( x) ? 2 x ? 由 f ' (1) ? 0, 得 解得 a ? 4. 1分

a 2x 2 ? 2x ? a ? . x ?1 x ?1

3分

4?a ? 0. 2
4分

2 x 2 ? 2 x ? 4a (Ⅱ )解由(Ⅰ )知 f ' ( x) ? x ?1
令 f ' ( x) ? 所以当 ?

2x 2 ? 2x ? a ? 0 ,得 2 x 2 ? 2 x ? a ? 0 ,则 ? ? 4 ? 8a 。 x ?1

1 ? a ? 0 时, 2

方程 f ' ( x) ? 0 存在两根 x1 ?

? 1 ? 1 ? 2a ? 1 ? 1 ? 2a ? ?1. ? ?1, x2 ? 2 2

x 变化时, f ( x) 与 f ' ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f ( x)

(?1, x2 )
?


x2
0
极大值

( x2 , x1 )
?


x1
0 极小值

( x1 ? ?)
?


即函数 f ( x) 在 (?1,

? 1 ? 1 ? 2a ? 1 ? 1 ? 2a ? 1 ? 1 ? 2a ) 上单调递增,在 ( , ) 上单调 2 2 2
7分

递减,在 (

? 1 ? 1 ? 2a ,??) 上单调递增; 2

当a ? ?

1 时,因为 f ' ( x ) ? 2

2x 2 ? 2x ? x ?1

1 2 2 ? (2 x ? 1) 2( x ? 1),

所以 f ' ( x) ? 0 (当且仅当 x ? ?

1 时,等号成立) , 2
8分

所以函数 f ( x) 在 (?1,??) 上单调递增; 当a ? ?

1 2 x 2 ? 2 x ? a (2 x ? 1) 2 ? (2a ? 1) 时,因为 f ' ( x) ? ? ? 0, 2 x ?1 2( x ? 1)

所以函数 f ( x) 在 (?1,??) 上单调递增。 综上,当 ?

1 ? 1 ? 1 ? 2a ? a ? 0 时 , 函 数 f ( x) 在 (?1, ) 上单调递增,在 2 2

(

1 ? 1 ? 1 ? 2a ? 1 ? 1 ? 2a ? 1 ? 1 ? 2a ,??) 上单调递增;当 a ? ? , ) 上单调递减,在 ( 2 2 2 2

时,函数 f ( x) 在 (?1,??) 上单调递增。 9分 (Ⅲ)证明:当 a ? 1 时, f ( x) ? x 2 ? ln(x ? 1), 令 h( x) ? x ? f ( x) ? x ? x ? ln(x ? 1),
3 3 2

则 h' ( x ) ?

3x 3 ? ( x ? 1) 2 ? 0 在 [0,??) 上恒成立, x ?1
10 分

所以 h( x) 在 [0,??) 上单调递增, 则当 x ? (0,??) 时,恒有 h( x) ? h(0) ? 0. 即当 x ? (0,??) 时,有 x ? x ? ln(x ? 1) ? 0,
3 2

整理,得 ln(x ? 1) ? x ? x .
2 3

11 分

1 1 1 1 得 ln ( ? 1) ? 2 ? 3 , n n n n n ?1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ,整理得 ln( n ? 1) ? ln n ? 2 ? 3 , 所以 ln n n n n n 1 1 则有 ln 2 ? ln 1 ? 2 ? 3 , 1 1
对任意正整数 n,取 x ?

12 分

ln 3 ? ln 2 ?
??

1 1 ? , 2 2 23
1 1 ? 3, 2 n n

ln( n ? 1) ? ln n ?

所以 (ln 2 ? ln 1) ? (ln 3 ? ln 2) ? ? ? [ln( n ? 1) ? ln n] ? (

1 1 1 1 ? 3)?( 2 ? 3 2 1 1 2 2

??? (

1 1 ? 3), 2 n n

即 ln(n ? 1) ?

?(k
k ?1

n

1
2

?

1 ). k3

14 分


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