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对一个数列问题的探究

时间:2015-09-29


上 海 中学数 学 ? 2 0 1 3年 第 5期 

对 一 个 数 列 问题 的探 究 
2 0 0 4 3 3   复 旦 大 学 附属 中 学 高二  李 以伦 
在数 列学 习过 程 中 , 有这 样一 个 问题 : 已知 各项  均 为正数 的数 列  a  , 其 前  项 和 S  满 足 4 S   一( 1   +口  

)   , 求 其首 项 和通项 公式 .   这个 问题 的解 决并 不 难 , 将 , z 一 1代 入 , 可 得 首 
项a 1 —1 , 用 4 S   一( 1 +a   )  减 去 4 S   一 1 一 ( 1+  
a   一 1 )  ( ” >1 ) , 得 a  一 a   一 1+ 2 或 a  一 一 日   一 1  
n   4   — 5, 一 1, 3, 7   Ⅱ1  

表 1  
1  

a2  
口3  

— 1, 3  
~ 3, 1, 5  

( 7 2 >1 ) , 因为 该数列 各项 均 为正数 , 所以 a   一 一a   一  
不成 立 , 得a   :口   一   十2 (   >1 ) , 为 等差 数列 , 所以 a  
= 2 n一 1 .  

其 中 的规律 很 明 显 : 1 . 它 们 各 自构 成 公 差 为 4   的等差 数 列 , 且 是 a   中的第几项, 则 该 数 列 就 有  几项 ; 2 . 这些 等差 数列 的首 项按 序 构成 首 项 为 1 , 公  差 为 ~2的等 差 数 列 . 根据这些规律, 产生猜想 : a  

这个 问题 引起 同学 间 的 争论 , 有 的 同学 认 为 若 

没有 “ 各项 均 为 正 数 ” 这一条 件, 因为 a   一a   一  +2   或a   一一口   一   , 所 以该 数 列不 是 等 差 数列 就 是 等 比  数列 , 其通 项公 式就 为 a   一2 n 一1 或a   =( 一1 ) 一   .   但 仔 细分 析 就 能 发 现 , 由 a   一a   一  + 2或 a   一一  
n   ~   , 后一 项 与前 一 项 的关 系并 不 是 始终 满 足 a   一   日   一 l +2 , 或始终 满 足 a   一 一a   一   , 而是 a   一a   一   +2  

的不 同可能值 有  个 , 若将 其 按 从 小 到大 的 顺 序排 
成 一列 , 则构 成首 项 为 1 +(  一1 ) ( 一2 ) 一3 —2 n , 公 

差 为 4的等 差数列 . 下 面用 数 学 归 纳法 来 证 明 这个 
猜想 :   首先 由上表 可知 , 猜想 对 一1 , 2 , 3 , 4 都 成立 ;   假设 7 z 一 ( 志 ≥1 ) 时, 猜想 成 立 , 即 a  的不 同可 

或a   一 一口   一   中的任何 一个 都 可 以. 如: a   =a   +2 ,  
而n 。 一 一a 。 , 那 该 数 列 就 既不 是 等差 数 列 , 也 不 是  等 比数列 了 。 再进一步思考, 我们 知道 , 数 列 是 特 殊 

能值有 是个 , 将其 按从 小到 大 的顺 序排 成 一 列 , 为3  


2 走, 7~ 2 走, … , 2 惫一 5, 2 k一 1;  

则 n =k 十1 时, 将由a   + l 一 一a  得 到 的 a   + l 的  值 按从 小 到 大 的顺 序 排 成 一 列 , 为 1 —2 k , 5 —2 是 ,  


的 函数 , 若没有“ 各项均为正数” 这 一条件 , 由于 n   :3或 n 。 一一 1 , 不 是 唯 一 确定 , 因此 这 甚 至就 不 是 




个 数列 了.  

2 志 一7 , 2 k 一3 , 是公 差为 4的等差数 列 ,   将 由a   +   一n   +2 得到的 n   +   的值 按从 小 到 大 

这里 引起 笔 者 兴 趣 的是 , 若没有 “ 各 项 均 为 正  数” 这 一条 件 , 对 于  皖  ( 只 是一 列 数 而不 论 它 是 否  是数 列 ) , 由口   = = = 1 , a  就 有 2种可 能 , 而a 。 就 应 该 
有 4种可 能 , …… , 日  就 应该 有 2 一  种 可能 . 但 在 具  体 的尝试 过 程 中笔者 发 现 , 由a   一1 , 推得 a   一3或  口 2 一 一1 , 有 2种可 能. 进 一 步推得 n 。 一5 或 a 。 : 一3   或a   一1或 a 。 :1 , 去 除相 同的结 果 , 得 到 3种 不 同   的可 能 , 口 。 一 5或 口 。 = 一3或 a   一1 . 再 进 一 步 推 得  口 4 —7或 a 4 = 一5或 a 4 一一 1或 n 4 — 3或 口 4 — 3或  口   一 一1 , 去 除相 同 的结 果 , 得到 4种不 同的可 能 , a  

的顺序 排 成一 列 , 为5 —2 k , 9 —2 志 , …, 2 k 一3 , 2 走 + 

1 , 是公 差 为 4的等差数 列 ,  
其 中相 同 的项 为 5 —2 k , 9 —2 k , …, 2 志 一3 , 因此  可得 a   +   的不 同可 能 值 按从 小 到 大 的顺 序 排 成 一 
列, 为 1 —2 志 , 5 —2 忌 , …, 2 志 一3 , 2 k +1 , 即3 —2 ( 走 + 
1 ) , 7 —2 ( 是 +1 ) , … , 2 ( 是 十 1 ) 一 5, 2 ( 惫 +1 ) 一1 ,  

容 易判 断这是 首项 为 3 —2 ( 惫 +1 ) , 公 差 为 4的  等差数 列 , 且有 是 +1 项,   所 以  一是 +1时 , 猜想 成立 ;  

综上, 猜 想对 任 意正整 数 卯都 成立 .   进 一步探 究 , 这个结 论究 竟 只是 特例 , 还 是具有 


一7 或a   一 一5 或a   :一1 或a 4 —3 . 因此 a  肯定 没  有2 一   种 不 同的可 能 . 而 事 实 上 在这 个 具 体 的 问 题  中, 口  有 2 种 不 同的 可能 , n 。 有 3 种 不 同的 可 能 ,   有 4种 不 同 的可 能 , 笔 者 不禁 猜 想 : 这里 a  是 否 有 
且 只有  种不 同 的可能值 呢 ?  

般 意义 呢 ?  

只需 改变 首项 为 1这 个条 件 , 将 其 一般 化 为 a  
一  



其他 条 件不变 . 即有 一列 数 a   , a   , …, a   , …, 满 

带 着好 奇 , 笔者将 a   、 a   、 矗 。和 a  的不 同 可 能  值 按从 小 到大 的顺 序 排在 表 1中:  

足 a l —a , 口   = = = a   一 】 + 2或 a   一 一a   一 l ( ” >1 ) , 探 究  a  的不 同可 能值 与上 述情况 有何 不 同.  

类 比上面 的做 法 , 首 先 探 索猜 想 , 将 a   、 口   、 a 。 、  

4 8  

上海 中学 数学 ? 2 0 1 3年 第 5期 
表 3  
n1   n 

a  和 a 。 的不 同表 达式 排在 表 2中 :  
表 2  
a1   口  a2  

q a , ( 1个 )  
n+ d . ( 1个 )   q   a, ( 1个 )  

a 2  

一 a。 口+ 2  

a   n ^  

一a 一 2, 一a + 2, a, n +4  

a 3  
一 口一 4, 一a , 一 a+ 4, a 一2 , a +2 , 口+ 6  

g n + , q n +q d, ( 2个 )  
n+ 2 d. ( 1个 )  
q a 口, ( 1个 )  

a 5   ~a 一6 , 一n 一 2, 一 a+ 2 , ~ a+ 6, n 一 4, a, a +4 , a +8  

q 2  + , q Z a+q d, q Z a+  d, ( 3个 )  

明显可 以看 出 , 上述结 论 只是特例 . 这 里情况虽  变得复 杂 了 , 但 依 旧有规 律可 寻 : 1 . a   ( 走 ≥2 ) 的不 同  表达式 中 , 或是“ a与 常数 的 和” 的形式 , 或是“ 一a  
与常数 的和 ” 的形 式 ; 2 . a   ( 是 ≥2 ) 的不 同表 达式 中 ,  


口4  

q a +2 d, q a+  + , q a +2 q d, ( 3个 )  
a+ 3 d. ( 1个 )  

q   a, ( 1个 )  

q 。 n +  , q 。 矗 +q   , q 。  +q   d , q 。 口 +q 。 d, ( 4 个)  
q   n+ 2  , q 。 n +q  + d, q 2 d+ q 。   + d, q   a+ 2 q d, q   a  
口5  

a与 常数 的 和” 的形式 的数 与“ 一  与常 数 的和 ” 的 

形式 的数个数 相 同 , 都是 (  一1 ) 个; 3 . 口   ( 奄 ≥2 ) 的不 

+q   +q d , q   Ⅱ +2 q 。 d , ( 6个 )  
q a +3 d, q a+ q  + 2  ,   +2   + d, q a +3 q d, ( 4个 )  
口 4 - 4 d. ( 1个 )  

同表达 式 中“ a与常 数 的 和 ” 的形 式 的 数 , 从 小 到 大  排序构 成公 差为 4的等 差数 列 , “ 一a与 常数 的和 ”   的形式 的数 , 从i I ,  ̄ 1 1 大 排 序 也构 成 公 差 为 4的等 差  数列 ; 4 . a   ( 是 ≥2 ) 的不 同表 达式 中 , “ a与 常数 的 和”   的形 式的数 构成 的等 差 数列 的首 项 , 依 其顺 序 构 成  口 +2为首项 , 公差 为 一2的等 差 数 列 ; “ 一a与 常 数  的和” 的形 式 的数 构成 的等差 数列 的首项 , 依其顺 序  构成 ~n为首 项 , 公 差 为 一 2的 等差 数 列. 据此 可 以  
猜想 , a   (   ≥2 ) 的不 同表达 式有 :  
~n 一2  + 4 , 一 a一 2 n+ 8 , … , 一口 +2 n 一8 , 一a   +2  ~ 4, a~ 2  + 6 , 口一 2 n+ 1 0 , …, &+ 2 n一 6 , a+ 

那么 ” 一是 + 1时 , a   +   的 表达 式 中, n的 系数 为  q  的能且 只 能 由递 推式 a   +   一q a  和 a  的 不 同 表 

达式 中,   的系数为 q   的表 达式 递 推 而得 , 因此为 




个, 即  个 , a … 的表达式 中 , a的系 数 为 q  ( 0  

< <是 ) 的表 达 式 , 可 以 由递 推 式 a 女 +   :q a  和 8   的不 同表达 式 中 , &的 系数 为 q 一  的表 达 式 递 推 而  得, 也可 由递 推式 n 抖  一n   +d和 a  的不 同表 达 式  中, a的系数 为 q   的表达 式 递 推 而得 , 因此 有 C l 二  

2  一2等 2 (  一1 ) 个.   类似 的 , 这个 猜想 同样 可 以用 数学 归纳法 证 明 ,   这 里就不 再赘述 . 同时 , 只要 n的取 值 不 是 整数 , 易 
知a   (   ≥2 ) 的2 (   一1 ) 个 不 同表达式 就是 两两 不相 

+C ' l 二   个, 即   一 个. 又因 为 a  的表达 式 中 , a的  系数 为 q 一  的各不相 同 , 因此乘 以 q之 后依 然 各 不  相同, 且不 含 有 单项 式 d; a  的表 达 式 中 , n的系 数  为q   的 也各 不 相 同 , 因此 加 上 d之后 依 然 各 不 相  同, 且含有单项式 d ; 所以 a … 的表 达式 中 , a的系数 为 
( O <m <是 ) 的表达式有 C = } 一 个, 且各不相 同.  
+,

等的 , 即a   (  ≥2 ) 的不 同可 能值 是 2 ( n ~1 ) 个.   那么, 更一般地 , 令 a 1 一a, 口   一q a   一 1 或 a   一  a   一   +  ( n >1 , 且 q ≠0 ) , 那么 a  的不 同 表达 式究 
竟有 多少个 呢? 同样将 a 。 、 a 。 、 a 。 、 a  和 a s 的不 同表  达式 排在 表 3中 :  

的表达式 中, a的系数 为 q p的能且 只能 由递 

推式  +   一a   + 和 a   的不 同表达式中, n的系数为 

的表达式递推而得 , 因此为 C = l 二   个, 即   个.   由此可 知 n   +   的表 达 式 有  +C   + … +C   一  
2   个, 其 中 a的 系 数 相 同 的 表达 式 各 不 相 同 , 而 a   的系 数不相 同 的表 达式 自然也 不相 同 , 因此这 2  个 

观察其 中的规 律 , 可 以 猜想 , a  的 不 同 表 达 式 

有2 一   个, 将 它们 按 口的 系 数 不 同来 分 类 , 系 数 为 
q 一   的这 类有 C一   个, 系数为 q 一   的这 类有 C—   个,  
… …



系数 为 q 。的这 类 有 C : 二   个. 下 面来 证 明这 个 

表 达式各不 相 同。   所 以  一k +1时 , 猜想成 立 ;   综上 , 猜想 对任 意正整数  都 成立 .   即一 般地 , 若a l —a , 且满足 a   一q a   或a ,   一   a   一   + (   >1 , 且  q ≠0 ) , 那么口  的 不 同表 达式 有 

猜想:  

由表 3可知 , 该 猜想对 7 2 一l , 2 , 3 , 4 , 5 都 成立 ;  
假设 —k ( 走 ≥1 ) 时, 猜想 成 立 , 即 a  的不 同表 

达式有 2   个, 将它 们按 a的系数不 同来分类 , 系数  为q 卜  的这类 有  一   个, 系数 为 q 卜  的这类 有 C   一   个, …… , 系数为 q 。 的这类 有 C l 二   个;  

2 一  个. 但当 a 、 q 、 d分别取 具体 数值 时 , 则相 应地 a   的不 同可能值 不一 定 有 2 一   个, 可能随 a 、 q 、 d值 的 
不 同而发生 变化 .  


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