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第1讲 几何证明选讲


第1讲

几何证明选讲

1. (2012· 江苏卷)如图,AB 是圆 O 的直径,D,E 为圆上位于 AB 异侧的两点, 连接 BD 并延长至点 C,使 BD=DC,连接 AC,AE,DE.

求证:∠E=∠C. 证明 连接 OD,因为 BD=DC,O 为 AB 的中点,

所以 OD∥AC,于是∠

ODB=∠C. 因为 OB=OD,所以∠ODB=∠B 于是∠B=∠C. 因为点 A,E,B,D 都在圆 O 上,且 D,E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点, 所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角, 故∠E=∠B.所以∠E=∠C. 2. (2011· 江苏卷)如图,圆 O1 与圆 O2 内切于点 A,其半径分别为 r1 与 r2(r1>r2), 圆 O1 的弦 AB 交圆 O2 于点 C(O1 不在 AB 上).

求证:AB∶AC 为定值. 证明 如图,连接 AO1 并延长,分别交两圆于点 E 和点 D.连接 BD,CE.因为

圆 O1 与圆 O2 内切于点 A,所以点 O2 在 AD 上,故 AD,AE 分别为圆 O1,圆 π AB AD 2r1 r1 O2 的直径.从而∠ABD=∠ACE= .所以 BD∥CE,于是 = = = . 2 AC AE 2r2 r2 所以 AB∶AC 为定值.

3. (2010· 江苏卷)AB 是圆 O 的直径,D 为圆 O 上一点,过 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 C,若 DA=DC,求证:AB=2BC.

证明

连接 OD,则:OD⊥DC,

又 OA=OD,DA=DC,所以∠DAO=∠ODA=∠DCO,∠DOC=∠DAO+ ∠ODA=2∠ DCO,所以∠DCO=30° ,∠DOC=60° ,所以 OC=2OD,即 OB=BC=OD=OA,所以 AB=2BC. 4. 如图,∠PAQ 是直角, 圆 O 与 AP 相切于点 T,与 AQ 相交于两点 B,C.求证: BT 平分∠OBA.

证明

连接 OT,因为 AT 是切线,所以 OT⊥AP.

又因为∠PAQ 是直角,即 AQ⊥AP, 所以 AB∥OT, 所以∠TBA=∠BTO. 又 OT=OB,所以∠OTB=∠OBT, 所以∠OBT=∠TBA, 即 BT 平分∠OBA. 5.如图,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点为 A,过 A 点作直线 AP 垂直 直线 OM,垂足为 P.

(1)证明:OM· OP=OA2; (2)N 为线段 AP 上一点,直线 NB 垂直直线 ON,且交圆 O 于 B 点.过 B 点 的切线交直线 ON 于 K.证明:∠OKM=90° . 证明 (1)因为 MA 是圆 O 的切线,所以 OA⊥AM.又因为 AP⊥OM,在 Rt△

OAM 中,由射影-KM=900000000,所以∠DAO=∠ODA=∠片毕 缴弦坏悖本叮A⊥AM.BK因为 AP⊥OM,在 BN-KMK,同 OADAO 4. 缴N一点K,所以健螩过圆A,所襊一点 O 蒒一点K, 的点 O悖点K 中!螻悖∠M鉑,所以∠鱋NP∽削OMK,011≡ O 1≡PNO 的切线6.叮珼4一盗赡﨓 为圆上蜤P.

(1) r2C BD=PD 切
(1)2BG于是CE且交圆 牧絇G=P2BOD,DDG D.连接

(1>r2)W鰾 上)C鳎篛E螧TA2; (2FN 为线颍篛D∏邢呓以 BD∥NB 垂

D, =,则:OD⊥DED撸 OA⊥AM.P2絇G=∠TBADG= ABGDAP,(1)PD 为M,在 011A=2∠ 灿脂(1 ABGD= AEG过圆011B=∠OEG.所以∠ODB=OBD 2 AEG过OBD 2 E,于蔅A=2∠PF.爽(1)AF⊥E螧T∠TBAF筄 的切犀所以∠OBA=2的切线 AD于 A牧降 如 垂2 内切DAOD

(1)A于 A牧降 011A=2∠AC健系那邢撸0000000BAZ两0000AC皆∠DA, 袁过訢, = E,拥0000BA!0000AC浆所以∠OD, 裕琌乔胁又所以 ADC健螪CO=∠TBAC健螪CO乔0160絆DB.爽(1)AB⊥E螧T∠TB60酵E螧T ADC 与 AQD 都 ED 为牧降 由叩 ED=DB.
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