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第1讲 几何证明选讲


第1讲

几何证明选讲

1. (2012· 江苏卷)如图,AB 是圆 O 的直径,D,E 为圆上位于 AB 异侧的两点, 连接 BD 并延长至点 C,使 BD=DC,连接 AC,AE,DE.

求证:∠E=∠C. 证明 连接 OD,因为 BD=DC,O 为 AB 的中点,

所以 OD∥AC,于是∠

ODB=∠C. 因为 OB=OD,所以∠ODB=∠B 于是∠B=∠C. 因为点 A,E,B,D 都在圆 O 上,且 D,E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点, 所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角, 故∠E=∠B.所以∠E=∠C. 2. (2011· 江苏卷)如图,圆 O1 与圆 O2 内切于点 A,其半径分别为 r1 与 r2(r1>r2), 圆 O1 的弦 AB 交圆 O2 于点 C(O1 不在 AB 上).

求证:AB∶AC 为定值. 证明 如图,连接 AO1 并延长,分别交两圆于点 E 和点 D.连接 BD,CE.因为

圆 O1 与圆 O2 内切于点 A,所以点 O2 在 AD 上,故 AD,AE 分别为圆 O1,圆 π AB AD 2r1 r1 O2 的直径.从而∠ABD=∠ACE= .所以 BD∥CE,于是 = = = . 2 AC AE 2r2 r2 所以 AB∶AC 为定值.

3. (2010· 江苏卷)AB 是圆 O 的直径,D 为圆 O 上一点,过 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 C,若 DA=DC,求证:AB=2BC.

证明

连接 OD,则:OD⊥DC,

又 OA=OD,DA=DC,所以∠DAO=∠ODA=∠DCO,∠DOC=∠DAO+ ∠ODA=2∠ DCO,所以∠DCO=30° ,∠DOC=60° ,所以 OC=2OD,即 OB=BC=OD=OA,所以 AB=2BC. 4. 如图,∠PAQ 是直角, 圆 O 与 AP 相切于点 T,与 AQ 相交于两点 B,C.求证: BT 平分∠OBA.

证明

连接 OT,因为 AT 是切线,所以 OT⊥AP.

又因为∠PAQ 是直角,即 AQ⊥AP, 所以 AB∥OT, 所以∠TBA=∠BTO. 又 OT=OB,所以∠OTB=∠OBT, 所以∠OBT=∠TBA, 即 BT 平分∠OBA. 5.如图,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点为 A,过 A 点作直线 AP 垂直 直线 OM,垂足为 P.

(1)证明:OM· OP=OA2; (2)N 为线段 AP 上一点,直线 NB 垂直直线 ON,且交圆 O 于 B 点.过 B 点 的切线交直线 ON 于 K.证明:∠OKM=90° . 证明 (1)因为 MA 是圆 O 的切线,所以 OA⊥AM.又因为 AP⊥OM,在 Rt△

OAM 中,由射影定理知,OA2=OM· OP. (2)因为 BK 是圆 O 的切线,BN⊥OK,同(1),有 OB2=ON· OK,又 OB=OA, 所以 OP· OM=ON· OK, ON OM 即OP= OK .又∠NOP=∠MOK, 所以△ONP∽△OMK,故∠OKM=∠OPN=90° . 6.(2014· 辽宁卷)如图,EP 交圆于 E,C 两点,PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点且 PG=PD,连接 DG 并延长交圆于点 A,作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F.

(1)求证:AB 为圆的直径; (2)若 AC=BD,求证:AB=ED. 证明 (1)因为 PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.

由于 PD 为切线,故∠PDA=∠DBA, 又由于∠PGD=∠EGA, 故∠DBA=∠EGA. 所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD, 从而∠BDA=∠PFA. 由于 AF⊥EP,所以∠PFA=90° ,于是∠BDA=90° . 故 AB 是直径.

(2)连接 BC,DC.

由于 AB 是直径,故∠BDA=∠ACB=90° . 在 Rt△BDA 与 Rt△ACB 中,AB=BA,AC=BD, 从而 Rt△BDA≌Rt△ACB,于是∠DAB=∠CBA. 又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA, 故 DC∥AB. 由于 AB⊥EP,所以 DC⊥EP,∠DCE 为直角. 于是 ED 为直径.由(1)得 ED=AB.


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