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《3.7第七节 正弦定理和余弦定理》 教案


正弦定理和余弦定理
适用学科 适用区域 数学 新课标 使用正弦定理要注意的问题 解的个数问题 已知两边和其中一边的对角问题 已知两角一边问题 三角形的面积公式 使用余弦定理要注意的问题 已知两边与夹角问题 已知三边问题 正、余弦定理的综合运用 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 1、正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用; 2、在已知三角形的两

边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形; 3、三角形各种类型的判定方法 正、余弦定理的灵活应用 适用年级 课时时长 高三 60 分钟

知 识 点

教学目标 教学重点 教学难点

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教学过程
课堂导入 三角形是最基本的几何图形.三角形中的数量关系,有着极其广泛的应用.在初中,我们已经能够借助于锐角三角 函数解决有关直角三角形的测量问题.在实际工作中,我们还会遇到许多其它的测量问题,这些仅用锐角三角函数就不 够了.如: 1.怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离? 2.怎样测量底部不可到达的建筑物的高度? 3.怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度? 4.怎样测出海上航行的轮船的航速和航向? 5.怎样确定航向,才能在航速一定的情况下,尽快与一运动的物体(如轮船)相遇?等等. 研究这些问题显然需要明白三角形中的边长与角度之间的数量关系,那么本次课我们就来发现并掌握三角形中的边 长与角度之间的数量关系,并将它们融入已有的知识体系.

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复习预习 回忆在三角函数中学过的公式 A. 三角函数诱导公式: B. 三角函数的两角和或差公式: C. 三角函数的二倍角公式: D. 三角函数的辅助角公式:

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知识讲解 考点 1 正弦定理和余弦定理 定理 内容 正弦定理 a b c = = =2R sin A sin B sin C ①a=2Rsin A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C a b c ②sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R(其中 R 是 变形形式 △ABC 外接圆半径) ③a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C ④asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A 解决三角 形的问题 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A ;b2=a2+c2- 2accos_B ;c2=a2+b2-2abcos_C b2+c2-a2 cos A= 2bc cos B= a2+c2-b2 2ac

a2+b2-c2 cos C= 2ab

①已知两角和任一边,求另一角和其他两条边. ①已知三边,求各角; ②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他 ②已知两边和它们的夹角,求第三边 两角. 和其他两个角

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考点 2

在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况 A 为锐角 图形 关系式 解的个数 a=bsin A 一解 bsin A<a<b 两解 a≥b 一解 a>b 一解 a≤b 无解 A 为钝角或直角

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例题精析 【例题 1】 【题干】在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 (1)求 sin C 的值; sin A cos A-2cos C 2c-a = b . cos B

1 (2)若 cos B=4,△ABC 的周长为 5,求 b 的长.

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【解析】(1)由正弦定理,设

a b c = = =k, sin A sin B sin C

2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A 则 b = = , ksin B sin B 所以 cos A-2cos C 2sin C-sin A = , cos B sin B

即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). sin C 又因为 A+B+C=π,所以 sin C=2sin A.因此sin A=2. sin C 1 (2)由 sin A=2 得 c=2a.由余弦定理及 cos B=4得 1 b2=a2+c2-2accos B=a2+4a2-4a2×4=4a2. 所以 b=2a.又 a+b+c=5,从而 a=1.因此 b=2.

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【例题 2】 【题干】在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状.

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【解析】∵2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C, 得 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即 bc=b2+c2-a2, b2+c2-a2 1 ∴cos A= 2bc =2,∴A=60° . (2)∵A+B+C=180° , ∴B+C=180° -60° =120° . 由 sin B+sin C= 3,得 sin B+sin(120° -B)= 3, ∴sin B+sin 120° cos B-cos 120° sin B= 3. 3 3 ∴2sin B+ 2 cos B= 3,即 sin(B+30° )=1. 又∵0° <B<120° ,30° <B+30° <150° , ∴B+30° =90° ,即 B=60° . ∴A=B=C=60° ,∴△ABC 为正三角形.

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【例题 3】 【题干】已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acos C+ 3asin C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.

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【解析】(1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 及正弦定理得 sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为 B=π-A-C,所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. π? 1 ? 由于 sin C≠0,所以 sin?A-6?=2. ? ? π 又 0<A<π,故 A=3. 1 (2)△ABC 的面积 S=2bcsin A= 3,故 bc=4. 而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2.

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【例题 4】 π ?π ? 【题干】(2012· 江西高考)(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 A=4,bsin?4+C? ? ? ?π ? -csin?4+B?=a. ? ? π (1)求证:B-C=2; (2)若 a= 2,求△ABC 的面积.

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?π ? ?π ? ?π ? ?π ? 【解析】(1)证明:由 bsin?4+C?-csin?4+B?=a,应用正弦定理,得 sin Bsin?4+C?-sin Csin?4+B?=sin A,sin ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 ? 2 B? sin C+ cos C?-sin C 2 sin B+ 2 cos B= 2 ,?(3 分) 2 ?2 ? 整理得 sin Bcos C-cos Bsin C=1,即 sin(B-C)=1,?(5 分) 3 π 由于 0<B,C<4π,从而 B-C=2.?(6 分) 3π 5π π (2)B+C=π-A= 4 ,因此 B= 8 ,C=8.?(8 分) π asin B 5π 由 a= 2,A= ,得 b= =2sin , 4 sin A 8 asin C π c= sin A =2sin 8,?(10 分) 1 5π π π π 1 所以△ABC 的面积 S=2bcsin A= 2sin 8 sin8= 2cos8sin8=2.?(12 分)

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课堂运用 【基础】 1.(2012· 上海高考)在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是( A.钝角三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.不能确定 )

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a2+b2-c2 解析:选 A 由正弦定理得 a +b <c ,故 cos C= 2ab <0,所以 C 为钝角.
2 2 2

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2.在△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60° ,则 BC 边上的高等于( 3 A. 2 C. 3+ 6 2 3 3 B. 2 D. 3+ 39 4

)

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解析:选 B 由余弦定理得:( 7)2=22+AB2-2× 2AB· cos 60° ,即 AB2-2AB-3=0,得 AB=3,故 BC 边上的高是 3 3 ABsin 60° = 2 .

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3.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 8b=5c,C=2B,则 cos C=( 7 A.25 7 C .± 25 7 B.-25 24 D.25

)

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解析:选 A 由 C=2B 得 sin C=sin 2B=2sin Bcos B,由正弦定理及 8b=5c 得 cos B= 7 ?4?2 ?5? -1= . =cos 2B=2cos2 B-1=2× 25 ? ?

sin C c 4 = = ,所以 cos C 2 sin B 2b 5

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【巩固】 4.(2012· 福建高考)已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列,则其最大角的余弦值为________.

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解析:依题意得,△ABC 的三边长分别为 a, 2a,2a(a>0),则最大边 2a 所对的角的余弦值为 2 答案:- 4

a2+ 2a2- a2 2a· 2a

2 =- 4 .

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5.在△ABC 中,D 为边 BC 的中点,AB=2,AC=1,∠BAD=30° ,则 AD 的长度为________.

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解析:延长 AD 到 M,使得 DM=AD,连接 BM、MC,则四边形 ABMC 是平行四边形.在△ABM 中,由余弦定理 3 得 BM2=AB2+AM2-2AB· AM· cos∠BAM,即 12=22+AM2-2· 2· AM· cos 30° ,解得 AM= 3,所以 AD= 2 . 3 答案: 2

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【拔高】 A 6.已知 A、B、C 为△ABC 的三个内角,其所对的边分别为 a、b、c,且 2cos2 2 +cos A=0. (1)求角 A 的值; (2)若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积.

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A 解:(1)由 2cos2 +cos A=0,得 1+cos A+cos A=0, 2 1 2π 即 cos A=-2,∵0<A<π,∴A= 3 . (2)由余弦定理得, 2π a2=b2+c2-2bccos A,A= 3 , 则 a2=(b+c)2-bc,又 a=2 3,b+c=4, 有 12=42-bc,则 bc=4, 1 故 S△ABC=2bcsin A= 3.

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7.(2012· 江苏高考)在△ABC 中,已知 AB · AC =3 BA · BC . (1)求证:tan B=3tan A; 5 (2)若 cos C= 5 ,求 A 的值.

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解:(1)因为 AB · AC· cos A=3BA· BC· cos B,即 AC· cos A=3BC· cos B, AC =3 BA · BC ,所以 AB· AC BC 由正弦定理知sin B=sin A,从而 sin Bcos A=3sin Acos B, 又因为 0<A+B<π,所以 cos A>0,cos B>0,所以 tan B=3tan A. 5 (2)因为 cos C= 5 ,0<C<π,所以 sin C= 2 5 1-cos2C= 5 ,

从而 tan C=2,于是 tan[π-(A+B)]=2,即 tan(A+B)=-2, 亦即 tan A+tan B 1-tan Atan B =-2.由(1)得 4tan A =-2, 1-3tan2A

1 解得 tan A=1 或-3, π 因为 cos A>0,故 tan A=1,所以 A=4.

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课程小结
(1) 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在 △ ABC 中, A>B?a>b?sin A>sin B. (2)在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下: A 为锐角 A 为钝角 或直角

图形 关系式 解的个数 a=bsin A 一解 bsin A<a<b 两解 a≥b 一解 a>b 一解

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第3章 第7节 正弦定理和余弦定理

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