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等腰三角形一道习题的再探究

时间:2014-10-26


等腰三角形一道习题的再探究

湖北省安陆市棠棣镇百花中学 沈家权 吕国瑕 题目:如图 1,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC, D 是底边 BC 的中点,D 到两腰 AB, AC 的距离为 h ,h ,△ABC 腰上的高为 h,则 h +h =h。

图1

图2

图3

证明留给读者,若我们再变换图形和条件,进行结论探究,该题有很大的空间。 一:变换条件 把条件 BC 的中点 D 作如下变换: 1. 如图 2 ,当 D 为 BC 边上任意一点时,结论 h +h =h 仍然成立。

即等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于其腰上的高。

证明过程如下:连接 AD,S

=

AB×h ,S



AB×h , S

=

AC×h ,

S

= S

+S

, 所以

AB×h=

AB×h +

AC×h

,AB=AC 。

因此:h +h =h 2. 如图 3,当 D 为 BC 边延长线上任意一点时,结论 h +h =h 不成立。 结论为:h -h =h。 即等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差的结对值等于其腰上的高。

证明过程如下:连接 AD,S

=

AB×h ,S



AB×h , S

=

AC×h ,

S

= S

- S

, 所以

AB×h=

AB×h -

AC×h

,AB=AC 。

因此:h -h =h 。

二:变换图形 把等腰三角形变为等边三角形。 题目:如图 4,已知等边三角形 ABC 中和点 D, D 到△ABC 的三边 AB, AC ,BC 的距 离分别为 h ,h ,h ,△ABC 的高为 h,若点 D 在△ABC 的一边 BC 上,如图 4 所示, 此时 h =0,可得结论:h +h +h =h。 即等边三角形边上一点到三边的距离之和等于等边三角形的高长。 1. 当点 D 在△ABC 内部时,如图 5 所示,结论 h +h +h =h 仍然成立 。

即等边三角形内一点到三边的距离之和等于等边三角形的高长。 2. 当点 D 在△ABC 内部时,如图 6 所示,结论 h +h +h =h 不成立 。

结论为 h +h -h =h 。 证明过程同上,连接 AD,用三角形的面积证明即可。

如图 4

如图 5

如图 6


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