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山东省济南市2013届高三5月针对性训练理科数学试题 word版


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山东省济南市 2013 届高三 5 月针对性训练 理 科 数 学
本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页. 考试时间 120 分钟。满分 150 分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类 写在答题卡和试卷规定的位

置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答案不能答在试卷上. 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置,不 能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用 涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第 I 卷(选择题
是符合题目要求的.

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一项

1. 已知全集 U ? R , 集合 A ? x | x ? 1, x ? Z , B ? x | x 2 ? 2 x ? 0 ,则图中的阴影部分表 示的集合为 A. ?? 1? B. ?2? C. ? ,2? 1 D. ?0,2?
(第 1 题图)

?

?

?

?

2.已知复数 z1 ? 1 ? i, z2 ?

???? ???? OP、 2 所成的角为 1 OP
A.

1 在复平面内对应的点分别为 P、P , O 为坐标原点,则向量 1 2 1? i

?
6

B.

?
4

C.

? 3

D.

? 2

3.“ ? ?

?
4

”是“函数 y ? sin( x ? 2? ) 是偶函数”的 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

A.充要条件

4.已知 f ( x) ? ?

? 3 sin ? x ? ? f ( x ? 1) ? 1 ?
B. ?

2 x?0 ,则 f ( ) 的值为 3 x?0

A.

1 2

1 2

C. 1

D. ?1

5.已知 ? ~ N (3, ? 2 ) ,若 P(? ? 2) ? 0.2 ,则 P(? ? 4)等于 A. 0 .2 B. 0.3 C. 0 .7 D. 0.8

6.执行如图所示的程序框图,输出的 S 是 A.10 B.15 C.20 D.35

? x ? y ? 2 ≤ 0, y ? 7.变量 x, y 满足 ? x ≥ 1, 则 的取值范围是 ? x ? y ? 7 ≤ 0, x ?
A. [ , 6]

9 5

B. (??, ] ? [6, ??)

9 5

C. [ , 3]

9 5

D. [3, 6]
(第 6 题图)

8. 函数 y ?

? ? x , x ? (? , 0) ? (0, ) 的图象可能是下列图象中的 2 2 sin(2 x)

9.九个人排成三行三列的方阵,从中任选三人,则至少有两人位于同行或同列的概率为 A.

3 7

B.

4 7

C.

1 14

D.

13 14

10.已知实数 4, m ,1 构成一个等比数列,则圆锥曲线

x2 ? y 2 ? 1 的离心率为 m
D. 或3

A.

2 2

B. 3

C.

2 或 3 2
?

1 2

11. 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 60 . 如图所示,点 C 在以 O 为 圆心的圆弧 上变动. 若 OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则 x ? 2 y 的最大值是

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

A.2

B.

2 3 3

C.1

D. 3

12. 给出定义:若 x ? (m ?

1 1 , m ? ] (其中 m 为整数),则 m 叫做与实数 x “亲密的整数”, 记作 2 2

{x} ? m , 在 此 基础 上 给出 下 列关于 函 数 f ( x) ? x ? {x} 的 四 个命 题 :①函数 y ? f ( x) 在

函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? x ? (0,1) 上是增函数;②

k (k ? Z ) 对称;③ 函数 y ? f ( x) 2

是周期函数,最小正周期为 1;④ x ? (0, 2] 时,函数 g ( x) ? f ( x) ? ln x 有两个零点. 其中 当 正确命题的序号是____________. A. ② ④ ③ B.② ③ C.① ②

D.② ④

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)
. .

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 若 ?ABC的面积为 3 , BC ? 2, C ? 60O ,则边长 AB 的长度等于 14.若直线 ?x ? y ? a ? ? 过圆 x? ? y ? ? ? x ? ? y ? ? 的圆心,则 a 的值为

15. 已 知 三 棱 柱 ABC? A B C的 侧 棱 垂直 底 面 , 所 有 顶 点都 在球 面 上 , AB ? AA1 ? 2, 1 1 1

AC ? 1, ?BAC ? 600 ,则球的表面积为
16.已知 x ? 0 ,有下列不等式成立: x ?

.

1 1 4 x x 4 ? 2 x ? ? 2, x ? 2 ? 3 ? ? 2 ? 3 x x x 2 2 x
.

?x ?

a ? n ? 1,据此归纳,则 a ? xn

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.(本题满分 12 分) 函数 f ? x ? ? 6 cos 2

?x
2

? 3 sin ?x ? 3?? ? 0 ? 在一个周期内的图像如图所示,A 为图像的最

高点,B,C 为图像与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形. (1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)求函数 f ? x ? 的单调递增区间和对称中心.
x
B O C

y
A

(第 17 题图)

18.(本题满分 12 分) 某食品店每天以每瓶 2 元的价格从厂家购进一种酸奶若干瓶, 然后以每瓶 3 元的价格出售, 如果当天卖不完,余下的酸奶变质作垃圾处理。 (1) 若食品店一天购进 170 瓶, 求当天销售酸奶的利润 y (单位: 关于当天的需求量 n(单 元) n ? N )的函数解析式; 位:瓶, (2)根据市场调查,100 天的酸奶的日需求量(单位:瓶)数据整理如下表: 日需求量 n 天数 150 17 160 23 170 23 180 14 190 13 200 10

若以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 食品店一天购进 170 瓶酸奶,X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列和数学期望 E ( X ) .

19.(本题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且对任意正整数 n ,点 ?an?1 , S n ? 在 3x ? 2 y ? 3 ? 0 直线上. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)是否存在实数 ? ,使得数列 ?Sn ? ? ? n ? 值;若不存在,则说明理由. 20.(本题满分 12 分) 如图:四边形 ABCD 是梯形, AB / / CD , AD ? CD ,三角形 ADE 是等边三角形,且平面

? ?

? 为等差数列?若存在,求出 ? 的 3n ?

??

??? 2 ??? ? ? EF / / AB , CD ? 2 AB ? 2 AD ? 2 EF ? 4 , CG ? CF 3 (1)求证: AF / / 平面 BDG ; (2)求二面角 C ? BD ? G 的余弦值.
21.(本题满分 13 分)

ABCD ? 平面 ADE ,

E D

F

G C

A

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的两个焦点 F1 , F2 和上下两个顶点 B1 , B2 是一个边长 a b
为 2 且∠ 1B1F2 为 60 的菱形的四个顶点. F (1)求椭圆 C 的方程; (2)过右焦点 F2 斜率为 k ( k ? 0 )的直线 l 与椭圆 C 相交于 E , F 两点,A 为椭圆的右顶点, 直线 AE , 线段 MN 的中点为 P , 记直线 PF2 的斜率为 k ? . AF 分别交直线 x ? 3 于点 M , N , 求证: k ? k ? 为定值. 22.(本题满分 13 分)
?

(第 20 题图)

B

设函数 f ? x ? ? ? x ? 1? ln x ? 2x (1)求函数 f (x ) 的单调区间; (2)设 h ? x ? ? f ' ? x ? ?

1 ,若 h ? x ? ? k ? k ? z ? 恒成立,求 k 的最大值. ex

2013 年 5 月高三针对训练

理科数学参考答案
一、选择题(每题 5 分,满分 60 分) 1.B 2.D 3.B 4.B 5.D 6.D 7.A 8.D 二、填空题(每题 4 分,满分 16 分) 13. 2 14. 1 15. 9.D 10.C 11.A 12.A

8?

16.

nn

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. 解: f ? x ? ? 3 cos ?x ? 3 sin ?x ----------------------------------------------2 分

?? ? f ? x ? ? 2 3 sin ? ?x ? ? ------------------------------------------------------3 分 3? ?
又 ?ABC 为 正 三 角 形 , 且 高 为 2 3 , 则 BC=4. 所 以 函 数 f ? x ? 的 最 小 正 周 期 为 8, 即
2?

?

? 8, ? ?

? --------------------------------------------------------------5 分
4

?? ?? f ? x ? ? 2 3 sin ? x ? ? .------------------------------------------------------6 分 3? ?4

(2) 由 2k? ? 解

?
2

?

?
4

x?

?
3

? 2k? ?

?
2

,k ?Z ,
得 ………………………………………………8 分

8k ?

1 ? x ? k ? k ?Z . 3 3

0

8

所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [k 8 ? 由

10 2 ,8k ? ](k ? Z ) ---------------------9 分 3 3 4 ,k ?Z 3
--------------------11 分

?
4

x?

?
3

? k? , k ? Z

,得 x ? 4k ?

所以对称中心为 (4k ?

4 , 0)k ? Z ---------------------------------------12 分 3

18.解: (1)

?n ? 2 ?170 ? n ? ? y?? ? 170 ?

(0 ? n ? 170) ? n ? 170 ?

-

?3n ? 340 (0 ? n ? 170) y= ? 170 ? n ? 170 ? ?
(2)X 可取 110,140,170.

-------------------------------------------4 分

X
P

110 0.17

140 0.23

170 0.6

-----------------------------------------------9 分

EX ? 0.17 ?110 ? 0.23 ?140 ? 0.6 ?170 ? 152.9 ------------------------12 分
19.解:(1)由题意可得:

3an?1 ? 2Sn ? 3 ? 0
n ? 2 时,

① ② ????????????1 分

3an ? 2Sn?1 ? 3 ? 0

①─②得 3an?1 ? 3an ? 2an ? 0 ,

an?1 1 ? (n ? 2) , an 3
a1 ? 1,3a2 ? a1 ? 3 ? 0,? a2 ? 1 3

????????????4 分

???????????5 分 ???????? 6 分

1 1 ? ?an ? 是首项为 1 ,公比为 的等比数列,? an ? ( ) n ?1 3 3

1 3[1 ? ( )n ] 3 (2)由(1)知 Sn ? 2
若 ? Sn ? ? ? n ?

??????????8 分

? ?

? 为等差数列, 3n ?

??

S1 ? ? ? ?

?
3

S2 ? ? ? 2 ?

?
3
2

S3 ? ? ? 3 ?

?
33

则成等差数列,

????????10 分

2( S2 ?
又? ?

19 4 82 ? ) ? S1 ? ? ? S3 ? ? , 得 9 3 27

??

3 2

3 3 3 3( n ? 1) ? 3(n ? 1) ? ? 时, S n ? ? n ? ,显然 ? ? 成等差数列, n 2 2 2?3 2 ? 2 ?

故存在实数 ? ? 20. 解

?? ? 3 ,使得数列 ?Sn ? ? ? n ? n ? 成等差数列. ????????12 分 3 ? ? 2
1 ) 连 接

: (

AC



BD



H







GH --------------------------------------------------------1 分

?

AB 1 ? CD 2

E D

F

G C

H

A

B

?

AH 1 CH 2 即? ? ? CH 2 AC 3 CH CG ? ? ?2 AH GF

? GH / / AF -------------------------------------3 分

? GH ? 平面 BDG

AF 不在平面 BDG
? AF / / 平面 BDG --------------------------5 分
(2) 如图建立空间坐标系,

? B(2, 2, 0), C (0, 4, 0), F (1, 2, 3)
??? 2 ??? ? ? 2 4 2 3 ? CG ? CF ? ( , ? , ) 3 3 3 3 ???? ???? ??? ? 2 4 2 3 2 8 2 3 ? DG ? DC ? CG ? (0, 4, 0) ? ( , ? , )?( , , ) 3 3 3 3 3 3 ??? ? ? DB ? (2, 2, 0) ----------------------------------------------------8 分
设平面 BDG 的法向量为 n1 ? ( x, y,1)

??

??? ?? ? ? DB ? n1 ? 0 ? ? ? ???? ?? ? DG ? n1 ? 0 ?

?? 3 3 ? n1 ? ( , ? ,1) 3 3
-----------------------------------------10 分 设平面 BDC 的法向量为 n2 , n2 ? (0, 0,1)

-

?? ?

?? ?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 15 ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? ? ? 5 5 n1 ? n2 3
所以二面角 C ? BD ? G 的余弦值为

15 . - --------------------------------12 分 5
------------------------------2 分

21. 解: (1)由条件知 a=2,b= 3 ,

故所求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

-------------------------------------4 分

(2)设过点 P(1,0)的直线 l 方程为: y ? k ( x ? 1) ,设点 E(x1,y1),点 F(x2,y2), --5 分 将直线 l 方程 y ? k ( x ? 1) 代入椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1, 4 3

整理得: (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,-----------------------------6 分 因 为点 P 在 椭圆 内, 所以 直线 l 和 椭 圆都 相交 , ??0 恒 成立,且

x1 ? x 2 ?

8k 2 , 4k 2 ? 3

x1 x 2 ?

4k 2 ? 12 . 4k 2 ? 3

----------------------------------7 分

直线 AE 的方程为: y ?

y1 y2 ( x ? 2) ,直线 AF 的方程为: y ? ( x ? 2) ,令 x=3, x1 ? 2 x2 ? 2

得点 M (3,

y y1 y 1 y ) , N (3, 2 ) ,所以点 P 的坐标 (3, ( 1 ? 2 )) . -----9 分 x1 ? 2 x2 ? 2 2 x1 ? 2 x2 ? 2

y2 1 y1 ( ? )?0 2 x1 ? 2 x2 ? 2 y2 1 y / 直线 PF2 的斜率为 k ? ? ( 1 ? ) 3 ?1 4 x1 ? 2 x2 ? 2
? 1 y2 x1 ? x2 y1 ? 2( y1 ? y2 ) 1 2kx1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 4k .--------------11 分 ? ? ? 4 x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 4 x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4
4k 2 ? 12 x1 x 2 ? 代入上式得: 4k 2 ? 3

8k 2 , 将 x1 ? x 2 ? 4k 2 ? 3

4k 2 ? 12 8k 2 2? ? 3k ? 2 ? 4k 1 3 4k 2 ? 3 4k ? 3 k/ ? ? ?? . 2 2 4k ? 12 8k 4 4k ? 2? 2 2 4k ? 3 4k ? 3 3 所以 k ? k ? 为定值 ? . -------------------------------------13 分 4
22. 解: (1)函数的定义域 x ? 0

f ' ? x ? ? ln x ?

1 ?1 x

---------------------------------1 分

不妨令 g ? x ? ? ln x ?

1 1 1 x ?1 ?1 , g? ? x ? ? ? 2 ? 2 x x x x

x ? 1, g ' ? x ? ? 0, 函数 g ( x) ? f ?( x) 递增,又因为 g ?1? ? f ?(1) ? 0,

所以 x ? 1, f ' ? x ? ? 0, f ? x ? 单增 .

-----------------------------------3 分

0 ? x ? 1, g ' ? x ? ? 0, g( x) ? f ' ? x ? 单减, f ' ? x ? ? f ' ?1? ? 0 ,函数 f ? x ? 单增 -------5 分
所以函数 y ? f ? x ? 在 ? 0,??? 上递增 ---- ----------------------------------6 分 (2) h ? x ? ? ln x ?

1 1 1 1 1 xe x ? e x ? x 2 ?1 ? x , h ' ? x ? ? ? 2 ? x ? x e x x e x 2e x

x x 2 x x 设 ? ? x ? ? xe ? e ? x , ? ' ? x ? ? xe ? 2 x ? x e ? 2 ----------------------7 分

?

?

x ?? 0,ln 2? ,? ' ? x ? ? 0,? ? x ? 单减,? ? x ? ? ? ? 0? ? ?1 ? 0 h ' ? x ? ? 0, h ? x ? 单减.
x ?? ln 2, ??? ,? ' ? x ? ? 0,? ? x ? 单增, ? ? x ? ? ? ? ln 2 ? ? 2 ln 2 ? 2 ? ? ln 2 ?
又 ? ?1? ? ?1 ? 0, ? ? 2? ? e ? 4 ? 0 存在 x0 ? ?1, 2? , 使得 ? ? x ? ? 0,
2
2

在 ? 0, x0 ? 上,? ? x ? ? 0, 在? x0 , ??? 上,? ? x ? ? 0

h ? x ? 在 ? 0, x0 ? 上递减,在? x0 , ??? 上递增
----------------------------------10 分 又

1 1 2 1 1 1 1 ? ? 2 ,所以 h ? x ? ? h ? x0 ? ? ln x0 ? ? 1 ? x0 ? ln x0 ? ? 2 ? 1 x0 x0 e x0 x0 e x0 x0
2 1 ? ?1 x x2 2 1 1 2 2 ? 2 ? 1)? ? ? 2 ? 3 x x x x x

不妨令 M ( x) ? ln x ?

当 x ? ?1, 2? 时, M ?( x) ? (ln x ?

M ?( x) ?

1 2 2 1 (1 ? ? 2 ) ? 0 , M ( x) ? 0 是单增函数,又 M (1) ? 0 , M (2) ? ln 2 ? ? 1 x x x 4

1> h( x0 ) ? ln x0 ?

2 1 ? 2 ?1 ? 0 x0 x0

---------------------12 分

所以 k ? 0 ,所以 k 的最大值为 0 .

--------------------13 分


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