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04高考数学模拟题(四)


高考数学模拟题(四)
一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分,不需要写出解答过程,请把答 案写在答题卡相应位置上。 1.已知集合 M={1,2,3},集合 N={x∣x=- a , a ∈M},则集合 M ? N ? ___ . 2.若 a 2 ? a ? (3a ? 1)i ? 2 ? 5i,其中i 是虚数单位,则实数 a 的值范围是 3.若

命题“ ?x ? R , x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 ”是假命题,则实数 a 的取值 范围是 . .

4.某地区在连续 7 天中,新增某种流感的数据分别是 4,2,1,0,0,0,0,则这 组数据的方差 s ?
2

. 的值域是 .

5.函数 y ? ( )

1 2

1? x

x x sin cos 1 2 2 则f ( ? ) 的值为 6.已知函数 f ( x) ? ? x 2 tan x 8 2 cos2 ? 1 2 7.右图是一个算法的流程图最后输出的 n ? .
8.在平行四边形 ABCD中, 已知



AB ? 2, AD ? 1, ?DAB ? 60? , M为AB 的中点, P 在 点 点 BC与CD 上 运 动 ( 包 括 端 点 ) 则 AP? DM 的 取 值 范 围 ,
是 9.已知 cos .

?
3

?

1 ? 2? 1 ? 2? 3? 1 , cos cos ? , cos cos cos ? ,? ,根据这些结果,猜想 2 5 5 4 7 7 7 8
. . .

出的一般结论是

10.曲线 y ? xe x ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为 11.若 a, b, c >0,且 a 2 ? ab ? ac ? bc ? 4, 则2a ? b ? c 的最小值为 12.已知数列{ an }满足 a1 ? 1, a 2 ? 2, a n ? 2 ? (1 ? cos 20 项的和为 .
2

n? n? )a n ? sin 2 ,则该数列的前 2 2

13.设 x ? R,f ( x ) ? ( ) , 若不等式 f ( x) ? f (2 x) ? k 对于任意的 x ? R 恒成立,则实数
x

1 2

k 的取值范围是



1 1 14.给出定义:若 m ? ? x ? m ? (其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数, 2 2

1

记作{x},即 {x} ? m .在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? {x} 的四个命题: ①函数 y ? f (x) 的定义域是 R,值域是 ?0, ? ; 2 ②函数 y ? f (x) 的图像关于直线 x ?

? 1? ? ?

k (k ? Z ) 对称; 2

③函数 y ? f (x) 是周期函数,最小正周期是 1; ④函数 y ? f (x) 在 ?? 则其中真命题是

? 1 1? , 上是增函数. ? 2 2? ?


二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

( ,?), 2? ? ? cos 已知 ? ? (0, ),? ? 2 2
(Ⅰ)求 cos? 的值; (Ⅱ)求 sin ? 的值.

?

?

7 7 , sin(? ? ? ) ? . 9 9

16. (本小题满分 14 分) 设不等式组 ?

?0 ? x ? 6 ?0 ? x ? 6 表示的区域为 A,不等式组 ? 表示的区域为 B,在区域 A ?0 ? y ? 6 ?x ? y ? 0

中任意取一点 P( x, y ) . (Ⅰ)求点 P 落在区域 B 中概率; (Ⅱ)若 x, y 分别表示甲、乙两人各掷一次正方体骰子向上的面所得的点数,求点 P 落在 区域 B 中的概率.

2

17. (本小题满分 14 分) 设 ?ABC 的 三 个 内 角 A、B、C 所 对 的 边 分 别 为 a、b、c , 且 满 足

(2a ? c)BC ? BA ? cCA ? CB ? 0 .
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b ? 2 3 ,试求 AB ? CB 的最小值.

18. (本小题满分 16 分) 经市场调查,某超市的一种小商品在过去的 20 天内的日销售量(件)与价格(元)均为时 间 t ( 天 ) 的 函 数 , 且 日 销 售 量 近 似 满 足 g (t ) ? 80 ? 2t ( 件 ) 价 格 近 似 满 足 ,

f (t ) ? 20 ?

1 t ? 10 (元) . 2

(Ⅰ)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t (0 ? t ? 20) 的函数表达式; (Ⅱ)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值.

3

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ?

1 ,点 ?n, n?1 ? an ? n ? N ? 在直线 y ? x 上. 2a 2

?

?

(Ⅰ)计算 a 2 , a3 , a 4 的值; (Ⅱ)令 bn ? an?1 ? an ? 1 ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (Ⅲ) S n、Tn 分别为数列 ?a n ??bn ?的前 n 项和, 设 是否存在实数 ? , 使得数列 ? 、 为等差数列?若存在,试求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

? S n ? ?Tn ? ? n ? ?

20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? a
x

?

2 (其中常数 a >0,且 a ≠1) . ax

(Ⅰ)当 a ? 10 时,解关于 x 的方程 f ( x) ? m (其中常数 m ? 2 2 ) ; (Ⅱ)若函数 f (x) 在 (??,2] 上的最小值是一个与 a 无关的常数,求实数 a 的取值范围.

4

参考答案
一、填空题: 1. 4. 7.

?0?
2 100

2. 2. 5. (0,+∞)

3.

?1 ? a ? 3

6. 2 8. [ ?

1 , 1] 2

9

cos

π 2π nπ 1 cos ?cos ? n 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2
12. 2101 13. k ? 2 14. ①②③

二、解答题: 15.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) ∵cos ? ?
2

1 ? cos 2 ? ??????????2 分 2 7 1 ? (? ) 9 ?1 = ??????????4 分 2 9

又∵ ? ? (

?

2

,? )

1 ??????????6 分 3 1 2 2 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知:sin ? = 1 ? cos ? ? 1 ? (? ) ? ??????????8 分 3 3
∴cos ? = ?

? 3? ? ) 、 ? ? ( , ? ) 得( ? ? ? ) ? ( , ) 2 2 2 2 7 2 4 2 2 cos( ? ? ? )=- 1 ? sin (? ? ? ) ? ? 1 ? ( ) ? ? ?????????10 分 9 9
由 ? ? (0,

?

sin ? =sin( ? ? ? - ? )=sin( ? ? ? )cos ? -cos( ? ? ? )sin ? ????13 分

7 1 4 2 2 2 )× × (? ) - (? 9 3 9 3 1 = ??????????14 分 3
= 16. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设区域 A 中任意一点 P ( x, y ) ? B 为事件 M. 1分

因为区域 A 的面积为 S1 ? 36 ,区域 B 在区域 A 的面积为 S2 ? 18 , ········ 分 ······· 5 ·······

5

18 1 ··········· ········ ·········· ········ ? . ···················7 分 36 2 (Ⅱ)设点 P ( x, y ) 在集合 B 为事件 N, ······················ 8 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· ·
故点 P 落在区域 B 中的概率 P(M ) ? 甲、 乙两人各掷一次骰子所得的点 P ( x, y ) 的个数为 36 个, 其中在区域 B 中的点 P ( x, y ) 有 21 个. ······································· 分 ······································ 12 ·········· ··········· ··········· ······ 故点 P 落在区域 B 中的概率 P( N ) ?

17.解: (Ⅰ)因为 (2a ? c) BC ? BA ? cCA ? CB ? 0 , 所以 (2a ? c)ac cos B ? cab cos C ? 0 , 所以 2sin A cos B ? sin(C ? B) ? 0 ,即 cos B ? ? (Ⅱ)因为 b ? a ? c ? 2ac cos
2 2 2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

21 7 ·················· 14 ·········· ········ ? . ··········· ········ 分 36 12
…2 分

即 (2a ? c) cos B ? b cos C ? 0 ,则 (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C ? 0 ………4 分

2? 2 2 ,所以 12 ? a ? c ? ac ? 3ac ,即 ac ? 4 3 当且仅当 a ? c 时取等号,此时 ac 最大值为 4…………12 分 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 2? 1 ? ? ac ? ?2 ,即 AB ? CB 的最小值为 ?2 ……………14 分 所以 AB ? CB = ac cos 3 2

2? 1 ,所以 B ? ………………8 分 3 2

18.(本小题满分 16 分)

1 18.解: (Ⅰ) y ? g (t ) ? f (t ) ? (80 ? 2t ) ? (20 ? | t ? 10 |) ? (40 ? t )(40? | t ? 10 |) ?? 4 分 2
?(30 ? t )(40 ? t ), (0≤t ? 10), =? ?(40 ? t )(50 ? t ), (10≤t ≤ 20).

???????? 8 分

(Ⅱ)当 0≤t<10 时,y= ? t

2

? 10t ? 1200

= ? (t ? 5) ? 1225
2

y 的取值范围是[1200,1225], 在 t=5 时,y 取得最大值为 1225; ???????? 10 分 同理 当 10≤t≤20 时,y 的取值范围是[600,1200], 在 t=20 时,y 取得最小值为 600. ???????? 14 分 (答)总之,第 5 天,日销售额 y 取得最大为 1225 元; 第 20 天,日销售额 y 取得最小为 600 元. ???????? 16 分 19. (本小题满分 16 分) 解: (Ⅰ)由题意, 2a n ?1 ? a n ? n, a1 ? 同理 a 3 ?

1 , 2a 2 ? a1 ? 1, 2

3 a 2 ? . ??? 2 分 4

11 35 , a4 ? , 8 16

??????????????? 3 分

(Ⅱ)因为 2an?1 ? an ? n, 所以 bn ?1 ? a n ? 2 ? a n ?1 ? 1 ?

a n ?1 ? n ? 1 n ? a n ?1 ? 1 ? a n ?1 ? 1 ? , ???? 5 分 2 2
6

bn ? an?1 ? an ? 1 ? an?1 ? (2an?1 ? n) ? 1 ? n ? an?1 ? 1 ? 2bn?1 ,
又 b1 ? a 2 ? a1 ? 1 ? ? (Ⅲ)由(2)得,

bn?1 1 ? ???? 7 分 bn 2

1 3 3 ,所以数列 ?bn ? 是以 ? 为首项, 为公比的等比数列. 9 分 2 4 4

3 1 ? ? (1 ? n ) 3 1 1 2 ? 3 ? ( 1 ) n?1 ? 3 . bn ? ? ? ( ) n ?1 ? ?3 ? ( ) n?1 , Tn ? 4 1 4 2 2 2 2 1? 2 1 n ?1 1 n 又 a n ?1 ? n ? 1 ? bn ? n ? 1 ? 3 ? ( ) , 所以 a n ? n ? 2 ? 3 ? ( ) , 2 2 1 1 ? (1 ? n ) 2 n(n ? 1) 2 ? n ? 3n ? 3 ? 3 . ????? 13 分 所以 S n ? ? 2n ? 3 ? 2 1 2 2 2n 1? 2
由题意,记 c n ?

S n ? ?Tn .要使数列 c n }为等差数列 只要cn ?1 ? c n为常数. { , n
(

n 2 ? 3n 3 1 3 1 ? 3 ? n ) ? ?[3 ? ( ) n ?1 ? ] 1? n S n ? ?Tn n?3 3 2 2 2 ? 2 2 . cn ? ? ? (3 ? ? ) ? n n 2 2 n

cn?1 ?

n?4 3 2 n?1 , ? (3 ? ? ) ? 2 2 n ?1 1 1 1 ? n 1 ? n?1 1 3 2 ). ???????? 15 分 ? ? (3 ? ? ) ? ( 2 ? 2 2 n n ?1
S ? ?Tn 1 为常数,即数列 n { }为等差数列 ???? 16 分 . 2 n

1?

1

则 cn ? cn?1

故当 ? ? 2时, c n ? c n ?1 ? 20. (本小题满分 16 分)

2 ? x ?10 ? 10 x , x ≥ 0, ? 20. 解 (Ⅰ)f(x)= ? ? 3 , x ? 0. ?10 x ?

① 当 x<0 时,f(x)=

3 >3.因为 m>2 2.则当 2 2<m≤3 时,方程 f(x)=m 无解; 10 x
???????? 1 分

3 3 当 m>3,由 10x= ,得 x=lg . m m

7

② 当 x≥0 时,10x≥1.由 f(x)=m 得 10x+
2

2 =m,∴(10x)2-m10x+2=0. 10 x
x

m± m2-8 因为 m>2 2,判别式 ? =m -8>0,解得 10 = . ???????? 3 分 2 m+ m2-8 m+ m2-8 m+ m2-8 因为 m>2 2,所以 > 2>1. 所以由 10x= ,解得 x=lg . 2 2 2 m- m2-8 令 =1,得 m=3. 2 m- m2-8 4 4 所以当 m>3 时, = < =1, 2 2 m+ m -8 3+ 32-8 m- m2-8 4 4 = > = 1 , 解 得 x = lg 2 m+ m2-8 3+ 32-8 ???????? 4 分

当 2

2<m≤3 时,

m- m2-8 .????? 5 分 2 综上,当 m>3 时,方程 f(x)=m 有两解 x=lg 当 2 2<m≤3 时,方程 f(x)=m 有两解 x=lg m+ m2-8 3 和 x=lg ; m 2 m± m2-8 .???????? 6 分 2

3 2 (2) (Ⅰ)若 0<a<1,当 x<0 时,0<f(x)= x<3;当 0≤x≤2 时,f(x)=ax+ x.? 7 分 a a 2 令 t=ax,则 t∈[a2,1],g(t)=t+ 在[a2,1]上单调递减,所以当 t=1,即 x=0 时 f(x) t 取得最小值为 3.

2 2 .此时 f(x)在(-∞,2]上的值域是(0, a 2 ? 2 ], 2 a a 没有最小值.??????????? 9 分
当 t=a2 时,f(x)取得最大值为 a 2 ? 3 2 (Ⅱ)若 a>1,当 x<0 时,f(x)= x>3;当 0≤x≤2 时 f(x)=ax+ x. a a 2 令 t=ax,g(t)=t+ ,则 t∈[1,a2]. t 2 ① 若 a2≤ 2 ,g(t)=t+ 在[1,a2]上单调递减,所以当 t=a2 即 x=2 时 f(x)取最小值 a2 t + 2 ,最小值与 a 有关;??????????? 11 分 a2

2 ② a2≥ 2 ,g(t)=t+ 在[1, 2]上单调递减,在[ 2,a2]上单调递增,????13 分 t 所以当 t= 2即 x=loga 2时 f(x)取最小值 2 2,最小值与 a 无关.?????? 15 分 综上所述,当 a≥ 4 2 时,f(x)在(-∞,2]上的最小值与 a 无关.????????? 16 分

8


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