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数学理卷·2013届北京市东城区普通校高三第二学期联考(2013.03)


北京市东城区普通校 2013 届高三第二学期联考 数学(理科)
命题校:北京 27 中学 2013 年 3 月
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分, 150 分, 共 考试时间 120 分 钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷(选择题,共 40 分)
一、选择题:本大题共 8

小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知平面向量 a = (1, 2) , b = ( -2, m) , 且 a ∥ b , 则 m 的值为( (A) -1 (B) (C) -4 )
2



(D) 4

2.极坐标方程 r = 4 cos q 化为直角坐标方程是( (A) ( x - 2) + y = 4
2 2 2

(B) x + y = 4 (D) ( x - 1) + ( y - 1) = 4
2 2

(C) x + ( y - 2) = 4
2 2

3.平面 a ∥平面 b 的一个充分条件是( (A)存在一条直线 a,a ∥ a,a ∥ b (B)存在一条直线 a,a ? a,a ∥ b



(C)存在两条平行直线 a,b,a ? a,b ? b,a ∥ b,b ∥ a (D)存在两条异面直线 a,b,a ? a,b ? b,a ∥ b,b ∥ a 4. 执行如图所示的程序,输出的结果为 20, 则判断框中应填入的条件为( (A) a ≥ 2 (C) a ≥ 4 )

(B) a ≥ 3 (D) a ≥ 5 第 4 题图

B P

5. 如图,已知 AB 是⊙ O 的一条弦,点 P 为 AB 上一点, PC ^ OP ,
A

C O

第 1 页 共 11 页

PC 交⊙ O 于 C ,若 AP = 4 , PB = 2 ,则 PC 的长是(
(A) 3 (B) 2 2 (C) 2

) 第 5 题图 )

(D) 2

6.已知函数 y = A sin(w x + j ) 的图象如图所示,则该函数的解析式可能是( .. y
1

O -1

p

2p

x

第 6 题图

3 1 sin(2 x + ) 2 5 4 4 1 (D) y = sin( x + ) 5 5 5 1 1 7. 设 a > 0, b > 0. 若 3是3a 与3b 的等比中项,则 + 的最小值为( a b 1 (A) 8 (B) 4 (C) 1 (D) 4
(A) y = (B) y = 8. 对 实 数 a 与 b , 定 义 新 运 算 “ ? ”: a ? b = í

4 1 sin(2 x + ) 5 5 4 4 1 (C) y = sin( x - ) 5 5 5

)

ìa, a - b ? 1, ?b, a - b > 1.

设 函 数

则实数 c 的取值范 f ( x) = ( x 2 - 2 ) ? ( x - x 2 ) , x ? R. 若函数 y = f ( x ) - c 的零点恰有两个, 围是( (A) )

( -?, -2] ? ? -1, ?
è

3? ÷ 2?

(B)

( -?, -2] ? ? -1, ?
è

3? ÷ 4?

1? ?1 ? ? (C) ? -?, ÷ ? ? , +? ÷ 4? è4 è ?

(D)

3 ? é1 ? ? ? -1, - ÷ ? ê , +? ÷ 4 ? ?4 è ?

第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. 在 (1 +

1 x

) 6 的展开式中,含

1 项的系数是________.(用数字作答) x
第 2 页 共 11 页

10.由 1、2、3、4、5 组成的无重复数 字的五位数中奇数有 个. a 0.030 0.020 0.010 0.005

频率 组距

11.从某校高三学生中随机抽取 100 名 同学,将他们的考试成绩(单位:分) 绘制成频率分布直方图(如图) .则图中 a= 第 11 题图

40

50

60

70

80

90

分数(分) .

, 由 图 中 数 据 可 知 此 次 成 绩 平 均 分 为

ì y ? x + 1, ì y ? - x + 1, ? ? 12.已知区域 W = {( x, y ) í y ? 0, } , M = {( x, y ) í }, ? y ? 0, ? ? x ? 1, ?
向区域 W 内随机投一点 P ,点 P 落在区域 M 内的概率为 . y

13.如图, F1 和 F2 分别是双曲线

x2 y2 = 1(a > 0,b > 0) a 2 b2 F1

A

的两个焦点, A 和 B 是以 O 为圆心,以 OF1 为半径的圆与 该双曲线左支的两个交点,且 △F2 AB 是等边三角形,则双 曲线的离心率为 .

O

F2

x

B 第 13 题图

14.设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任意 x, y ? S ,都有 x + y, x - y, xy ? S , 则称 S 为封闭集。下列命题: ①集合 S={z|z= a+bi( a,b 为整数,为虚数单位)}为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0 ? S ; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S ? T ? C 的任意集合 T 也是封闭集. 其中真命题是 (写出所有真命题的序号)

第 3 页 共 11 页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.
15. (本小题满分 13 分) 在 DABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, C = (Ⅰ)求 b , c 的值; (Ⅱ)求 cos(B -

p , a = 5 , DABC 的面积为 10 3 . 3

p ) 的值. 3

16.(本小题满分13分) 甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全 相同,现在从这两个箱子里各随机摸出2个球,求 (Ⅰ)摸出3个白球的概率; (Ⅱ)摸出至少两个白球的概率; (Ⅲ)若将摸出至少两个白球记为 1 分,则一个人有放回地摸 2 次,求得分 X 的分布列及 数学期望。

17.(本小题满分 14 分) 已知几何体 A—BCED 的三视图如图所示, 其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直角 三角形,正视图为直角梯形. (Ⅰ)求此几何体的体积 V 的大小; (Ⅱ)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (Ⅲ)试探究在棱 DE 上是否存在点 Q,使得 AQ ^ BQ,若存在,求出 DQ 的长,不存在说明理由.
俯视图 4 1 4 正视图 4 侧视图

18.(本小题满分 13 分)
第 4 页 共 11 页

已知函数 f ( x ) =

1 2 x - ax + (a - 1) ln x 2

(Ⅰ)若 a = 2 ,求函数 f (x ) 在(1, f (1) )处的切线方程; (Ⅱ)讨论函数 f (x ) 的单调区间

19.(本小题共 14 分)

x2 y2 6 已知椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的离心率为 . 3 a b
(I)若原点到直线 x + y - b = 0 的距离为 2 , 求椭圆的方程; (II)设过椭圆的右焦点且倾斜角为 45° 的直线和椭圆交于 A,B 两点. (i)当 | AB |=

3 ,求 b 的值;

(ii)对于椭圆上任一点 M,若 OM = l OA + m OB ,求实数 l , m 满足的关系式.

20. (本小题满分 13 分) 设 a1 ,a2 , a20 是首项为 1, … 公比为 2 的等比数列, 对于满足 0 ? k ? 19 的整数 k , 数列 b1 ,

ìan + k ,当1 ? n ? 20 - k时 b2 ,… b20 由 í ?an + k - 20 ,当20 - k < n ? 20时
(Ⅰ)当 k = 1 时,求 M 的值; (Ⅱ)求 M 的最小值及相应的 k 的值

确定。记 M =

?a b
n =1

20

n n

第 5 页 共 11 页

高三数学(理科) 参考答案 (以下评分标准仅供参考,其它解法自己根据情况相应地给分) 一.选择题 1. C 2. A 3. D 4. C 5. B 6. D 7. B 8. B 二.填空题 9. 15 10. 72 11. 0.035,64.5 12.
1 2

13. 1 + 3

14. ①②

三.解答题 15. (本小题满分 13 分) 在 DABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, C = (Ⅰ)求 b , c 的值; (Ⅱ)求 cos(B -

p , a = 5 , DABC 的面积为 10 3 . 3

p ) 的值. 3
p , a = 5, 3
1 ab sin C , 2

解: (Ⅰ)由已知, C = 因为 即
S DABC =

1 p 10 3 = b × 5 sin 2 3



解得 b = 8

.

由余弦定理可得: c 2 = 64 + 25 - 80 cos 所以
c = 7.

p = 49 , 3
………………..7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)有 cos B =

49 + 25 - 64 1 = , 70 7 由于 B 是三角形的内角,
易知 sin B = 1 - cos 2 B = 所以 cos( B -

4 3 , 7

p p p ) = cos B cos + sin B sin 3 3 3
. ………………..13 分

=

4 3 3 1 1 13 ? + ? = 7 2 7 2 14

16.(本小题满分13分)
第 6 页 共 11 页

甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相 同,现在从这两个箱子里各随机摸出2个球,求 (Ⅰ)摸出3个白球的概率; (Ⅱ)摸出至少两个白球的概率; (Ⅲ)若将摸出至少两个白球记为 1 分,则一个人又放回地摸 2 次,求得分 X 的分布列及 数学期望。 解: (I)设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件
1 C32 C2 1 P( A3 ) = 2 × 2 = . C5 C3 5

Ai = (i = 0,1, 2,3), 则

………………..3 分

(Ⅱ) 设“至少两个白球”为事件 B,则
2 1 C1 C C1 C32 C2 + C23C22C22 = 1 P( A2 ) = 2 × 2 + 22 × 2 2 = , C C5 C3 C55 C3C3 2

B = A2 U A3 ,又

1

1

1

且 A2,A3 互斥,所以

P ( B ) = P ( A2 ) + P ( A3 ) =

1 1 7 + = . 2 5 10 ………………..6 分

(Ⅲ) X 的所有可能取值为 0,1,2.

7 2 9 ) = , 10 100 7 21 1 7 P( X = 1) = C2 (1 - ) = , 10 10 50 7 49 P( X = 2) = ( ) 2 = . 10 100 P( X = 0) = (1 所以 X 的分布列是 X P 0 1 2

9 100 E( X ) = 0 ?

21 50

49 100
………………..13 分

X 的数学期望

9 21 49 7 + 1? + 2 ? = . 100 50 100 5

17.(本小题满分 14 分) 已知几何体 A—BCED 的三视图如图所示,
第 7 页 共 11 页 4 1 4 正视图 4 侧视图

其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直角 三角形,正视图为直角梯形. (1)求此几何体的体积 V 的大小; (2)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (3)试探究在棱 DE 上是否存在点 Q,使得 AQ ^ BQ,若存在,求出 DQ 的长,不存在说明理由.

解: (1)由该几何体的三视图知 AC ^ 面 BCED ,且 EC=BC=AC=4 ,BD=1,

1 = × 3

1 ? (4 + 1) ? 4 = 10 2 1 1 40 ∴ V = × S梯形BCED × AC = ? 10 ? 4 = . 3 3 3 1 40 .----------------------------------4 分 即该几何体的体积? 4为 × = ?10 V = 3 3
∴ S梯形BCED =

z E

(2)以 C 为原点,以 CA,CB,CE 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. C 则 A(4,0,0) ,B(0,4,0) ,D(0,4,1) ,E(0,0,4) ∴ DE = (0, -4, 3), AB = ( -4, 4, 0) ,∴ cos < DE , AB >= -

D B

y

uuur

uuu r

uuur uuu r

2 2 5

A x

∴异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为

2 2 .----------------------------------4 分 5

(3) ∵点 Q 在棱 DE 上,∴存在 l (0 < l < 1) 使得 DQ = l DE

\ BQ = BD + DQ = BD + l DE = (0,0,1) + l (0,-4,3) = (0,-4,3l + 1)
同理 AQ = (-4,4 - 4l ,3l + 1)

Q AQ ^ BQ \ AQ × BQ = 0 ,即 0 ? (-4) + (-4) ? (4 - 4l ) + (3l + 1) 2 = 0
∴l =

1 ,满足题设的点 Q 存在,DQ 的长为 1 ----------------------------------14 分 5

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) =

1 2 x - ax + (a - 1) ln x 2
第 8 页 共 11 页

(Ⅰ)若 a = 2 ,求函数 f (x ) 在(1, f (1) )处的切线方程; (Ⅱ)讨论函数 f (x ) 的单调区间 解: (1)当 a = 2 时, f ( x ) =

1 2 x - 2 x + ln x 2

1 x 1 3 \ f (1) = - 2 = - ,\ f ' (1) = 0 2 2 3 切线方程为 y = 2 ( + (2) 定义域 0, ?) \ f ' ( x) = x - 2 +

…… 4 分

f ' ( x) = x - a +

a - 1 x 2 - ax + (a - 1) ( x - 1)( x + 1 - a ) = = x x x

令 f ' ( x ) = 0 ,解得 x1 = 1 , x2 = a - 1

( + ①当 a = 2时 , f ' ( x ) ? 0 恒成立,则 0, ?) 是函数的单调递增区间
②当 a > 2 时, a - 1 > 1 , 在区间(0,1)和( a - 1,+? )上, f ?( x ) > 0 ;在( 1, a - 1 )区间上 f ?( x ) < 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是(0,1)和( a - 1,+? ) ,单调递减区间是( 1, a - 1 ) ③当 1 < a < 2 时,在区间(0, a - 1 )和( 1,+? )上, f ?( x ) > 0 ;在( a - 1,1 )区间 上 f ?( x ) < 0 , f ( x ) 的单调递增区间是 , ( 故 (0, a - 1 )( 1,+? )单调递减区间是 a - 1,1 ) 和 ④当 a ? 1 时, a - 1 ? 0 ,在区间(0,1)上 f ?( x ) < 0 ,在区间( 1,+? )上, f ?( x ) > 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是( 1,+? ) ,单调递减区间是(0,1) 。 …… 13 分 19.(本小题共 14 分) 已知椭圆

x2 y2 6 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 . 2 3 a b

(I)若原点到直线 x + y - b = 0 的距离为 2 , 求椭圆的方程; (II)设过椭圆的右焦点且倾斜角为 45° 的直线和椭圆交于 A,B 两点. (i)当 | AB |=

3 ,求 b 的值;

(ii)对于椭圆上任一点 M,若 OM = l OA + m OB ,求实数 l , m 满足的关系式.

第 9 页 共 11 页

解: (I)Q d =

b 2

= 2

\b = 2
\a2 - 4 =

Qe =

c 6 = a 3
2 2

\

c2 2 = a2 3

Q a2 - b2 = c2
椭圆的方程为

2 2 a 3

解得 a = 12, b = 4.

x2 y2 + = 1. 12 4

…………………………4 分

(II) (i)∵e=

6 2 ,\ a 2 = 3b 2 , c 2 = a 2 = 2b 2 . 椭圆的方程可化为: 3 3


x 2 + 3 y 2 = 3b 2

易知右焦点 F ( 2b,0) ,据题意有 AB: y = x 由①,②有: 4 x - 6 2bx + 3b = 0
2 2

2b





设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,

| AB |= ( x 2 - x1 ) 2 + ( y 2 - y1 ) 2 = (1 + 12 )

72b 2 - 48b 2 24b 2 = 2 × 2 = 3b = 3 42 4
………………………8 分

\b = 1

(2) (ii)显然 OA 与 OB 可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一 平面内的向量 OM ,有且只有一对实数λ,μ,使得等 OM = l OA + m OB 成立. 设 M(x,y) ,

Q ( x, y ) = l ( x1 , y1 ) + m ( x 2 , y 2 ),\ x = lx1 + mx 2 , y = ly1 + my 2 ,
又点 M 在椭圆上,\ (lx1 + mx 2 ) + 3(ly1 + my 2 ) = 3b
2 2 2



由③有: x1 + x 2 =

3 2b 3b 2 , x1 x 2 = 2 4
2b)( x 2 - 2b) = 4 x1 x 2 - 3 2b( x1 + x 2 ) + 6b 2

2 2 2 2 2 2

则 x1 x 2 + 3 y1 y 2 = x1 x 2 + 3( x1 -

3b 2 - 9b 2 + 6b 2 = 0

又 A,B 在椭圆上,故有 x1 + 3 y1 = 3b , x 2 + 3 y 2 = 3b 将⑥,⑤代入④可得: l + m = 1.
2 2



……………………14 分

第 10 页 共 11 页

20.(本小题 13 分) 设 a1 ,a2 , a20 是首项为 1, … 公比为 2 的等比数列, 对于满足 0 ? k ? 19 的整数 k , 数列 b1 ,

ìan + k ,当1 ? n ? 20 - k时 b2 ,… b20 由 í ?an + k - 20 ,当20 - k < n ? 20时
(Ⅰ)当 k = 1 时,求 M 的值; (Ⅱ)求 M 的最小值及相应的 k 的值

确定。记 M =

?a b
n =1

20

n n

第 11 页 共 11 页


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