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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第三章 3.4


数学

北(理)

§3.4 定积分
第三章 导数及其应用

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.定积分的定义 给定区间[a,b]上的函数y=f(x): 将[a,b]分成n份,分点为a=x0<x1<x2<…<xn-1<x

n=b. 第i个小区间为[xi-1,xi],设其长度为Δxi,在这个小区间上 取一点ξi,使f(ξi)在[xi-1,xi]上的值最大.设S=f(ξ1)·Δx1+ f(ξ2)Δx2+…+f(ξi)Δxi+…+f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点 ζi,使f(ζi)在[xi-1,xi]上的值最小,设s=f(ζ1)Δx1+f(ζ2)Δx2 +…+f(ζi)Δxi+…+f(ζn)Δxn.

基础知识

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思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

如果每次分割后,最大小区间长度趋于 0,S 与 s 的差也 趋于 0,此时 S 与 s 同时趋于
b b 记作 ? af(x)dx,即 ? af(x)dx=A.

一个固定的常数A ,称 A

是函数 y=f(x)在区间[a,b)上的定积分. 2.定积分的性质 b b-a . ①? a1dx= b b k ? af(x)dx . ②? akf(x)dx= b b b ? f ( x )d x ± ? ag(x)dx. ③? g(x)]dx= a a[f(x)±
b ④? af(x)dx=
c b ? f ( x )d x ? a + c f(x)dx.

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基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

3.微积分基本定理 如果连续函数 f(x) 是函数 F(x) 的导函数,即 f(x) =
b F′(x),则有 ? af(x)dx=F(b)-F(a).

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基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5
π 2 3π 2 π 2

答案
(1) √ (2) √ (3) × (4) √ (5) √ (6) ×

解析

C A

3
2π cos x d x ? cos x d x ? ?0 ? ? 3 π cos x d x
2

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题型分类·深度剖析
题型一 定积分的计算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)设 f(x)= 2 ? ?x , x∈[0,1], 2 ? 则? 0f(x)dx ? ?2-x, x∈?1,2], 等于 3 A. 4 ( 4 B. 5 5 C. 6
m ? -2 2

)

D.不存在

(2)若定积分 则 m 等于

π -x -2xdx= , 4 ( )

A.-1 B.0 C.1 D.2

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题型分类·深度剖析
题型一 定积分的计算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)设 f(x)= 2 ? ?x , x∈[0,1], 2 ? 则? 0f(x)dx ? ?2-x, x∈?1,2], 等于 3 A. 4 ( 4 B. 5 5 C. 6
m ? -2 2

(1)利用定积分的性质和微积分 基本定理计算;

)

D.不存在

(2)利用定积分的几何意义计 算.

(2)若定积分 则 m 等于

π -x -2xdx= , 4 ( )

A.-1 B.0 C.1 D.2

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题型分类·深度剖析
题型一 定积分的计算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)设 f(x)= 2 ? (1)如图, ?x , x∈[0,1], 2 ? 则? 0f(x)dx ? ?2-x, x∈?1,2], 2 等于 3 A. 4 ( 4 B. 5 5 C. 6
m ? -2 2
1 2 2 ) =? 0x dx+? 1(2-x)dx

? 0f(x)dx

D.不存在

(2)若定积分 则 m 等于

π -x -2xdx= , 4 (

1 2? 2 1 31 ? = x |0+?2x-2x ?|1 3 ? ?

1? 5 1 ? ) =3+?4-2-2+2?=6. ? ?

A.-1 B.0 C.1 D.2

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题型分类·深度剖析
题型一 定积分的计算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)设 f(x)= (2)根据定积分的几何意义知, 2 ? ?x , x∈[0,1], 2 m 2 ? 则? 0f(x)dx 定积分?-2 -x -2x dx的值就是函 ? ?2-x, x∈?1,2], 2 等于 3 A. 4 ( 4 B. 5 5 C. 6 D.不存在 ) x=-2,x=m所围成图形的面积,
y=

数y= -x -2x 的图像与x轴及直线

m (2)若定积分 ? -2

则 m 等于

-x2-2x 是一个半径为1的半 π π 2 -x -2xdx= , 圆,其面积等于2, 4 π m 2 而 ? - x - 2 x d x = -2 ( ) 4,

A.-1 B.0 C.1 D.2

即在区间[ -2,m] 上该函数图像应 1 为4个圆,于是得m=-1,故选A.
思想方法 练出高分

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题型分类·深度剖析
题型一 定积分的计算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)设 f(x)= (2)根据定积分的几何意义知, 2 ? ?x , x∈[0,1], 2 m 2 ? 则? 0f(x)dx 定积分?-2 -x -2x dx的值就是函 ? ?2-x, x∈?1,2], 2 等于 3 A. 4 4 B. 5 5 C. 6 ( C ) 线x=-2,x=m所围成图形的面积, D.不存在 2
y= 数y= -x -2x 的图像与x轴及直

m (2)若定积分 ? -2

则 m 等于

-x -2x 是一个半径为1的半 π π 2 -x -2xdx= , 圆,其面积等于2, 4 π m 2 而 ? - x - 2 x d x = , -2 ( A ) 4
即在区间[-2,m]上该函数图像应 1 为 个圆,于是得m=-1,故选A. 4
思想方法 练出高分

A.-1 B.0 C.1 D.2

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题型分类·深度剖析
题型一 定积分的计算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)设 f(x)= 2 ? ?x , x∈[0,1], 2 ? 则? 0f(x)dx ? ?2-x, x∈?1,2], 等于 3 A. 4 ( C ) 4 B. 5 5 C. 6
m ? -2 2

(1)计算定积分要先将被积函数 化简后利用运算性质分解成几 个简单函数的定积分,再利用 微积分基本定理求解;

D.不存在

(2)若定积分 则 m 等于

π -x -2xdx= , 4 ( A )

(2)对函数图像和圆有关的定 积分可以利用定积分的几何意 义求解.

A.-1 B.0 C.1 D.2

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练1
π 2

? ?lg x,x>0, (1)设f(x)= ? a 2 ? x + ? 3 x dx,x≤0, ? 0

若f(f(1))

1 =1,则a=________.

(2) ? ? π sin xdx=________. 0 2
解析 (1)由题意知f(1)=lg 1=0, ∴f(0)=0+a3-03=1,∴a=1. π π (2)由于函数y=sin x在区间[-2 , 2 ]上是一个奇函数,图像

关于原点成中心对称,
在x轴上方和下方面积相等,故该区间上定积分的值为面积 的代数和,等于0,即
基础知识

?

?π 2

π 2

sin xdx=0.
思想方法 练出高分

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题型分类·深度剖析
题型二 利用定积分求曲边梯形的面积

【例2】

如图所示,求由抛物

思维启迪

解析

思维升华

线y=-x2+4x-3及其在点 A(0,-3)和点B(3,0)处的切 线所围成的图形的面积.

基础知识

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练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 利用定积分求曲边梯形的面积

【例2】

如图所示,求由抛物

思维启迪

解析

思维升华

线y=-x2+4x-3及其在点 A(0,-3)和点B(3,0)处的切 线所围成的图形的面积.
求出两切线交点M的坐标 ?3 ? ? ? , 3 ?2 ? ,将积分区间分为两段 ? ? ? ? ? 3? ? ? ?3 ? 0 , , 3 、 ? ? ?. 2? ? ? ?2 ?

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 利用定积分求曲边梯形的面积

【例2】

如图所示,求由抛物

思维启迪

解析

思维升华



由题意,

线y=-x2+4x-3及其在点 A(0,-3)和点B(3,0)处的切 线所围成的图形的面积.

知抛物线 y=-x2+4x-3
在点 A 处的切线斜率是 k1=y′|x=0=4,
在点 B 处的切线斜率是 k2=y′|x=3=-2. 因此,抛物线过点 A 的切线方程 为 y=4x-3,

过点B的切线方程为y=-2x+6.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 利用定积分求曲边梯形的面积

【例2】

如图所示,求由抛物
2

思维启迪

解析

思维升华

线y=-x +4x-3及其在点 A(0,-3)和点B(3,0)处的切 线所围成的图形的面积.

设两切线相交于点M,由 ? ?y=4x-3, ? ? ?y=-2x+6 3 消去y,得x= , 2 3 即点M的横坐标为2. ? 3? 在区间 ?0,2? 上,曲线y=4x-3 ? ?
在曲线y=-x2+4x-3的上方; ?3 ? 在区间 ?2,3? 上,曲线y=-2x+ ? ?

6在曲线y=-x2+4x-3的上方.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 利用定积分求曲边梯形的面积

【例2】

如图所示,求由抛物
2

思维启迪

解析

思维升华

线y=-x +4x-3及其在点 A(0,-3)和点B(3,0)处的切 线所围成的图形的面积.

因此,所求的图形的面积是
S= ? [(4x-3)-(-x2+4x- 3)] dx+
3 2 0

?

3

3 2

[ (-2x+6)-(-x2

+4x-3)] dx

= ? x dx+ ?3 (x2-6x+9)dx 2 9 9 9 = + = . 8 8 4
2

3 2 0

3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 利用定积分求曲边梯形的面积

【例2】

如图所示,求由抛物

思维启迪

解析

思维升华

线y=-x2+4x-3及其在点 A(0,-3)和点B(3,0)处的切 线所围成的图形的面积.

对于求平面图形的面积问题, 应首先画出平面图形的大致图 形,然后根据图形特点,选择 相应的积分变量及被积函数, 并确定被积区间.

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练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练2 已知函数y=f(x)的图像是折线段ABC,其中A(0,0)、 1 B( ,5)、C(1,0).函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形 2 的面积为________.
1 ? 10 x , x ∈ [0 , ], ? 2 解析 由已知可得f(x)=? ?-10x+10, x∈?1,1], 2 ?
? 2 ?10x , 则y=xf(x)=? ?-10x2+10x, ? 1 x∈[0,2], 1 x∈?2,1],

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题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练2 已知函数y=f(x)的图像是折线段ABC,其中A(0,0)、 1 B( ,5)、C(1,0).函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形 2 5 的面积为________ . 4
画出函数图像,如图所示, 所求面积S= 0 (10x2)dx+ 1 (-10x2+10x)dx
2

?

1 2

?

1

? 10 3? 1 10 3 2 1 2 ? = 3 x 0 + ?- 3 x +5x ?? 1 ? ?2

5 10 10 1 1 5 =12+(- 3 +5)-(- 3 ×8+5×4)=4.

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题型分类·深度剖析
题型三 定积分在物理中的应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 一物体做变速直线运动, 其 v-t 曲线如图所示, 则该物体 1 在 s~6 s 间的运动路程为 2 __________.

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型三 定积分在物理中的应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 一物体做变速直线运动,

其 v-t 曲线如图所示, 则该物体 0≤t≤1时做加速运动, 1 在 s~6 s 间的运动路程为 2
1≤t≤3时做匀速运动,

从题图上可以看出物体在

__________.

3≤t≤6时也做加速运动,但 加速度不同,也就是说 0≤t≤6时,v(t)为一个分段 函数,故应分三段求积分才 能求出曲边梯形的面积.

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题型分类·深度剖析
题型三 定积分在物理中的应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 一物体做变速直线运动, 由题图可知,v(t)= ?0≤t≤1? 其 v-t 曲线如图所示, 则该物体 ? ? 2t ?2 ?1≤t≤3? 1 在 s~6 s 间的运动路程为 ? 2 ?1 __________.



t+1 ?3≤t≤6? ? ?3 1 因此该物体在 2 s~6 s间运动的
路程为 6 1 3 s=?v(t)dt=?2tdt+? 12dt+ ? ? 6 1 ? 3? t+1?dt ?3 ? ?1 ? 49 2 21 3 6 =t | 1 +2t|1+?6t +t?|3 = 4 (m). ? ? 2
1 2 1 2

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题型三 定积分在物理中的应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 一物体做变速直线运动, 由题图可知,v(t)= ?0≤t≤1? 其 v-t 曲线如图所示, 则该物体 ? ? 2t ?2 ?1≤t≤3? 1 在 s~6 s 间的运动路程为 ? 2 ?1
49 __________ . 4 m



t+1 ?3≤t≤6? ? ?3 1 因此该物体在 s~6 s间运动的 2 路程为 3 6 1 s=? v(t)dt=? 2tdt+? 12dt+ ? ? 6?1 ? 3 t + 1? d t ?3 ? ?1 ? 49 2 21 3 6 ? ? =t | 1 +2t| 1 + 6t +t | 3 = 4 ? ? 2 (m).
1 2 1 2

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练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 定积分在物理中的应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 一物体做变速直线运动,

其 v-t 曲线如图所示, 则该物体 1 在 s ~ 6 s 间 的 运 动 路 程 为 定积分在物理方面的应用主要 2
49 m __________ . 4

包括:①求变速直线运动的路 程;②求变力所做的功.

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练3 设变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动 到x=10,已知F(x)=x2+1且和x轴正向相同,求变力F(x)对质点M所 做的功.

解 变力F(x)=x2+1使质点M沿x轴正向从x=1运动到x=10所做
10 10 2 的功为W=? 1 F(x)dx=? 1 (x +1)dx

1 3 =( x +x)|10 1 =342, 3
即变力F(x)对质点M所做的功为342.

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题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列5 函数思想、数形结合思想在定积分中的应用
典例:(12分)在区间[0,1]上给定曲线y=x2.试在此区间内确 定点t的值,使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小, 并求最小值.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列5 函数思想、数形结合思想在定积分中的应用
典例:(12分)在区间[0,1]上给定曲线y=x2.试在此区间内确 定点t的值,使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小, 并求最小值.

审 思题 维路 启线 迪图

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)题目要求是求S1与S2之和最小,所以要先构造S=S1+ S2的函数,利用函数思想求解. (2)S1、S2的面积只能通过定积分求解,所以要选准积分变 量.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列5 函数思想、数形结合思想在定积分中的应用
典例:(12分)在区间[0,1]上给定曲线y=x2.试在此区间内确 定点t的值,使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小, 并求最小值.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒



S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y=x2与x轴、

直线x=t所围成的面积, 23 2 t 2 即S1=t· t -? 0x dx= t . 2分 3 S2的面积等于曲线y=x2与x轴,x=t,x=1围成的面积去掉矩
形面积,矩形边长分别为t2,1-t, 23 2 1 1 2 2 即S2=? t x dx-t (1-t)= t -t + . 3 3
基础知识 题型分类 思想方法

4分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列5 函数思想、数形结合思想在定积分中的应用
典例:(12分)在区间[0,1]上给定曲线y=x2.试在此区间内确 定点t的值,使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小, 并求最小值.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

所以阴影部分的面积 43 2 1 S=S1+S2= t -t + (0≤t≤1). 3 3 ? 1? 1 2 ? ? 令S′(t)=4t -2t=4t t-2 =0,得t=0或t= . 2 ? ? 1 1 1 2 t=0时,S=3;t=2时,S=4;t=1时,S=3. 1 1 所以当t=2时,S最小,且最小值为4.
基础知识 题型分类 思想方法

6分 8分

10分
12分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列5 函数思想、数形结合思想在定积分中的应用
典例:(12分)在区间[0,1]上给定曲线y=x2.试在此区间内确 定点t的值,使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小, 并求最小值.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)本题既不是直接求曲边梯形面积问题,也不是直接求函数的 最小值问题,而是先利用定积分求出面积的和,然后利用导数 的知识求面积和的最小值,难点在于把用导数求函数最小值的 问题置于先求定积分的题境中,突出考查知识的迁移能力和导 数的应用意识. (2)本题易错点:一是缺乏函数的意识;二是不能正确选择被积
区间.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高
1.求定积分的方法 (1)利用定义求定积分(定义法),可操作性不强. (2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下:①求被 积函数f(x)的一个原函数F(x);②计算F(b)-F(a). (3)利用定积分的几何意义求定积分

方 法 与 技 巧

2.求曲边多边形面积的步骤: (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的 大致图形. (2)借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定 积分的上限、下限. (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和. (4)计算定积分.
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

思想方法·感悟提高
1.被积函数若含有绝对值号,应先去绝对值号,再分 段积分.

失 误 与 防 范

2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁 是被积变量.
3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限. 4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面 积非负,而定积分的结果可以为负.
5.将要求面积的图形进行科学而准确的划分,可使面积 的求解变得简捷.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1. ? 0 (sin x-acos x)dx=2,则实数 a 等于 ( A )
π 2

A.-1

B.1
0
π 2

C.- 3

D. 3
π 2

解析

? ?sin x ? a cos x?d x ? ?? cos x ? a sin x?

0

=-a+1=2,a=-1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

π π 2.由直线x=- ,x= ,y=0与曲线y=cos x所围成的封闭 3 3 图形的面积为 1 A. B. 1 2
π 3

( D ) 3 C. 2
π 3

D. 3

解析

? ? π cos x d x ? sin x ? π ? sin
3 3

π ? π? ? sin? ? ? ? 3 3 ? 3?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2 2 21 2 x 3.(2013· 江西)若S1=?1 x dx,S2=?1 dx,S3=?1 e dx,则S1,

x

S2,S3的大小关系为 A.S1<S2<S3 C.S2<S3<S1 B.S2<S1<S3 D.S3<S2<S1

( B )

解析

利用定积分的几何意义知B正确.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

4.图中阴影部分的面积是 A.16 C.20 B.18 D.22

( B )

解析

2? 3? ? ?y2 y y 4 4 ?dy=? +4y- ?|- S=? -2?y+4- 2? 6 ? 2=18. ? ?2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

5.一物体在变力F(x)=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下, 沿与F(x)成30° 方向作直线运动,则由x=1运动到x=2时F(x)做 的功为 A. 3 J 4 3 C. J 3 2 3 B. J 3 D.2 3 J
2 2 30° dx=? 1(5-x )×

( C )

解析

2 ? 1F(x)×cos

3 dx 2

? 1 3? =?5x-3x ?× ? ?

32 4 2 |1=3 3, 4 ∴F(x)做的功为3 3 J.
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

3 2 12 6.? 0(x +1)dx=________.

解析

1 3 1 3 3 2 3 ? ? ? 0(x +1)dx= x +x |0= ×3 +3=12.
?3 ?

?

?

3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

7.如图所示,函数y=-x2+2x+1与y=1相交形 成一个闭合图形(图中的阴影部分),则该闭合 4 图形的面积是________ 3 .
2 ? ?y=-x +2x+1 由? ? ?y=1

解析

,得x1=0,x2=2.

2 2 2 2 ∴S=? 0(-x +2x+1-1)dx=? 0(-x +2x)dx

? x3 ? 8 4 2 2 ? ? = - 3 +x |0=- +4= . 3 3 ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

8.汽车以v=3t+2 (单位:m/s)作变速直线运动时,在第1 s至
6.5 第2 s间的1 s内经过的路程是________ m.

解析

32 2 2 ? s =? 1(3t+2)dt= t +2t?|1
?2 ?

?

?

?3 ? 3 7 ? ? =2×4+4- 2+2 =10-2=6.5(m). ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1 9.求曲线y= x,y=2-x,y=- x所围成图形的面积. 3

? ?y= x, 由? ? ?y=2-x

得交点A(1,1);

y=2-x, ? ? 由? 得交点B(3,-1). 1 y=-3x ? ? ? ? 1 ? 1 ? 1 3 故所求面积S=? 0? x+ x?dx+? 1?2-x+ x?dx 3 3 ? ? ? ? ?2 3 1 ? ? 1 2? 3 2 1 2 =?3 x +6x ?|0+?2x-3x ?|1 ? ? ? ? 2 1 4 13 =3+6+3= 6 .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.汽车以54 km/h的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车 以等加速度-3 m/s2刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了 多远?
解 由题意,得v0=54 km/h=15 m/s. 所以v(t)=v0-at=15-3t.

令v(t)=0,得15-3t=0.解得t=5. 所以开始刹车5 s后,汽车停车.
所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 ? 3 2? 5 5 5 s=? 0v(t)dt=? 0(15-3t)dt=?15t- t ?|0=37.5(m). 2 ? ?
故汽车走了37.5 m.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

2 x ? ? ,x∈[0,1], 1.设f(x)=?1 (其中e为自然对数的底数), ,x∈[1,e] ? ?x e 则? 0f(x)dx的值为 4 5 A. B. 3 4

( A ) 6 C. 5 7 D. 6

解析

根据定积分的运算法则,由题意,
x 3 1 4 e x|1= +1= . 3 3

1 31 e 1 2 e1 可知? 0f(x)dx=? 0x dx+? 1 dx= x |0+ln

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

3 1 -ln 2 2 2.曲线y=x与直线y=x,x=2所围成的图形的面积为______.
1 22 2 21 S=? 1xdx-? 1 dx= x |1-ln x 2

解析

2 x|1

3 3 =2-(ln 2-ln 1)=2-ln 2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

?t?0≤t≤20?, ? 3.作变速直线运动的质点的速度是v(t)=?20?20<t≤80?, ?100-t?80<t≤100?. ? (单位m/s)

350 m; (1)该质点从t=10到t=30时所经过的路程是________
(2)该质点从开始运动到结束运动共经过________ m.
30 20 30 解析 (1)s1=? v ( t )d t = ? t d t + ? 10 10 2020dt



? 1 2?20 30 t ?10+20t? ?20=350. 2 ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

?t?0≤t≤20?, ? 3.作变速直线运动的质点的速度是v(t)=?20?20<t≤80?, ?100-t?80<t≤100?. ? (单位m/s)

350 m; (1)该质点从t=10到t=30时所经过的路程是________ 1 600 m. (2)该质点从开始运动到结束运动共经过________
100 20 80 100 (2)s2=? v ( t )d t = ? t d t + ? 20d t + ? 0 0 20 80 (100-t)dt

=1 600.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
3

B组
2
2

专项能力提升
3 4 5

1 4.曲线C:y=2x -3x -2x+1,点P( ,0),求过P的切线l与C 2 围成的图形的面积.

解 设切点坐标为(x0,y0),
y′=6x2-6x-2,
2 则f′(x0)=6x0 -6x0-2,

1 2 切线方程为y=(6x0-6x0-2)(x- ), 2 1 2 则y0=(6x0-6x0-2)(x0- ), 2 1 3 2 2 即2x0-3x0-2x0+1=(6x0-6x0-2)(x0- ), 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
3

B组
2
2

专项能力提升
3 4 5

1 4.曲线C:y=2x -3x -2x+1,点P( ,0),求过P的切线l与C 2 围成的图形的面积.

整理得x0(4x2 0-6x0+3)=0,
解得x0=0,则切线方程为y=-2x+1.
? ?y=-2x+1 解方程组? 3 2 ? ?y=2x -3x -2x+1
3 2 0

3 ? ?x= 或? 2 . ? ?y=-2 由y=2x3-3x2-2x+1与y=-2x+1的图像可知
? ?x=0 ,得? ? ?y=1

S=? [(-2x+1)-(2x3-3x2-2x+1)] dx

27 = ? (-2x +3x )dx= . 32
3 2 0

3

2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.如图所示,直线y=kx分抛物线y=x-x2与 x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的 值.

解 抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0,x2=1,
所以,抛物线与x轴所围图形的面积 2 x 1 3 ?1 1 1 2 S=? 0(x-x )dx= ? - x ??0= . 2 3 ? 6
2 ? ?y=x-x , 又? ? ?y=kx,

由此可得,

抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x3=0,x4=1-k,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.如图所示,直线y=kx分抛物线y=x-x2与 x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的 值.
1-k 2 1 3 ? S 1-k ?1-k 2 所以, =? x - x ? 0 (x-x -kx)dx= ? 0 2 2 3 ? ? 1 = (1-k)3. 6

1 1 3 又知S=6,所以(1-k) =2,
3 3 1 4 于是k=1- 2=1- 2 .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分


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